1. 引言
非奇异H-矩阵作为特殊矩阵中的重要矩阵类,其数值判定方法一直是研究的热点问题,国内外学者从不同的角度进行了研究,给出了许多研究成果 [1] - [12]。其中,文献 [1] 利用不等式放缩技巧,改进放缩因子,得到一组一般的判定条件。文献 [2] 将判定不等式的放缩因子迭代,给出判定非奇异H-矩阵的迭代式新条件,文献 [3] 根据行和与对角元素的关系将非对角占优的集合进行m-级划分,从而得到判定非奇异H-矩阵更为高效的方法。文献 [4] 提出将细分指标集和迭代放缩因子结合,得到了非奇异H-矩阵的细分迭代判别条件。本文在上述基础上,对非对角占优行指标集m-级划分的同时,改进了判定条件中的递进迭代系数,构造新的正对角矩阵,推广和改进了已知的相关结果,并通过若干个数值算例对比分析,说明了新判定方法的优越性。
首先记 为
阶复(实)矩阵的集合,
,设
,又记
,文中简记
。对
,如果
,则称A为对角占优矩阵;对
,如果
,则称A为严格对角占优矩阵,记为
;若存在正对角阵X,使得
为严格对角占优矩阵,则称A为非奇异H-矩阵,记为
。
定义1 [5] 设
为不可约矩阵,若
,且其中至少有一个严格不等式成立,则A为不可约对角占优矩阵。
定义2 [6] 设
,若对满足
,且其中至少有一个严格不等式成立,又对每个等式的下标i,都存在非零元素链
,使得
,则称A为具非零元素链对角占优矩阵。
引理1 [7] 设
为不可约对角占优矩阵,则
。
引理2 [7] 设
为具有非零元素链对角占优矩阵,则
。
记,
显然,如果
为空集,那么
;如果
,则
。因而我们假设集合
是非空的,集合
也是非空的。因为非奇异H-矩阵的主对角线上的元素都是非零的,所以本文中涉及的矩阵对角元均假设为非零。另外,在本文中总假定矩阵每行中的非主对角线上的元素模和为正。
将
进一步划分
,其中m是任意正整数,取
,
,且
,
,
这里部分可能为空集。
2. 主要结果
为了叙述方便,引入以下符号:
,
,
,
,
,
.
规定:在本文定理中,对
,
,
和
不会同时存在。
2.1. 定理1
设
,若存在
,使得
, (1)
, (2)
则
。
证明
根据
的定义可知,
,
又根据
的定义,对
有
,
即
,
则
。故对
,有
,假设当
时,
,则当
时,由
,
可得
,故由数学归纳法知,
。
因为
,因此对
,
,有
.
进而由
的定义,对
,有
。因此对
,
,有
.
故由
的定义,对
,
,有
。
利用(1)式和(2)式,存在
,可适当地选择充分小的
,使
同时满足
, (3)
, (4)
构造正对角矩阵
,记
,其中
1) 对
,由(3)式得
2) 对
,由(4)式得
3) 对
,
,有
,由
,
得
(5)
综上所述,
,即
,所以矩阵
是非奇异H-矩阵。证毕。
注1 由于
,
,则本文定理1在迭代判定时要比文 [1] 定理1的判定范围更宽,后面的数值算例可以详细说明。
在定理1中取
,则
,即得推论1。
2.1.1. 推论1
设
,若存在
,使得
,
,
则
。
注2 因为
,
,对
,
,有
,
,此时本文推论1的迭代因子比文 [2] 和文 [4] 中定理1的迭代因子小。所以本文推论1的判定条件比文 [2] 定理1和文 [4] 定理1的条件弱,判定的矩阵范围更广。故本文推论1推广了文 [2] 的定理1和文 [4] 的定理1,后面的数值算例可以说明。
在定理1中取
,则
,
,
即得推论2。
2.1.2. 推论2
设
,若存在
,使得
则
。
注3 因为
,
,又对
,
,
,并且随着每次迭代
的取值会逐渐变小,所以本文推论2改进了文 [3] 定理1的判定条件,后面的数值算例可以说明。
2.2. 定理2
设
,
不可约,若存在
,使得
,(6)
, (7)
且上式中至少有一个严格不等式成立,则
。
证明
因为A是不可约的,所以存在任一非空集,
,
,
,有
不全为0。
构造正对角矩阵
,记
,其中
1) 对
,由(6)式得
;
2) 对
,由(7)式得
;
3) 对
,
,由(5)式得
.
综上所述,
,且至少有一个严格不等式成立。由矩阵A不可约的性质可知矩阵
不可约,所以B是不可约对角占优矩阵。所以由引理1可知
,即存在正对角阵D2使得
,则
为严格对角占优矩阵。由于
是正对角阵,所以A是非奇异H-矩阵。
2.3. 定理3
记
,其中
,
,
.
定理3 设
,A不可约,若存在
,使得
, (8)
, (9)
且上式中至少有一个严格不等式成立,即
。如果
都有非零元素链
使得
,则
。
3. 数值实例
例1 设矩阵
则在判定矩阵A是否为非奇异H-矩阵时,文 [1],文 [2],文 [3] 及文 [4] 的定理条件都无法判定,而用本文的判定定理可以判定。(以下计算结果均保留六位小数。)
事实上,对文 [1],有
;
现取
,
。
对文 [2],有
;
对文 [3],有
;
对文 [4],有
;
而对本文定理1,当
时,即为推论1,则
,
,
,
;
显然满足本文推论1的判定条件,取正对角矩阵
,
有
,则矩阵A是非奇异H-矩阵。
例2 设矩阵
则在判定矩阵A是否为非奇异H-矩阵时,文 [1],文 [2],文 [3] 及文 [4] 的定理条件都无法判定,而用本文的判定定理可以判定。(以下计算结果均保留六位小数。)
事实上,对文 [1],有
;
现取
,
。
对文 [2],有
;
对文 [3],有
;
对文 [4],有
;
而对本文定理1,当
时,即为推论2,则
,
,
,
;
显然满足本文推论2的判定条件,取正对角矩阵
,
有
,则矩阵A是非奇异H-矩阵。
例3 设矩阵
则在判定A是否为非奇异H-矩阵时,文 [1],文 [2],文 [3] 及文 [4] 的定理条件都无法判定,而用本文的判定定理可以判定。(以下计算结果均保留六位小数。)
事实上,对文 [1],有
;
现取
,
。
对文 [2],有
;
对文 [3],有
;
对文 [4],有
;
而对本文定理1,当
时,有
,
,
,
,
;
显然满足本文定理1的条件,取正对角矩阵
,
有
,则矩阵A是非奇异H-矩阵。
4. 结论
1) 通过例1表明,本文的迭代判定方法比文献 [1] 定理1和文献 [3] 定理1的非迭代的判定方法好,且迭代次数少于文献 [2] 和文献 [4] 定理中的迭代判定定理。
2) 通过例2表明,本文推论2和文献 [3] 定理1将非占优行指标集分为两个区间时,本文推论2的判定方法要优于文献 [3] 的定理1,且迭代一次就能判定,而文献 [2] 和文献 [4] 迭代一次时不能判定。
3) 通过例3表明,本文细分非占优行指标集区间后判定范围比文献 [3] 定理的判定范围更广,并且在m相同的情况下,本文定理1的迭代次数要少于文献 [2] 和文献 [4] 的判定定理。
因此,本文给出的非奇异H-矩阵细分迭代实用判定方法,不仅扩宽矩阵的判定范围,而且判定更高效。
致谢
感谢庹清老师对本项目的悉心指导和帮助。
基金项目
国家自然科学基金(11461027)和吉首大学校级科研项目资助(Jdy20056)。
NOTES
*通讯作者。