随机环境中的M/M/n排队系统

M/M/n Queuing System in Random Environment

摘要: 本文给出随机环境中的M/M/n排队系统的定义，随机环境中的M/M/n排队系统的平衡条件 ，L(θ)^*，L_q(θ)^*，K(θ)^*的表达式及其关系，最后给出X^*的转移概率的随机Kolmogorov向前和向后方程。

Abstract: In this paper, we give the definition of M/M/n queuing system in random environment, the equilibrium condition of M/M/n queuing system in random environment , the expressions of L(θ)^*, L_q(θ)^*, K(θ)^* and their relations, finally the random Kolmogorov forward and backward equations of of X^* are given.

1. 引言

排队系统一直是运筹学的热点，众多国内外学者对此做了广泛的研究，如Wang [1] 等学者研究了具有相关正、负顾客到达的MMBP/Geo/1队列，Bae [2] 等人考虑顾客耐心恒定的条件下，得到了在繁忙周期内工作负载过程中的水平的预期下穿及繁忙周期的预期长度。Taufemback [3] 提出了基于排队论的有关银行超额准备金最优管理的方法，Laxmi [4] 等人分析了一个具有延迟、叛逆和异构服务器的更新输入多个工作假期队列，得到了一些较实用的数值结果，Rajadurai [5] 分析了伯努利计划下具有休假和休假中断的重试G-队列，得到了较好的理论结果。目前对于随机环境中的随机过程的研究已进入一个新阶段，诸如具有代表性的随机环境中的马氏过程 [6]、随机环境中的生灭过程 [7]、随机环境中分支q-过程 [8]、随机环境中的泊松过程 [9] 等。从对经典M/M/n排队系统的研究得出其为一生灭过程，本文由此受到启发，基于目前对随机环境中排队过程的研究较少的现状，结合 [6] [7] [8] [9] [10] 等文，对随机环境中的M/M/n排队系统进行研究。随着国内外数学家研究的进一步深入，随机环境中的随机过程理论日益完善。胡在 [7] 中构造性地证明了随机环境中生灭过程存在的条件为 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{{\mu }_{k+1}^{*}\left({\theta }^{*}\right)\cdots {\mu }_n^{*}\left({\theta }^{*}\right)}{{\lambda }_k^{*}\left({\theta }^{*}\right){\lambda }_{k+1}^{*}\left({\theta }^{*}\right)\cdots {\lambda }_n^{*}\left({\theta }^{*}\right)}}}=\infty$。吕在 [8] 中引进随机环境中一致马氏过程，给出随机环境中分枝q-过程存在性和唯一性的充分条件，最后证明了任意随机分枝转移密度矩阵都是零流入的。2020年，单在 [9] 中引入随机环境中的泊松过程，证明了随机环境中泊松过程是一类特殊的随机环境中马氏过程，并给出其随机Kolmogorov方程。高在 [10] 中引入随机环境中双移民生灭过程的概念，并研究其转移矩阵的平稳分布 ${\pi }^{\text{*}}={\pi }^{\text{*}}{P}^{*}$。本文给出随机环境中的M/M/n排队系统的定义，随机环境中的M/M/n排队系统的平衡条件 $P\left\{{\theta }^{\ast }\in {\Theta }^{\ast }|\rho \left({\theta }^{\ast }\right)<1\right\}=1$，在平衡状态下的一些结果，如 $L\left({\theta }^{*}\right)$， $L_q\left({\theta }^{*}\right)$， $K\left({\theta }^{*}\right)$ 的表达式及其关系，最后给出 $X^{*}$ 的转移概率 $p\left({\theta }^{*},t;i,j\right)$ 的随机Kolmogorov向前和向后方程。

2. 符号及定义

令 $X=N$ 为一状态空间， $\left(\Theta ,B\right)$ 是任一抽象可测空间， $X^{*}=\left\{X\left(t\right),t\in R_{+}\right\}$， ${\xi }^{*}=\left\{{\xi }_t,t\in R_{+}\right\}$ 是概率空间 $\left(\Omega ,F,P\right)$ 上分别取值于X和 $\Theta$ 的两个随机过程， ${\Theta }^{\text{*}}$ 是从 $R_{+}$ 到 $\Theta$ 上的函数集，对每个 ${\theta }^{\text{*}}\in {\Theta }^{\text{*}}$， $s\ge \text{0},t>0$， ${\theta }^{\text{*}}\left[s,s+t\right)$ 为 ${\theta }^{\text{*}}$ 在 $\left[s,s+t\right)$ 上的局限， ${\Theta }^{\text{*}}\left[s,s+t\right)=\left\{{\theta }^{*}\left[s,s+t\right):{\theta }^{*}\in {\Theta }^{\text{*}}\right\}$，p为 ${\Theta }^{\text{*}}$ 上的时齐的随机转移函数，参见 [6]，即 $p\left({\theta }^{*}\left[s,s+t\right);i,j\right)$ 不依赖于s (对每个 ${\theta }^{\text{*}}\in {\Theta }^{\text{*}}$， $t>0$， $i,j\in X$ )。

定义1 如果一排队系统满足：

1) 对 $\forall {\theta }^{\text{*}}\in {\Theta }^{\text{*}}$，记 $N^{*}=\left\{N^{*}\left(t\right),t\ge 0\right\}$ 是顾客进入服务系统的过程，且 $N^{*}$ 服从强度参数为 $\lambda \left({\theta }^{*}\right)$ 的随机环境中的泊松过程(参见 [9] )，其中 $N^{*}\left(t\right)$ 表示在 ${\xi }^{\text{*}}={\theta }^{\text{*}}$ 下，时刻t进入系统的人数。

2) 对任意固定的 ${\theta }^{\text{*}}\in {\Theta }^{\text{*}}$，若记 $J^{*}=\left\{J_k^{*},k\ge 0\right\}$ 为顾客相继到达时间间隔序列，那么随机变量序列 $\left\{J_k^{*},k\ge 0\right\}$ 为独立同分布随机变量序列，且 $J_1^{*}~\Gamma \left(1,\lambda \left({\theta }^{*}\right)\right)$。

3) 对 $\forall {\theta }^{*}\in {\Theta }^{*}$，记 $B^{*}=\left\{B_k^{*},k\ge 0\right\}$ 为顾客的服务时间序列， $B^{*}=\left\{B_k^{*},k\ge 0\right\}$ 为独立同分布随机变量序列， $B_1^{*}~\Gamma \left(1,\mu \left({\theta }^{*}\right)\right)$，且满足 $B^{*}$ 与 $J^{*}$ 相互独立。

4) 该系统中有 $n\left(n\ge 1\right)$ 个服务台。

则称该系统为随机环境 ${\Theta }^{\text{*}}$ 中的M/M/n系统。

例1 考虑一随机环境中依时的马氏链 $\left(\stackrel{\to }{X},\stackrel{\to }{\xi }\right)$ (参见 [12] )，其相应的状态空间 $X=\left\{0,1,2,\cdots \right\}$。A是由X生成的 $\sigma$ 代数，环境集取 $\Theta =\left(0,1\right)$，B是由 $\Theta$ 生成的 $\sigma$ 代数。如下定义该马氏链的随机转移矩阵 $P\left(\theta \right)=\left(p\left(\theta ;x,y\right),x,y\in X\right)$ ：

$p\left(\theta ;0,x\right)=p\left(\theta ;1,x\right)=k_x\theta \left(\theta \in \Theta ,x\ge 1\right);$

$p\left(\theta ;0,0\right)=p\left(\theta ;1,0\right)=1-{\displaystyle \underset{x=1}{\overset{\infty }{\sum }}{k}_x\theta }\left(\theta \in \Theta \right);$

$p\left(\theta ;n,x\right)=0,\left(\theta \in \Theta ,n\ge 2,x<n-1\right);$

$p\left(\theta ;n,x\right)=p\left(\theta ;,1,x-n+1\right)\left(\theta \in \Theta ,n\ge 2,x\ge n-1\right),$

其中 $k_2+k_3+\cdots >0,k_x\ge 0,{\displaystyle \underset{x=1}{\overset{\infty }{\sum }}{k}_x<1},{\displaystyle \underset{x=0}{\overset{\infty }{\sum }}{k}_x=1}$。则该随机环境中依时的马氏链为一随机环境中的排队过程。

接下来，令 $X^{*}=\left\{X^{*}\left(t\right),t\ge 0\right\}$ 为系统的状态过程，其中 $X^{*}\left(t\right)$ 表示在 $\forall {\theta }^{\text{*}}\in {\Theta }^{\text{*}}$ 下，时刻t系统中的顾客数(包含正在接受服务的顾客数)。我们记事件 $\left\{t<X_k^{*}<t+\Delta t\right\}$ 表示系统中有k个服务台在时间间隔 $\left(t,t+\Delta t\right)$ 中结束服务，易知 $\text{0}\le k\le n$。

下面着手推导随机环境 $\forall {\theta }^{\text{*}}\in {\Theta }^{\text{*}}$ 下的M/M/n排队系统的状态过程 $X^{*}$ 的转移概率。容易想到一个服务台在t时刻正在服务，经过 $\Delta t$ 时间后，它没有结束服务的概率为

$P\left\{B^{*}>t+\Delta t|B^{*}>t,{\xi }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)={\theta }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)\right\}={\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{*}\right)\Delta t}=1-\mu \left({\theta }^{*}\right)\Delta t+o(\; \Delta \; t\; )$

那么其对立事件，该服务台结束服务的概率为

$P\left\{B^{*}>t+\Delta t|B^{*}>t,{\xi }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)={\theta }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)\right\}={\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{*}\right)\Delta t}=1-\mu \left({\theta }^{*}\right)\Delta t+o(\; \Delta \; t\; )$

又因为事件 $\left\{N^{*}\left(t+\Delta t\right)-N^{*}\left(t\right)=n|{\xi }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)={\theta }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)\right\}$ 与事件 $\left\{X^{*}\left(t\right)=i|{\xi }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)={\theta }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)\right\}\left(i\in X\right)$ 独立，因此当 $\Delta t\downarrow 0$ 时，系统中总人数增加一位的概率为：

$\begin{array}{l}{p}_{i,i+1}\left(\Delta t,{\theta }^{*}\right)\equiv P\left\{X^{*}\left(t+\Delta t\right)=i+1|X^{*}\left(t\right)=i,{\xi }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)={\theta }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)\right\}\\ ={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\min \left(i,n\right)}{\sum }}P\left\{t<X_k^{*}<t+\Delta t,N^{*}\left(t+\Delta t\right)-N^{*}\left(t\right)=k+1|X^{*}\left(t\right)=i,{\theta }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)\right\}}\\ =P\left\{t<X_0^{*}<t+\Delta t,N^{*}\left(t+\Delta t\right)-N^{*}\left(t\right)=1|X^{*}\left(t\right)=i,{\theta }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)\right\}+o\left(\Delta t\right)\\ =P\left\{t<X_0^{*}<t+\Delta t|X^{*}\left(t\right)=i,{\theta }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)\right\}P\left\{N^{*}\left(t+\Delta t\right)-N^{*}\left(t\right)=1|{\theta }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)\right\}+o\left(\Delta t\right)\\ ={\left({\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{*}\right)\Delta t}\right)}^{\min \left(i,n\right)}\lambda \left({\theta }^{*}\right)\Delta t{\text{e}}^{-\lambda \left({\theta }^{*}\right)\Delta t}+o\left(\Delta t\right)\\ =\lambda \left({\theta }^{*}\right)\Delta t+o(\; \Delta \; t\; )\end{array}$

系统中总人数减少一位的概率为：

$\begin{array}{l}{p}_{i,i-1}\left(\Delta t,{\theta }^{*}\right)\equiv P\left\{X^{*}\left(t+\Delta t\right)=i-1|X^{*}\left(t\right)=i,{\xi }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)={\theta }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)\right\}\\ ={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\min \left(i,n\right)}{\sum }}P\left\{t<X_k^{*}<t+\Delta t,N^{*}\left(t+\Delta t\right)-N^{*}\left(t\right)=k-1|X^{*}\left(t\right)=i,{\theta }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)\right\}}\\ =P\left\{t<X_1^{*}<t+\Delta t,N^{*}\left(t+\Delta t\right)-N^{*}\left(t\right)=0|X^{*}\left(t\right)=i,{\theta }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)\right\}\\ +P\left\{t<X_2^{*}<t+\Delta t,N^{*}\left(t+\Delta t\right)-N^{*}\left(t\right)=1|X^{*}\left(t\right)=i,{\theta }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)\right\}+o(\; \Delta \; t\; )\end{array}$

$\begin{array}{l}=C_{\min \left(i,n\right)}^1\left(1-{\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{*}\right)\Delta t}\right){\left({\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{*}\right)\Delta t}\right)}^{\min \left(i,n\right)-1}{\text{e}}^{-\lambda \left({\theta }^{*}\right)\Delta t}\\ +C_{\min \left(i,n\right)}^2{\left(1-{\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{*}\right)\Delta t}\right)}^2{\left({\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{*}\right)\Delta t}\right)}^{\min \left(i,n\right)-2}\lambda \left({\theta }^{*}\right)\Delta t{\text{e}}^{-\lambda \left({\theta }^{*}\right)\Delta t}+o\left(\Delta t\right)\\ =\min \left(i,n\right)\mu \left({\theta }^{*}\right)\Delta t+o\left(\Delta t\right)\\ =\{\begin{array}{l}i\mu \left({\theta }^{*}\right)\Delta t+o\left(\Delta t\right),i=1,2,\cdots ,n-1,\\ n\mu \left({\theta }^{*}\right)\Delta t+o\left(\Delta t\right),i=n,n+1,n+2,\cdots .\end{array}\end{array}$

同理可得，当 $\left|j-i\right|\ge 2$ 时：

$\begin{array}{c}{p}_{i,j}\left(\Delta t,{\theta }^{*}\right)\equiv P\left\{X^{*}\left(t+\Delta t\right)=j|X^{*}\left(t\right)=i,{\xi }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)={\theta }^{*}\left[t,t+\Delta t\right)\right\}\\ =o(\; \Delta \; t\; )\end{array}$

所以我们可以得到：

$\begin{array}{c}{p}_{i,i}\left(\Delta t,{\theta }^{*}\right)\equiv P\left\{X^{*}\left(t+\Delta t\right)=j|X^{*}\left(t\right)=i,{\xi }^{\text{*}}\left[t,t+\Delta t\right)={\theta }^{\text{*}}\left[t,t+\Delta t\right)\right\}\\ =1-\lambda \left({\theta }^{*}\right)\Delta t-{\mu }_i\left({\theta }^{*}\right)\Delta t+o(\; \Delta \; t\; )\end{array}$

其中

${\mu }_i\left({\theta }^{*}\right)=\{\begin{array}{l}i\mu \left({\theta }^{*}\right),i=1,2,\cdots ,n-1,\\ n\mu \left({\theta }^{*}\right),i=n,n+\text{1},n+2,\cdots .\end{array}$ (1)

根据随机环境中生灭过程 [7] 的定义知，随机环境中的M/M/n排队系统的状态过程 $\left\{X^{*}\left(t\right),t\ge 0\right\}$ 是一随机环境中的生灭过程。生率为

${\lambda }_i\left({\theta }^{*}\right)=\lambda \left({\theta }^{*}\right),i,=0,1,2,\cdots .$

灭率由(1)式给出。

由 [10] 可知，当满足

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\lambda }_0\left({\theta }^{*}\right){\lambda }_1\left({\theta }^{*}\right)\cdots {\lambda }_{k-1}\left({\theta }^{*}\right)}{{\mu }_1\left({\theta }^{*}\right){\mu }_2\left({\theta }^{*}\right)\cdots {\mu }_k\left({\theta }^{*}\right)}}<\infty ,$

时，随机环境中的生灭过程存在平稳分布。即

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{1}{k!}{\left(\frac{\lambda \left({\theta }^{\ast }\right)}{\mu \left({\theta }^{\ast }\right)}\right)}^k}+{\displaystyle \underset{k=n}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{n^n}{n!}}{\left(\frac{\lambda \left({\theta }^{\ast }\right)}{n\mu \left({\theta }^{\ast }\right)}\right)}^k<\infty ,$

记

$\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\equiv \frac{\lambda \left({\theta }^{\ast }\right)}{n\mu \left({\theta }^{\ast }\right)},$

那么，当满足

$P\left\{{\theta }^{\ast }\in {\Theta }^{\ast }|\rho \left({\theta }^{\ast }\right)<1\right\}=1$

时， $\left\{X^{*}\left(t\right),t\ge 0\right\}$ 有平稳分布，且平稳分布为

${\pi }_k^{*}=\{\begin{array}{l}\frac{{\left(n\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)}^k{\pi }_0^{*}}{k!},k=1,2,\cdots ,n-1\\ \frac{n^n{\rho }^k\left({\theta }^{*}\right){\pi }_0^{*}}{n!},k=n,n+1,\cdots \end{array}$ (2)

${\pi }_{\text{0}}^{\text{*}}={\left[{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{{\left(n\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}^k}{k!}}+\frac{{\left(n\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}^n}{n!\left(1-\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}\right]}^{-1}$ (3)

其中， ${\pi }_k^{*}$ 表示随机环境中的M/M/n排队系统处于平衡状态后，系统中有k个顾客的概率。

3. 平衡状态下的一些结果

由第二节中推导的平稳分布，可以得到随机环境中的M/M/n排队系统的几个重要的数量指标和一些重要结果。对 $\forall {\theta }^{\text{*}}\in {\Theta }^{\text{*}}$， $L\left({\theta }^{*}\right)$ 表示给定环境为 ${\theta }^{\text{*}}$ 时的系统的队长， $L_q\left({\theta }^{*}\right)$ 为给定 ${\theta }^{\text{*}}$ 时的等待队长， $K\left({\theta }^{*}\right)$ 表示平均占用服务台数。

命题1 当 ${\xi }^{\text{*}}={\theta }^{\text{*}}$ 且满足系统平稳条件 $P\left\{{\theta }^{\ast }\in {\Theta }^{\ast }|\rho \left({\theta }^{\ast }\right)<1\right\}=1$ 的情况下，我们有：

$K\left({\theta }^{\ast }\right)=\frac{\lambda \left({\theta }^{\ast }\right)}{\mu \left({\theta }^{\ast }\right)},E\left(L_q\left({\theta }^{\ast }\right)\right)=\frac{\rho \left({\theta }^{\ast }\right){\pi }_n^{*}}{{\left(1-\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}^2},$

$E\left(L\left({\theta }^{\ast }\right)\right)=E\left(L_q\left({\theta }^{\ast }\right)\right)+K\left({\theta }^{\ast }\right)=\frac{\rho \left({\theta }^{\ast }\right){\pi }_n^{*}}{{\left(1-\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}^2}+\frac{\lambda \left({\theta }^{\ast }\right)}{\mu \left({\theta }^{\ast }\right)}.$

证：由(2)式和(3)式可以得到 $L_q\left({\theta }^{*}\right)$ 的分布律：

$\{\begin{array}{l}P\left\{L_q\left({\theta }^{\ast }\right)=k\right\}={\pi }_{n+k}^{*}=\frac{n^n{\rho }^{n+k}\left({\theta }^{\ast }\right)}{n!}{\pi }_0^{*},k=1,2,3,\cdots \\ P\left\{L_q\left({\theta }^{\ast }\right)=0\right\}={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n}{\sum }}{\pi }_j^{*}}={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n}{\sum }}\frac{{\left(n\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}^j}{j!}{\pi }_0^{*},k=0}\end{array}$

其中 ${\pi }_{\text{0}}^{\text{*}}$ 由(3)式确定。从而可得

$E\left(L_q\left({\theta }^{*}\right)\right)=E\left[L_q\left({\theta }^{*}\right)|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right]={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}k\frac{{\left(n\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)}^n{\rho }^k\left({\theta }^{*}\right)}{n!}{\pi }_0^{*}}=\frac{{\left(n\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)}^n\rho \left({\theta }^{*}\right)}{n!{\left(1-\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)}^2}{\pi }_0^{*}=\frac{\rho \left({\theta }^{*}\right){\pi }_n^{*}}{{\left(1-\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)}^2}$

由重期望的计算公式可得

$\begin{array}{c}E\left(L\left({\theta }^{\ast }\right)\right)=E\left[L\left({\theta }^{\ast }\right)|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right]={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}k{\pi }_k^{*}}=\left[{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{k{\left(n\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}^k}{k!}}+{\displaystyle \underset{k=n}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{k{n}^n{\rho }^k\left({\theta }^{\ast }\right)}{n!}}\right]{\pi }_0^{*}\\ =\left\{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{{\left(n\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}^k}{\left(k-1\right)!}+\frac{{\left(n\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}^n\left[\rho \left({\theta }^{\ast }\right)+n\left(1-\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)\right]}{n!{\left(1-\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}^2}}\right\}{\pi }_0^{*}\end{array}$

那么根据 $E\left(L\left({\theta }^{\ast }\right)\right)$ 和 $E\left(L_q\left({\theta }^{\ast }\right)\right)$ 的表达式，平均占用服务台的个数 $K\left({\theta }^{*}\right)$ 为

$\begin{array}{c}K\left({\theta }^{\ast }\right)=E\left(L\left({\theta }^{\ast }\right)\right)-E\left(L_q\left({\theta }^{\ast }\right)\right)\\ =\left[{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{{\left(n\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}^k}{\left(k-1\right)!}}+\frac{{\left(n\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}^n\left[\rho \left({\theta }^{\ast }\right)+n\left(1-\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)\right]}{n!{\left(1-\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}^2}\right]{\pi }_0^{*}-\frac{{\left(n\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}^n\rho \left({\theta }^{\ast }\right){\pi }_0^{*}}{n!{\left(1-\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}^2}\\ =\left[{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{{\left(n\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}^k}{\left(k-1\right)!}+\frac{{\left(n\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}^n}{\left(n-1\right)!\left(1-\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}}\right]{\pi }_0^{*}\\ =n\rho \left({\theta }^{*}\right){\pi }_0^{*}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{{\left(n\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}^k}{k!}+\frac{n\rho \left({\theta }^{*}\right){\left(n\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)}^n}{n!\left(1-\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}{\pi }_0^{*}}\\ =n\rho \left({\theta }^{*}\right)=\frac{\lambda \left({\theta }^{*}\right)}{\mu (\; \theta \; *\; )}\end{array}$

再由 $K\left({\theta }^{*}\right)$ 的表达式，可以得到 $E\left(L\left({\theta }^{*}\right)\right)$ 更为简洁的表达式

$E\left(L\left({\theta }^{*}\right)\right)=E\left(L_q\left({\theta }^{*}\right)\right)+K\left({\theta }^{*}\right)=\frac{\rho \left({\theta }^{*}\right){\pi }_n^{*}}{{\left(1-\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)}^2}+\frac{\lambda \left({\theta }^{*}\right)}{\mu (\; \theta \; *\; )}$

命题2 当 ${\xi }^{\text{*}}={\theta }^{\text{*}}$ 且满足系统平稳条件 $P\left\{{\theta }^{\ast }\in {\Theta }^{\ast }|\rho \left({\theta }^{\ast }\right)<1\right\}$ 的情况下，记 $W^{*}$ 为随机环境下顾客的等待时间，则 $W^{*}$ 的分布函数 $F_{W^{*}}\left(t,{\theta }^{*}\right)$ 为

$F_{W^{*}}\left(t,{\theta }^{*}\right)=\{\begin{array}{l}0,t\le 0,\\ 1-\frac{{\pi }_n^{*}}{1-\rho \left({\theta }^{*}\right)}{\text{e}}^{-n\mu \left({\theta }^{*}\right)\left(1-\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)t},t>0.\end{array}$

证：在证明之前给出在随机环境 ${\xi }^{\text{*}}={\theta }^{*}$ 下，顾客到达服务机构需要等待和不需要等待的概率，记需要等待的概率为 $p^{*}$，于是

$p^{*}=P\left\{L\left({\theta }^{*}\right)\ge n|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right\}={\displaystyle \underset{k=n}{\overset{\infty }{\sum }}{\pi }_k^{*}={\displaystyle \underset{k=n}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{n^n{\rho }^k\left({\theta }^{*}\right)}{n!}{\pi }_0^{*}}}=\frac{{\left(n\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)}^n}{n!\left(1-\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)}{\pi }_0^{*}=\frac{{\pi }_n^{*}}{1-\rho (\; \theta \; *\; )}$

从而在随机环境 ${\xi }^{\text{*}}={\theta }^{*}$ 下，顾客到达服务机构不需要等待的概率为

$1-p^{*}=1-\frac{{\left(n\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}^n}{n!\left(1-\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)}{\pi }_0^{*}=\frac{1-\rho \left({\theta }^{\ast }\right)-{\pi }_n^{*}}{1-\rho (\; \theta \; \ast \; )}$

易见

$P\left\{W^{*}=0\right\}=P\left\{L\left({\theta }^{*}\right)<n\right\}=1-\frac{{\pi }_n^{*}}{1-\rho (\; \theta \; *\; )}$

对 $\forall t>0$，

$F_{W^{*}}\left(t,{\theta }^{*}\right)=P\left\{W^{*}<t\right\}=P\left\{W^{*}=0\right\}+P\left\{0<W^{*}<t\right\}.$

接下来要解决 $P\left\{0<W^{*}<t\right\}$ 的具体表达式，因为

$\begin{array}{l}P\left\{0<W^{*}<t\right\}=P\left\{0<W^{*}<t|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right\}={\displaystyle \underset{k=n}{\overset{\infty }{\sum }}P\left\{0<W^{*}<t|L\left({\theta }^{*}\right)=k\right\}P\left\{L\left({\theta }^{*}\right)=k\right\}}\\ ={\displaystyle \underset{k=n}{\overset{\infty }{\sum }}P\left\{0<W^{*}<t|L\left({\theta }^{*}\right)=k\right\}{\pi }_k^{*}}={\displaystyle \underset{k=n}{\overset{\infty }{\sum }}{\pi }_k^{*}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{{\left(n\mu \left({\theta }^{*}\right)\right)}^{k-n+1}{x}^{k-n}}{\Gamma \left(k-n+1\right)}{\text{e}}^{-n\mu \left({\theta }^{*}\right)x}\text{d}x}\\ ={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{\pi }_n^{*}{\displaystyle \underset{k=n}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n\mu \left({\theta }^{*}\right)x\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)}^{k-n}}{\left(k-n\right)!}n\mu \left({\theta }^{*}\right){\text{e}}^{-n\mu \left({\theta }^{*}\right)x}\text{d}x}}\\ =n\mu \left({\theta }^{*}\right){\pi }_n^{*}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{\text{e}}^{-n\mu \left({\theta }^{*}\right)\left(1-\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)x}\text{d}x}=\frac{{\pi }_n^{*}}{1-\rho \left({\theta }^{*}\right)}\left[1-{\text{e}}^{-n\mu \left({\theta }^{*}\right)\left(1-\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)t}\right]\end{array}$

因此

$F_{W^{*}}\left(t,{\theta }^{*}\right)=\{\begin{array}{l}0,t\le 0,\\ 1-\frac{{\pi }_n^{*}}{1-\rho \left({\theta }^{\ast }\right)}{\text{e}}^{-n\mu \left({\theta }^{\ast }\right)\left(1-\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)t},t>0.\end{array}$

注1：上述 $P\left\{0<W^{*}<t\right\}$ 的推导过程中，利用到了如下引理：

引理1见 [11]。设 ${\xi }_{\text{1}},{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$ 为n个独立同分布的随机变量，且 ${\xi }_1~\Gamma \left(1,\alpha \right)$，则 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\xi }_i}~\Gamma \left(n,\alpha \right)$，即 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\xi }_i}$ 为具有密度函数

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\frac{{\alpha }^n{x}^{n-1}}{\Gamma \left(n\right)}{\text{e}}^{-\alpha x},x>0\\ 0,x\le 0\end{array}\left(\alpha >0\right)$

的n阶埃尔朗随机变量，其中 $\Gamma \left(n\right)={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{x}^{n-1}{\text{e}}^{-x}\text{d}x}$，称 $\Gamma \left(n\right)$ 为参数是n的 $\Gamma$ 函数。

由 $F_{W^{*}}\left(t,{\theta }^{*}\right)$ 的表达式，我们可以得到 $W^{*}$ 的密度函数

$f_{W^{*}}\left(t,{\theta }^{*}\right)=\{\begin{array}{l}0,t<0,\\ \left(1-\frac{{\pi }_n^{*}}{1-\rho \left({\theta }^{\ast }\right)}\right)\delta \left(t\right)+n\mu \left({\theta }^{\ast }\right){\pi }_n^{*}{\text{e}}^{-n\mu \left({\theta }^{\ast }\right)\left(1-\rho \left({\theta }^{\ast }\right)\right)t},t\ge 0,\end{array}$

其中 $\delta \left(t\right)$ 为狄拉克函数，简称为 $\delta$ 函数。它有如下性质：

1) 当 $t\ne 0$ 时， $\delta \left(t\right)=0$ ；当 $t=0$ 时， $\delta \left(t\right)=\infty$。

2) $\delta \left(-t\right)=\delta \left(t\right)$。

3) 对任意连续函数 $\phi \left(t\right)$ 有 ${\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\phi \left(t\right)\delta \left(t\right)\text{d}t}=\phi \left(0\right)$。 $\delta \left(t\right)$ 可以看成单跳跃函数

$\mu \left(t\right)=\{\begin{array}{l}1,t>0\\ 0,t\le 0\end{array}$

的导数，即

$\delta \left(t\right)=\frac{\text{d}\mu \left(t\right)}{\text{d}t}$

由 $F_{W^{*}}\left(t,{\theta }^{*}\right)$，或 $f_{W^{*}}\left(t,{\theta }^{*}\right)$ 的表达式可以得到 $W^{*}$ 的数学期望：

$\begin{array}{c}E\left[W^{*}|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right]={\displaystyle \underset{0^{-}}{\overset{\infty }{\int }}t\text{d}{F}_{W^{*}}\left(t,{\theta }^{*}\right)}\\ ={\displaystyle \underset{0^{-}}{\overset{\infty }{\int }}t{f}_{W^{*}}\left(t,{\theta }^{*}\right)\text{d}t}={\displaystyle \underset{0^{-}}{\overset{\infty }{\int }}\left(1-\frac{{\pi }_n^{*}}{1-\rho \left({\theta }^{*}\right)}\right)\delta \left(t\right)t}\text{d}t+{\displaystyle \underset{0^{-}}{\overset{\infty }{\int }}n\mu \left({\theta }^{*}\right){\pi }_n^{*}t{\text{e}}^{-n\mu \left({\theta }^{*}\right)\left(1-\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)t}}\text{d}t\\ =\frac{{\pi }_n^{*}}{n\mu \left({\theta }^{*}\right){\left(1-\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)}^2}=\frac{\rho \left({\theta }^{*}\right){\pi }_n^{*}}{\lambda \left({\theta }^{*}\right){\left(1-\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)}^2}=\frac{E\left(L_q\left({\theta }^{*}\right)\right)}{\lambda (\; \theta \; *\; )}\end{array}$

定理1 当 ${\xi }^{\text{*}}={\theta }^{\text{*}}$，且满足随机环境中的排队系统平稳条件，设 $T^{*}$ 表示一位顾客在系统中的逗留时间，那么有 $E\left[T^{*}|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right]=E\left(L\left({\theta }^{*}\right)\right)/\lambda \left({\theta }^{*}\right)$，并且 $T^{*}$ 的分布函数为：

$F_{T^{*}}\left(t,{\theta }^{*}\right)=\{\begin{array}{l}0,t\le 0,\\ 1-{\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{*}\right)t}-n\mu \left({\theta }^{*}\right)t{\pi }_n^{*}{\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{*}\right)t},n\mu \left({\theta }^{*}\right)=\lambda \left({\theta }^{*}\right)+\mu \left({\theta }^{*}\right),t>0,\\ 1-{\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{*}\right)t}-\frac{\mu \left({\theta }^{*}\right){\pi }_n^{*}}{\left(1-\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)\left(n\mu \left({\theta }^{*}\right)-\lambda \left({\theta }^{*}\right)-\mu \left({\theta }^{*}\right)\right)}\\ \times \left[{\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{*}\right)t}-{\text{e}}^{-\left(n\mu \left({\theta }^{*}\right)-\lambda \left({\theta }^{*}\right)\right)t}\right],n\mu \left({\theta }^{*}\right)\ne \lambda \left({\theta }^{*}\right)+\mu \left({\theta }^{*}\right),t>0.\end{array}$

证：1) 由于在随机环境 ${\xi }^{\text{*}}={\theta }^{\text{*}}$ 下，顾客接受服务的时间 $B^{*}$ 与等待时间 $W^{*}$ 独立，于是

$T^{*}=W^{*}+B^{*}$

因此

$E\left(T^{*}|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right)=E\left(W^{*}|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right)+E\left(B^{*}|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right)=\frac{\rho \left({\theta }^{*}\right){\pi }_n^{*}}{\lambda \left({\theta }^{*}\right){\left(1-\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)}^2}+\frac{1}{\mu \left({\theta }^{*}\right)}=\frac{E\left(L\left({\theta }^{*}\right)\right)}{\lambda (\; \theta \; *\; )}$

2) 当 $t>0$ 时，我们有

$\begin{array}{l}P\left\{T^{*}<t|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right\}=P\left\{W^{*}+B^{*}<t|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right\}\\ ={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}P\left\{W^{*}+B^{*}<t|B^{*}=x\right\}\mu \left({\theta }^{\ast }\right){\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{\ast }\right)x}\text{d}x}\\ ={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}P\left\{W^{*}<t-x\right\}\mu \left({\theta }^{\ast }\right){\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{\ast }\right)x}\text{d}x}\\ ={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\left[1-\frac{{\pi }_n^{*}}{1-\rho \left({\theta }^{\ast }\right)}{\text{e}}^{-\left(n\mu \left({\theta }^{\ast }\right)-\lambda \left({\theta }^{\ast }\right)\right)\left(t-x\right)}\right]\mu \left({\theta }^{\ast }\right){\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{\ast }\right)x}\text{d}x}\end{array}$

$=\{\begin{array}{l}1-{\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{\ast }\right)t}-\frac{\mu \left({\theta }^{*}\right)t{\pi }_n^{*}}{1-\rho \left({\theta }^{\ast }\right)}{\text{e}}^{-\left(n\mu \left({\theta }^{\ast }\right)-\lambda \left({\theta }^{\ast }\right)\right)t},n\mu \left({\theta }^{\ast }\right)=\lambda \left({\theta }^{\ast }\right)+\mu \left({\theta }^{\ast }\right)\\ 1-{\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{\ast }\right)t}-\frac{\mu \left({\theta }^{*}\right)t{\pi }_n^{*}}{\left(1-\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)\left(n\mu \left({\theta }^{*}\right)-\lambda \left({\theta }^{*}\right)-\mu \left({\theta }^{*}\right)\right)}\\ \times \left[{\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{\ast }\right)t}-{\text{e}}^{-\left(n\mu \left({\theta }^{\ast }\right)-\lambda \left({\theta }^{\ast }\right)\right)t}\right],n\mu \left({\theta }^{*}\right)=\lambda \left({\theta }^{*}\right)+\mu (\; \theta \; *\; )\end{array}$

所以 $T^{*}$ 的分布函数为

$F_{T^{*}}\left(t,{\theta }^{*}\right)=\{\begin{array}{l}0,t\le 0,\\ 1-{\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{\ast }\right)t}-n\mu \left({\theta }^{*}\right)t{\pi }_n^{*}{\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{*}\right)t},n\mu \left({\theta }^{*}\right)=\lambda \left({\theta }^{*}\right)+\mu \left({\theta }^{*}\right),t>0,\\ 1-{\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{\ast }\right)t}-\frac{\mu \left({\theta }^{*}\right){\pi }_n^{*}}{\left(1-\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)\left(n\mu \left({\theta }^{*}\right)-\lambda \left({\theta }^{*}\right)-\mu \left({\theta }^{*}\right)\right)}\\ \times \left[{\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{\ast }\right)t}-{\text{e}}^{-\left(n\mu \left({\theta }^{\ast }\right)-\lambda \left({\theta }^{\ast }\right)\right)t}\right],n\mu \left({\theta }^{*}\right)\ne \lambda \left({\theta }^{*}\right)+\mu \left({\theta }^{*}\right),t>0.\end{array}$

又因为 $T^{*}$ 是连续型随机变量，我们可以由 $F_{T^{*}}\left(t,{\theta }^{*}\right)$ 得到 $T^{*}$ 的密度函数：

$f_{T^{*}}\left(t,{\theta }^{*}\right)=\{\begin{array}{l}0,t\le 0,\\ \left(n{\mu }^2\left({\theta }^{*}\right)t{\pi }_n^{*}+\mu \left({\theta }^{*}\right)-n\mu \left({\theta }^{*}\right){\pi }_n^{*}\right){\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{\ast }\right)t},n\mu \left({\theta }^{*}\right)=\lambda \left({\theta }^{*}\right)+\mu \left({\theta }^{*}\right),t>0,\\ \left[\mu \left({\theta }^{*}\right)+\frac{{\mu }^2\left({\theta }^{*}\right){\pi }_n^{*}}{\left(1-\rho \left({\theta }^{*}\right)\right)\left(n\mu \left({\theta }^{*}\right)-\lambda \left({\theta }^{*}\right)-\mu \left({\theta }^{*}\right)\right)}\right]{\text{e}}^{-\mu \left({\theta }^{\ast }\right)t}\\ -\frac{n{\mu }^2\left({\theta }^{*}\right){\pi }_n^{*}}{n\mu \left({\theta }^{*}\right)-\lambda \left({\theta }^{*}\right)-\mu \left({\theta }^{*}\right)}\times {\text{e}}^{-\left(n\mu \left({\theta }^{\ast }\right)-\lambda \left({\theta }^{\ast }\right)\right)t},n\mu \left({\theta }^{*}\right)\ne \lambda \left({\theta }^{*}\right)+\mu \left({\theta }^{*}\right),t>0.\end{array}$

在之前的讨论中，我们得到了 $E\left(W^{*}|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right)$ 与 $E\left(L_q\left({\theta }^{*}\right)\right)$ 的关系，以及 $E\left(T^{*}|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right)$ 与 $E\left(L\left({\theta }^{*}\right)\right)$ 的关系，下面给出随机环境 ${\xi }^{*}={\theta }^{*}$ 下的利特尔公式及证明，该定理是经典利特尔公式的推广，适用范围更加广泛。

定理2 (随机环境下的利特尔公式)在随机环境 ${\xi }^{*}={\theta }^{*}$ 下的排队系统中， $E\left(W^{*}|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right)$ 与 $E\left(L_q\left({\theta }^{*}\right)\right)$， $E\left(T^{*}|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right)$ 与 $E\left(L\left({\theta }^{*}\right)\right)$ 分别满足：

$E\left(W^{*}|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right)=E\left(L_q\left({\theta }^{*}\right)\right)/\overline{\lambda \left({\theta }^{*}\right)},E\left(T^{*}|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right)=E\left(L\left({\theta }^{*}\right)\right)/\overline{\lambda \left({\theta }^{*}\right)}.$

其中 $\overline{\lambda \left({\theta }^{*}\right)}$ 为系统的进入率。

证：1) 设 $\alpha \left(t,{\theta }^{*}\right)$ 表示 $\left(0,t\right]$ 时间内， ${\xi }^{*}={\theta }^{*}$ 下，进入服务系统的顾客数，那么系统在这段时间内的平均进入率为：

$\overline{\lambda \left({\theta }^{*}\right)}=\frac{E\left[\alpha \left(t,{\theta }^{*}\right)|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right]}{t}.$

设 $\gamma \left(t,{\theta }^{*}\right)$ 表示 $\alpha \left(t,{\theta }^{*}\right)$ 个顾客到时刻t为止在系统中花费的总时间，那么在这段时间内每个顾客的平均逗留时间为：

$\overline{T_t\left({\theta }^{*}\right)}=\frac{E\left[\gamma \left(t,{\theta }^{*}\right)|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right]}{E\left[\alpha \left(t,{\theta }^{*}\right)|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right]}$

从而在这段时间里，单位时间中系统的平均顾客数为：

$\overline{L_t\left({\theta }^{*}\right)}=\frac{E\left[\gamma \left(t,{\theta }^{*}\right)|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right]}{t}.$

也可以表示为：

$\overline{L_t\left({\theta }^{*}\right)}=\frac{E\left[\gamma \left(t,{\theta }^{*}\right)|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right]}{E\left[\alpha \left(t,{\theta }^{*}\right)|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right]}.\frac{E\left[\alpha \left(t,{\theta }^{*}\right)|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right]}{t}.$ (4)

接下来，我们记

$\overline{\lambda \left({\theta }^{*}\right)}=\underset{t\to \infty }{\lim }\overline{{\lambda }_t\left({\theta }^{*}\right)},E\left(T^{*}|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }\overline{T_t\left({\theta }^{*}\right)},E\left(L\left({\theta }^{*}\right)\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }\overline{L_t\left({\theta }^{*}\right)}$

在系统平衡条件下，上述三个极限存在，对(4)式两端取极限，令 $t\to \infty$ 得：

$E\left(L\left({\theta }^{*}\right)\right)=\overline{\lambda \left({\theta }^{*}\right)}E\left(T^{*}|{\xi }^{\text{*}}={\theta }^{\text{*}}\right)$

即

$E\left(T^{*}|{\xi }^{\text{*}}={\theta }^{\text{*}}\right)=\frac{E\left(L\left({\theta }^{*}\right)\right)}{\overline{\lambda \left({\theta }^{*}\right)}}$

2) 设 ${\gamma }^{\text{*}}\left(t,{\theta }^{*}\right)$ 表示在 $\left(0,t\right]$ 内进入系统的 $\alpha \left(t,{\theta }^{*}\right)$ 个顾客到时刻t为止等待时间之和。那么每个顾客的平均等待时间为：

$\overline{W_t\left({\theta }^{*}\right)}=\frac{E\left[{\gamma }^{*}\left(t,{\theta }^{*}\right)|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right]}{E\left[\alpha \left(t,{\theta }^{*}\right)|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right]}.$

从而在 $\left(0,t\right]$ 里，单位时间中系统的平均等待顾客数为：

$\overline{L_{qt}\left({\theta }^{*}\right)}=\frac{E\left[{\gamma }^{\text{*}}\left(t\right)|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right]}{t}=\frac{E\left[{\gamma }^{\text{*}}\left(t\right)|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right]}{E\left[{\alpha }^{\text{*}}\left(t\right)|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right]}\cdot \frac{E\left[{\alpha }^{\text{*}}\left(t\right)|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right]}{t}.$

所以当 $\overline{\lambda \left({\theta }^{*}\right)}=\underset{t\to \infty }{\lim }\overline{{\lambda }_t\left({\theta }^{*}\right)}$， $E\left(W^{*}|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }\overline{W_t\left({\theta }^{*}\right)}$ 存在时， $E\left[L_q\left({\theta }^{*}\right)\right]=\underset{t\to \infty }{\lim }\overline{L_{qt}\left({\theta }^{*}\right)}$ 也存在，从而可得：

$E\left[L_q\left({\theta }^{*}\right)\right]=\overline{\lambda \left({\theta }^{*}\right)}E\left(W^{*}|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right),$

即

$E\left(W^{*}|{\xi }^{*}={\theta }^{*}\right)=\frac{E\left(L_q\left({\theta }^{*}\right)\right)}{\overline{\lambda \left({\theta }^{*}\right)}}$

注2：随机环境下的利特尔公式的推导与顾客到达时间间隔、服务时间、以及排队的规则无关。

4. 随机Kolmogorov向前与向后方程

本文的最后，将讨论随机环境中的M/M/n排队系统的状态过程 $X^{*}$ 的转移概率 $p\left({\theta }^{*},t;i,j\right)$ 的随机Kolmogorov方程。这里 $p\left({\theta }^{*},t;i,j\right)$ 采用 [7] 中的表示方法。对每个 ${\theta }^{*}\in {\Theta }^{*}，t>0,i,j\in X$， $p\left({\theta }^{*},t;i,j\right)$ 为时齐的随机转移函数。以下讨论结果均在假设状态空间有限的条件下进行：

定理3 (随机Kolmogorov方程)设 $X^{*}=\left\{X^{*}\left(t\right),t\ge 0\right\}$ 是随机环境中M/M/n排队系统的状态过程，且对任意的 ${\theta }^{*}\in {\Theta }^{*}$， $P\left\{{\theta }^{*}\in {\Theta }^{*}|\lambda \left({\theta }^{*}\right)<\infty \right\}=1$，则对 $\forall {\theta }^{\text{*}}\in {\Theta }^{\text{*}},s\ge 0,t>0,i,j\in X$，有

1) 随机Kolmogorov向后方程

$\frac{\partial }{\partial t}p\left({\theta }^{*},t;i,j\right)=\lambda \left({\theta }^{*}\right)p\left({\theta }^{*},t;i+1,j\right)-\lambda \left({\theta }^{*}\right)p\left({\theta }^{*},t;i,j\right);$

2) 随机Kolmogorov向前方程

$\frac{\partial }{\partial t}p\left({\theta }^{*},t;i,j\right)=\lambda \left({\theta }^{*}\right)p\left({\theta }^{*},t;i,j-1\right)-\lambda \left({\theta }^{*}\right)p\left({\theta }^{*},t;i,j\right);$

证：1) 根据 [9] 中定义1的(3)有

$p\left({\theta }^{*},t+h;i,j\right)={\displaystyle \underset{k\in X}{\sum }p\left({\theta }^{*},h;i,k\right)p}\left({\theta }^{*},t;k,j\right),$

变形得到

$p\left({\theta }^{*},t+h;i,j\right)-p\left({\theta }^{*},t;i,j\right)={\displaystyle \underset{k\ne i}{\sum }p\left({\theta }^{*},h;i,k\right)p\left({\theta }^{*},t;k,j\right)}-\left(1-p\left({\theta }^{*},h;i,i\right)\right)p\left({\theta }^{*},t;i,j\right),$

对上式两端取极限，令 $h\to 0$ 得

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{p\left({\theta }^{*},t+h;i,j\right)-p\left({\theta }^{*},t;i,j\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \underset{k\ne i}{\sum }\frac{p\left({\theta }^{*},h;i,k\right)}{h}p\left({\theta }^{*},t;k,j\right)}-\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-p\left({\theta }^{*},h;i,i\right)}{h}p\left({\theta }^{*},t;i,j\right),$ (5)

因为假设随机环境中的M/M/n排队系统的状态有限，所以极限与求和运算可交换，即

$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \underset{k\ne i}{\sum }\frac{p\left({\theta }^{*},h;i,k\right)}{h}p\left({\theta }^{*},t;k,j\right)}={\displaystyle \underset{k\ne i}{\sum }\underset{h\to 0}{\lim }\frac{p\left({\theta }^{*},h;i,k\right)}{h}p\left({\theta }^{*},t;k,j\right)}$

于是可将(5)式变形得到

$\begin{array}{l}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{p\left({\theta }^{*},t+h;i,j\right)-p\left({\theta }^{*},t;i,j\right)}{h}\\ ={\displaystyle \underset{k\ne i}{\sum }\underset{h\to 0}{\lim }}\frac{p\left({\theta }^{*},h;i,k\right)}{h}p\left({\theta }^{*},t;k,j\right)-\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-p\left({\theta }^{*},h;i,i\right)}{h}p\left({\theta }^{*},t;i,j\right),\end{array}$ (6)

又根据 [9] 中定义2的(3)，对 $\forall k\in X$ 有

$\begin{array}{l}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-p\left({\theta }^{*},h;k,k\right)}{h}=\lambda \left({\theta }^{*}\right),\\ \underset{h\to 0}{\lim }\frac{p\left({\theta }^{*},h;k,k+1\right)}{h}=\lambda \left({\theta }^{*}\right),\end{array}$ (7)

代入(6)式有

$\frac{\partial }{\partial t}p\left({\theta }^{*},t;i,j\right)=\lambda \left({\theta }^{*}\right)p\left({\theta }^{*},t;i+1,j\right)-\lambda \left({\theta }^{*}\right)p\left({\theta }^{*},t;i,j\right),$

因此，随机Kolmogorov向后方程得证。

2) 类似地，根据定义1的(3)有

$p\left({\theta }^{*},t+h;i,j\right)={\displaystyle \underset{k\in X}{\sum }p\left({\theta }^{*},t;i,k\right)p}\left({\theta }^{*},h;k,j\right),$

变形可得

$p\left({\theta }^{*},t+h;i,j\right)-p\left({\theta }^{*},t;i,j\right)={\displaystyle \underset{k\ne j}{\sum }p\left({\theta }^{*},t;i,k\right)p}\left({\theta }^{*},h;k,j\right)-\left(1-p\left({\theta }^{*},h;j,j\right)\right)p\left({\theta }^{*},t;i,j\right),$

于是有

$\begin{array}{l}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{p\left({\theta }^{*},t+h;i,j\right)-p\left({\theta }^{*},t;i,j\right)}{h}\\ =\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \underset{k\ne j}{\sum }p\left({\theta }^{*},t;i,k\right)\frac{p\left({\theta }^{*},h;k,j\right)}{h}}-\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-p\left({\theta }^{*},h;j,j\right)}{h}p\left({\theta }^{*},t;i,j\right),\end{array}$

状态有限，上式中极限与求和运算顺序可交换，因此上式可变为

$\begin{array}{l}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{p\left({\theta }^{*},t+h;i,j\right)-p\left({\theta }^{*},t;i,j\right)}{h}\\ ={\displaystyle \underset{k\ne j}{\sum }p\left({\theta }^{*},t;i,k\right)}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{p\left({\theta }^{*},h;k,j\right)}{h}-\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-p\left({\theta }^{*},h;j,j\right)}{h}p\left({\theta }^{*},t;i,j\right),\end{array}$ (8)

最后利用(7)式的结果代入(8)式得到

$\frac{\partial }{\partial t}p\left({\theta }^{*},t;i,j\right)=\lambda \left({\theta }^{*}\right)p\left({\theta }^{*},t;i,j-1\right)-\lambda \left({\theta }^{*}\right)p\left({\theta }^{*},t;i,j\right).$

因此，随机Kolmogorov向前方程得证。定理证明完毕。

注3：因为随机转移函数关于时间t是时齐的，随机转移函数关于t的可导性无特殊要求。