开放式基金投资组合风险度量——基于Copula-ARMA-GARCH模型

The Risk Measurement on Portfolio of Open-End Fund—Based on Copula-ARMA-GARCH Model

摘要: 本文构建Copula-ARMA-GARCH模型，研究开放式基金投资组合的风险度量问题。所选数据为景顺长城和泰达宏利的每日单位净值序列，采用ARMA-GARCH-t模型拟合其边缘分布，选取拟合效果较好的t-Copula函数描述资产之间的相关结构，建立联合分布模型，进而采用蒙特卡洛模拟方法计算投资组合的VaR。结果表明，景顺长城和泰达宏利之间对称相关，当置信水平相同时，不同权重组合的VaR不同，投资组合权重相同时，随着置信水平提高，VaR增大，应用Copula-ARMA-GARCH模型计算投资组合VaR对研究基金市场的风险具有重要的理论意义和实用价值。

Abstract: The Copula-ARMA-GARCH model is constructed to study the risk measurement on portfolio of open-end funds. The selected data are the daily unit net worth series of Invesco Great Wall and Teda Manulife. The ARMA-GARCH-t model is used to fit the edge distribution, and t-Copula function with good fitting effect is selected to describe the correlation structure between assets. The joint distribution model is built, and then the Monte Carlo simulation method is used to calculate the VaR of the portfolio. The results show that there is a symmetric correlation between Invesco Great Wall and Teda Manulife, and at the same confidence level, the VaR of different weight combinations is different; when the portfolio weight is the same, with the increase of confidence level, VaR increases. The application of Copula-ARMA-GARCH model to calculate portfolio VaR has important theoretical significance and practical value for studying the risk of fund market.

1. 引言

近年来，开放式基金在我国的金融市场中占据了越来越重要的位置，然而，其所承受的风险也越来越大，其中市场风险尤为突出。因此，如何有效地度量、规避基金市场风险成为投资者极为关注的问题。

由于金融资产波动剧烈，传统的线性相关建模方法并不能准确度量资产间的相关结构，Sklar提出了Copula函数不仅可以描述金融资产之间非线性相关关系，还消除了对边缘分布和联合分布正态性假设的依赖 [1]，因此Copula理论在金融风险度量的研究中得到广泛的应用 [2]。Embrechts等把Copula理论引入到金融风险度量中，且进一步探讨了传统的线性相关系数在实际运用当中的不足，证实了此理论在研究相依关系的有效性 [3] [4] [5]。由于GARCH模型可以刻画金融时间序列的波动聚集现象，Jondeau和Rockinger提出了Copula-GARCH模型，并基于此模型分析国际上四个主要股票市场之间的相关性 [6]。然后国内学者也开始研究Copula理论在金融领域的应用。张尧庭研究分析了Copula模型在我国金融市场的可应用性 [7]。也有学者用Copula函数模型对不同的相依性进行研究 [8] [9]，Copula函数是将多个一元分布连接起来构成联合分布的连接函数，度量风险时单个金融资产边缘分布的准确刻画至关重要。GARCH族模型是用以刻画金融时间序列最常用的波动模型，吴振翔等结合Copula和GARCH两个函数优势建立了Copula-GARCH 模型，对我国股票市场的风险进行精准分析 [10]。何其祥等运用Copula-GARCH模型对金融投资组合的风险度量问题进行实证研究 [11] [12] [13] [14] [15]。韦艳华和张世英提出了可用于资产投资组合分析的多元Copula-GARCH模型，结合Monte Carlo模拟法，对上海股市进行了实证研究 [16]。以上学者对投资组合风险的研究主要集中于股票、期货、外汇市场，对开放式基金风险的研究相对较少。因此文中将基于Copula理论对开放式基金的在险价值进行研究。

2. 模型构建

2.1. Copula函数

2.1.1. 椭圆Copula族函数

1) 二元正态Copula分布函数：

$C\left(u,v,\rho \right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{{\Phi }^{-1}\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{{\Phi }^{-1}\left(v\right)}\frac{1}{2\pi \sqrt{1-p^2}}\exp \left[-\frac{s^2-2pst+t^2}{2\left(1-p^2\right)}\right]\text{d}s\text{d}t}}$ (1)

正态Copula函数适合刻画对称相关性，具有显著的对称性，但难以捕捉尾部相关关系，会低估实际风险。

2) 二元t-Copula分布函数：

$C\left(u,v;\rho ,k\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{t_k^{-1}\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{t_k^{-1}\left(v\right)}\frac{1}{2\pi \sqrt{1-p^2}}{\left[1+\frac{s^2-2pst+t^2}{k\left(1-p^2\right)}\right]}^{-\left(k+2\right)/2}\text{d}s\text{d}t}}$ (2)

t-Copula函数适合描绘较厚尾部对称的相关性，对风险相关性更敏感。

2.1.2. 阿基米德Copula族函数

1) 二元Gumbel Copula分布函数：

$C\left(u,v;\alpha \right)=\exp \left\{-{\left({\left(-\ln u\right)}^{\alpha }+{\left(-\ln v\right)}^{\alpha }\right)}^{\frac{1}{\alpha }}\right\}$ (3)

Gumbel Copula函数适合描述非对称相关关系，更快地捕捉上尾的变化。

2) 二元Clayton Copula发布函数：

$C\left(u,v;\theta \right)={\left(u^{-\theta }+v^{-\theta }-1\right)}^{-\frac{1}{\theta }}$ (4)

Clayton Copula适合描绘非对称相关关系，并且对下尾的风险更敏感。

3) 二元Frank Copula分布函数：

$C\left(u,v;\lambda \right)=-\frac{1}{\lambda }\ln \left(1+\frac{\left({\text{e}}^{-\lambda u}-1\right)\left({\text{e}}^{-\lambda v}-1\right)}{{\text{e}}^{-\lambda }-1}\right)$ (5)

Frank Copula适合描绘对称的相关性，捕捉在中心以及顶上尾和下尾更均匀分布的风险。

2.2. 边缘分布模型构建

GARCH类模型可以捕捉金融时间序列的厚尾特性和波动聚集性，t分布可以描述其时变性，所以本文构建ARMA-GARCH-t模型拟合金融资产的收益率，模型表达式如下：

$\{\begin{array}{l}{r}_t=\mu +\phi r_{t-1}+\theta {\epsilon }_{t-1}+{\epsilon }_t,\\ {\epsilon }_t={\sigma }_t{z}_t,z_t~t_v,\\ {\sigma }_t^2=\omega +\alpha {\epsilon }_{t-1}^2+\beta {\sigma }_{t-1}^2,\end{array}$ (6)

其中： $r_t$ 为各资产收益率序列， $\mu$ 为收益率均值， ${\sigma }_t$ 表示收益率的波动率， $\phi ,\theta ,\omega ,\alpha ,\beta$ 为待估参数， $t_v$ 为自由度为v的t分布。

2.3. VaR的计算

VaR是指在一定的置信水平下，某金融资产或资产组合在未来特定时期内的最大可能损失，数学公式表示为：

$prob.\left(\text{Δ}p\le \text{VaR}\right)=1-\alpha$. (7)

其中， $prob.\left(\right)$ 表示某个事件发生的概率， $\Delta p$ 是某资产或资产组合在特定时期内的损失， $\alpha$ 表示一定的置信水平。

3. 实证分析

3.1. 数据的选取与处理

本文选取了景顺长城(000418)和泰达宏利(000319)两支开放式基金作为研究样本，基于Copula-ARMA-GARCH模型研究投资组合的VaR。采用的数据为样本基金2015年1月1日~2019年12月31日的每日单位净值，数据来源为中国基金网。基金的日收益率序列为：

$R_t=\ln \left(NA{T}_t/NA{T}_{t-1}\right)$,

其中 $NA{T}_t$ 为第t日的单位净值。

对收益率序列进行基本统计分析，从表1可以看出：两个对数收益率序列的偏度都小于0，具有一定的左偏，峰度的值都大于3，表明收益率序列具有明显的尖峰厚尾特征。另外，JB统计量均大于临界值，且其p值均小于0.05，拒绝序列服从正态分布的假设。

Table 1. Descriptive statistics of Invesco Great Wall and Teda Manulife

表1. 景顺长城和泰达宏利的描述性统计结果

对数据进行ADF检验，发现无论是在1%、5%还是10%的显著性水平下，景顺长城和泰达宏利收益率的ADF统计量都小于临界值，故拒绝原假设，说明这两支基金的收益率序列是平稳的。绘制收益率序列图(图1、图2)，也可看出序列都是平稳的。

Figure 1. Invesco Great Wall yield sequence timing chart

图1. 景顺长城日收益率序列时序图

Figure 2. Time sequence of Teda Manulife daily rate series

图2. 泰达宏利日收益率序列时序图

3.2. 边缘分布建模及参数估计

运用ARCH-LM方法检验上述收益率序列的条件异方差性时，发现景顺长城和泰达宏利收益率序列的LM统计量的p值都小于0.05，在95%的置信水平下，拒绝不存在条件异方差原假设，因此收益率序列存在ARCH效应，可以通过GARCH族模型描述。本文通过ARMA-GARCH(1, 1)-t模型来估计各资产收益率的边缘分布，表2、表3是运用极大似然估计法参数估计的结果。

Table 2. Estimation of mean equation parameters

表2. 均值方程参数估计结果

Table 3. Estimation of variance equation parameter

表3. 方差方程参数估计结果

对上述模型的标准化残差进行自相关性和异方差性检验，发现标准化残差不存在自相关性和异方差性，进而将标准化残差进行概率积分变换，并对变换后的序列进行K-S检验，结果表明变换后的序列服从(0,1)均匀分布。

3.3. Copula函数选取及参数估计

为了选择合适的Copula函数描述景顺长城和泰达宏利的收益率序列的相依性，绘制其二元频率直方图(图3)，可以发现频率直方图的尾部对称，结合之前介绍的Copula函数的性质，可知正态、t和Frank Copula函数可能适合描述样本序列的相关结构。

Figure 3. Frequency histogram of daily logarithmic return rate of Invesco Great Wall and Teda Manulife

图3. 景顺长城和泰达宏利收益率频率直方图

对以上三种Copula函数进行参数估计，并计算对应的平方欧氏距离，结果如表4所示，t-Copula函数的平方欧式距离最小，根据二元频率直方图和平方欧氏距离综合判断，t-Copula函数拟合效果较好。计算其Kendall秩相关系数和Spearman相关系数，发现与用收益率原始数据计算出的Kendall秩相关系数和Spearman相关系数比较接近，见表5，所以t-Copula函数能很好地描述样本基金之间的相依性。

Table 4. Estimation results of related parameters and squared Euclidean distance

表4. 相关参数和平方欧氏距离的估计结果

Table 5. Kendall correlation coefficient and Spearman correlation coefficient

表5. Kendall相关系数和Spearman相关系数

3.4. 蒙特卡罗模拟计算VaR

通过Monte Carlo模拟两支基金构成的投资组合的未来的收益，具体方法如下：

1) 由蒙托卡罗模拟生成10,000组具有上述t-Copula函数分布的随机数 $\left\{u,v\right\}$，用逆概率积分得到 $\left\{F_1{}^{-1}\left(u\right),F_2{}^{-1}\left(v\right)\right\},F_1^{-1},F_2^{-1}$ 分别为各自序列的逆分布。

2) 将 $\left\{F_1{}^{-1}\left(u\right),F_2{}^{-1}\left(v\right)\right\}$ 代入波动率方程得到的各支基金的模拟收益率 $\left\{r_{1,T+1},r_{2,T+1}\right\}$ ( $T+1$ 时刻)。

3) 假设基金在投资组合中所占权重为 $\alpha ,\beta \left(\alpha +\beta =1\right)$，则投资组合收益率为： $R_{T+1}=\alpha r_{1,T+1}+\beta r_{2,T+1}$。

4) 给定置信水平，即可求出投资组合相应的VaR。

在置信水平为95%和99%时，计算了投资组合三种权重比下的VaR，如表6所示：

Table 6. Portfolio VaR based on t-Copula function

表6. 基于t-Copula函数计算的投资组合VaR

4. 结语

利用Copula-ARMA-GARCH模型对景顺长城和泰达宏利收益率序列相关性进行分析，发现二者之间对称相关，且相关系数大于0，表明两支基金收益率序列呈正相关。进而采用Monte Carlo方法模拟产生各资产的收益率序列，计算出投资组合的VaR。结果表明，在同一置信水平下，不同权重组合的VaR不同，投资组合权重相同时，置信水平提高，VaR增大。金融资产之间存在非线性相关结构，所以借助Copula函数计算投资组合VaR比传统估计VaR的方法更有效，使得投资组合的风险估计和最优投资方案得到更定量的描述。

基金项目

国家自然科学基金项目(11601410)，陕西省自然科学基金项目(2017JM1007)。

参考文献