1. 引言
二元函数极值是高等数学课程中一个重要的数学问题,它广泛应用于长度、面积、体积及部分物理,经济问题最值,运筹学最优化问题等的讨论。而讨论二元函数极值时,其判别方法远比一元函数麻烦,下面就二元函数极值判别的充分定理失效后,极值是否存在作一些探讨。
2. 二元函数极值讨论
二元函数极值的充分定理是:当
在
的邻域内具有二阶连续偏导数,当
为驻点,记
,则
取得极值,
不取得极值 [1]。
那么当
如何讨论,本文解决一些特殊情形下的极值讨论。
1、当
在
的邻域内具有三阶连续偏导数,当
为驻点,记
,且满足
,
或
,显然
,如果
但
,则
不是极值点。
证明:不妨设
,
,则有保号性定理存在
的某个邻域,使得
,在
平面上曲线
,
为曲线的拐点且可导,所以不是极值点 [2],即曲线上在该点邻域内既有比该点函数值大的点,也有小的点,所以二元函数
在
不取极值。
例1.讨论
的极值
解:由
得为驻点,且
,
,故
不是该函数的极值点。
2、当
在
的邻域内具有二阶连续偏导数,当
为驻点,记
,
,
,且满足
,
且
,如果在
邻域内
,则
是极值点。
证明:在驻点
处,由二元函数泰勒公式得
当
不同时为0时,
与
同号,所以当
时,由保号性定理在驻点邻域内
,所以
,函数值为极小值,同理,
,函数值为极大值,可推广到
例2.讨论
的极值
解:由
得
为驻点,
所以在
点,
,
,
,
,因为
,所以
故
是该函数的极小值点
3、添加辅助函数说明极值不存在,当
在
取得极小(大)值,则
在
也取得极小(大)值。
例3.讨论函数
在
是否取得极值?
解:
,
在
处,
,无法判别。
取
,故0不可能是极大值,不妨设
为
的极小点,构造函数
,由充分定理判别得
为
极小点。
令
所以得
为
的极小点。
但对于
,
,
所以在
处
得到矛盾,
不是极小点,从而不是极值点。
3. 结论
二元函数极值判别方法很多,但都没有完善的理论,本文也仅仅是判别法的一个补充。