1. 引言
1972年,M. Matsumoto [1] 推广了Randers度量的概念,得到了
-度量。
-度量
是由Riemann度量
和1-形式
构成的一类重要的Finsler度量,其中
是定义在开区间
上的光滑正函数,并满足
使得
为正定的Finsler度量。不难看出,这类
-度量包含了所有的Riemann度量(
或者
),这是Finsler几何中一类重要的度量,它们已经被应用到物理、生物等学科 [2] [3]。因此,人们对这类特殊的度量进行了深入研究。当
时,
-度量
称为Randers [4] 度量,它是最简单Finsler度量,著名的Funk度量就是射影平
坦且旗曲率为
的Randers度量;当
,那么
称为Square度量,它是由L. Berwald [5] 构造的二次平方度量,其旗曲率为
。而当
,那么
称为Matsumoto
度量。它是由日本数学家M.Matsumoto在研究山路的斜坡问题时抽象出来的度量,其中
是地球引力,
是高度。
近年来,受到Riemann子流形研究的影响,Finsler子流形的研究越来越受到人们的重视。1998年,在没有借助任何联络的情况下,文献 [6] 研究了在Busemann-Hausdorff-体积形式下Finsler子流形几何。之后,文献 [7] 考虑了Minkowski Randers空间的(超)曲面,得到了极小曲面的Bernstein型定理。2006年,文献 [8] 和文献 [9] 提出了另一种集中于Holmes-Thompson测度的方法,引入了法曲率以及Holmes- Thompson平均曲率的概念并给出了具体的表达式。而文献 [10] 首次引入了体积比函数
目的是为了简化平均曲率公式并使它们适用于Busemann-Hausdorff测度和Holmes-Thompson测度下
-空间中的浸入曲面。
本文考虑一般
-流形
,其中
,
是一个Riemann度量,
是1-
阶微分形式,
是
在度量
的长度,
在条件
下是一个2-变量光滑正函数,且满足式(8)使得
是正定的Finsler度量。我们将引用文献 [11] 中一个涉及了
-平均曲率向量和一个向量场切分量相关的散度项的自然恒等式(定理1.3)。选择一类特殊的
-度量
其中
是定义在某区间
上的光滑正函数且
。本文旨在利用自然恒等式研究在Busemann-Hausdorff测度和Holmes-Thompson测度下一类特殊
-流形在一定条件下不存在闭的可定向的极小子流形和极小曲面。
2. 预备知识
本节主要介绍后面所用到的一些概念和记号。在整个文章中,也使用Einstein求和约定。简称Busemann-Hausdorff体积形式为BH-体积形式,Holmes-Thompson体积形式为HT-体积形式。
定义1 用
表示
上的一个Lie导数算子。因为
是一个对称协变(0,2)-张量,所以可以定义一个(1,1)-张量(仍然用
表示)。对任意
上的向量场
和
,我们有
(1)
定义2 如果对
上的一个光滑函数
,使得
,即
(2)
其中
和
是
上的任意两个向量场,那么向量场
称为
的共形向量场。特别地,如果
,则
称为Killing向量场。
3. 一个自然恒等式
在文献 [11] 中,通过运用子流形的理论知识进行大量计算,自然引入了体积比函数
(3)
这样的一个函数是在计算过程中自然出现的,目的是为了简化
-平均曲率向量和自然恒等式。其中
是一个任意3-变量光滑正函数,在没有特别提醒的情况下,我们用
表示
关于
的偏导数,那么
和
等也是表示关于
求偏导数。对于任意的向量场
,用
表示其法向分支。
引理1 [11] 设
是一个
维的Riemann流形且具有向量场
,
是
的一个子流形,用
表示度量
的一个Levi-Civita联络,取
一个局部正交标架
,使得
与
相切。则对
上的切向量
,总有
(4)
其中
和
是由式(3)给出,
是一个任意的光滑函数,
是关于流形
在诱导度量
下的散度算子,
称为流形
的
-平均曲率向量,即
(5)
其中
称为流形
的第二基本形式,
表示
在流形
的Riemann平均曲率向量,
由式(1)给出。
,
是梯度向量场
,
的法向分支。
注记1 假设引理1中同样的条件。特别地,如果
,那么
,则式(4)可以简化为
进一步来说,若
且
是共形向量场(2),则
,
,
。在这里令
,我们有
(6)
因此就得到了一个自然恒等式(6),它是涉及了一个
-平均曲率向量和一个向量场切分量相关的散度项,我们将在第5节给出其具体的应用。
4. 一般
-度量体积元
一般
-度量中的Finsler度量是近十年来重要的研究内容。我们知道,赋予Finsler度量
的
维微分流形
称为Finsler流形
。其中光滑流形
上的一个Finsler度量
是定义在切从
上的连续函数
,它满足以下条件:i)
在
上是光滑的;ii) 对于任意的实数
和
,
;iii) 定义在
的基本张量
是正定的,其中在
上的一个局部坐标系下
,
。而在Finsler度量中,那里有一系列更广泛的度
量称为一般
-度量,它是由文献 [12] 提出的。
设
是一般
-流形且具有一般
-度量,若对任意
,
,则有
(7)
其中
是一个Riemann度量,
是一个1-次微分形式且
。
是一个2-变量光滑正函数(参看文献 [12] 命题3.3)满足:
(8)
或者
当
,其中
和
是任意实数且满足
。
在文献 [13] 中,一般
-流形
的Busemann-Hausdorff测度和Holmes-Thompson测度已经被计算出来,它的证明方法类似于文献 [14] 和文献 [15]。对任意
和一个实数
,我们定义
(9)
其中
。
是一个Euler函数且满足递推公式
,
,
。
引理2 [13] 对于具有度量(7)的一般
-流形
,关于在度量
下的BH-体积形式和HT-体积形式为
,其中
,
是由式(9)给出。
在本节中,我们考虑一个一般
-流形中定向等距浸入的子流形
,其中
。那么在流形
上的诱导度量
是一个一般
-度量
,其中
是诱导的Riemann度量,
是诱导的1-形式。
可以看作
是限制在
上的函数,而流形
上
一般是不等同于
且具有如下关系:
,
其中
是关于法从在度量
下的单位正交标架。通过引理2可以知道,
的BH-体积形式和HT-体积形式具有形式
那么根据式(9),函数
可以为
(10)
其中
(11)
且
,
。因为
,所以
是一个关于变量
函数。
5. Busemann-Hausdorff和Holmes-Thompson测度下的子流形
在Finsler几何中,BH-体积形式和HT-体积形式是两个重要的体积形式。根据式(10),对任意维度的一般
-流形,函数
均不能表示为初等函数,但我们仍然可以对它进行研究。因此在本小节,我们将深入研究一类特殊
-流形在BH-测度和HT-测度下的极小子流形和极小曲面的不存在性。
在文献 [11] 中,通过观察式(6)的最后一项,作者计算了式(10)中HT-情况下的
,即
(12)
其中
(13)
且
,
。因为
,所以式(11)中函数
可以看作是关于
的函数。当给定函数
且
满足式(8)后,那么通过一个技术上的计算就可以判断出
值的正负(在这里利用了
关系),因此作者证明了投影平坦Finsler流形
中不存在HT-极小子流形(参看定理5.6)。下面我们首先对在BH-情况下的
进行一个技术上的计算。
引理3 对任意两变量的函数
且满足式(8),其中
,我们有
(14)
证明:根据式(10)中BH-情况我们计算:
从而有
(15)
同理
(16)
注意
,
即
(17)
依据式(15),(16)和(17),我们有
故得到了式(14)。下面将引理1应用于一般
-流形中的子流形,得到以下命题。
命题1 设
是一个等距浸入到一般
-流形
的子流形,其中
。如果
是共形向量场(2),
是关于
的共形1-形式且共形因子
,那么在BH-测度和HT-测度下我们有
(18)
其中
,
,
由式(10)给出,
由式(3)定义,
称为流形
的
-平均曲率向量(5),最后一项由式(12),(13)和(14)给出。
现在考虑一类特殊的
-度量(Randers度量,Square度量和Matsumoto度量),其中度量
,
且
。文献 [16] 已经详细计算了这类度量在满足式(8)的条件下是Finsler度量。下面依据式(18)研究这类特殊
-流形
在一定条件下不存在闭的可定向的BH-极小子流形和闭的可定向的HT-极小曲面(这里
与
无关,故
)。
定理1 设
是一个Finsler流形,其中
,
是关于
的共形1-形式且共形因
子
。则在
的条件下,Finsler流形
中不存在闭的可定向的BH-极小子流形,其中
表
示
在Riemann度量
下的长度。
证明:对任意的
,给定
在Riemann度量
下的长度
,依据式(8)我们有
所以
在条件
下是正定的Finsler度量。由式(14)可以有(这里
):
当给定条件
,
时,则有
那么根据命题1,若存在一个闭的可定向的子流形
,则当
且
时,流形
上的积分(18)
会出现一个矛盾,所以Finsler流形
在条件
下不存在闭的可定向的BH-极小子流形。
注记2 依据定理1的证明过程。设
是一个Finsler流形,其中
,
是关于
的
共形1-形式且共形因子
。则对任意的
,
在Riemann度量
下的长度
,对所有
,我们有
所以
在条件
下是正定的Finsler度量。当给定条件
,
时,由式(14)可以有
那么由命题1,当
且
时,对式(18)进行积分会出现一个矛盾,所以Finsler流形
在
条件
下不存在闭的可定向的BH-极小子流形。
注记3 同注记2的讨论方法一样。给定
,则
,其中
是关于
的共形1-形式且共形因子
。对任意的
,
在Riemann度量
下的长度
,依据式(8)易证明度量
在条件
下是正定的Finsler度量。当给定条件
,
时,根据式(14)我们有
从而根据命题1,当
且
时,对式(18)进行积分会出现一个矛盾,所以在条件
下,
Finsler流形
不存在闭的可定向的BH-极小子流形。
现在来观察等式(13),因为
与
无关且
,所以式(13)右边的第二项是一个负值。在这种情况下给定函数
,则
的计算将会变得复杂。因此为了简便计算,我们将这类特殊
-流形限制在
(曲面情况)进行讨论,那么式(13)可以简化为
(19)
接下来根据式(19),我们继续探讨这类特殊
-流形在Holmes-Thompson测度下极小曲面的不存在性。
定理2 设
是一个Finsler流形,其中
,
是关于
的共形1-形式且共形因子
。则在
的条件下,Finsler流形
不存在闭的可定向的HT-极小曲面,其中
表
示
在Riemann度量
下的长度。
证明:对任意的
,
在Riemann度量
下的长度
,易得到
在条件
下是正定的Finsler度量。由式(19)我们有
从而有
在这里
的关系是
。当给定条件
时,我们有
那么依据命题1,当
且
时,若存在一个闭的可定向的极小曲面,则对式(18)进行积分会
出现一个矛盾,所以Finsler流形
在条件
下不存在闭的可定向的HT-极小曲面。
注记4 给定
,则
,其中
是关于
的共形1-形式且共形因子
。对任意的
,
在Riemann度量
下的长度
,那么度量
在条件
下是正定的Finsler度量。因为
,所以式(13)可以化简为式(19)的一般情况。因此我们讨论
是一种特殊的
情况,当限制
,根据式(13)计算可得
那么依据命题1,当
且
时,对式(18)进行积分会出现一个矛盾,所以Finsler流形
在条件
下不存在闭的可定向的HT-极小子流形。
注记5 依据定理2的证明过程。设
是一个Finsler流形,其中
,
是关于
的共形1-形式且共形因子
。则依据式(8)易证明度量
在条件
下是正定的Finsler度量,那么根据式(19)可得
,
.
当给定条件
,
且
时,我们有
那么依据命题1,当
且
时,对式(18)进行积分会出现一个矛盾,所以在条件
下,
Finsler流形
中不存在闭的可定向的HT-极小曲面。
基金项目
论文由西南交通大学基础培育项目《黎曼–芬斯勒几何若干问题研究》资助(No. 2682021ZTPY042)。