基于自我效能感的数学成绩的预测模型

Prediction Models of Academic Performance in Math Based on the Self-Efficacy

摘要: 本文以淮安市淮海中学的实际调查数据为样本进行实证研究。基于数学学习自我效能感，本文给出了数学成绩的两个预测模型：线性回归模型和Logistic回归模型。结果表明，利用加权最小二乘法得到的线性回归模型具有较高的拟合优度；而Logistic回归模型对“优”、“良”、“差”有较高的预测正确率，对“中”的预测正确率最差。

Abstract: In this paper, an empirical study is conducted by taking samples from survey in Jiangsu Huaihai senior high school. Two prediction models of academic performance in math are obtained based on the self-efficacy, which are linear regression model and Logistic regression model. The results suggest that the linear regression model obtained by weighted least square method has high goodness of fit, and the Logistic regression model has a high prediction accuracy for “excellent”, “good” and “poor”, but has the lowest prediction accuracy for “medium”.

1. 引言

学生的学业成绩是一直教育工作者、心理学家研究的热点问题。许多学者认为学业成绩主要受到智力的和非智力的因素的影响 [1]，其中主要的非智力因素包括自我效能感、归因、成就目标定向等 [2] [3] [4] [5]。

班杜拉认为自我效能感是人类动因的中心机制，是人们行动的重要基础 [6]。作为一种重要的非智力因素，自我效能感通过影响个体的认知过程、动机过程、情感过程和选择过程而调节人类活动 [7]。Schunk的实验结果表明：无论学习任务处于何种难度水平或对待被试的方式如何，自我效能是一个对学业成绩的良好预测指标 [8]。

高中学生的数学学业成绩无疑与学生的自我效能感有关。在前期的研究中，我们参照边玉芳博士的《学习自我效能感量表》 [9]、倪颍丽的《数学学习自我效能感调查问卷》 [10]，结合高中数学学科特点，编制了《数学学习自我效能感量表》进行了实证研究。本文我们将在此基础上，就基于数学学习的自我效能感对数学学业成绩的预测开展研究，给出合理的学业成绩的预测模型。为方便计，下文中所说的自我效能感指的是数学学习的自我效能感。

2. 数据来源

以淮安市淮海中学高一年级的学生为调查对象，共获得了108名同学的自我效能感与数学成绩数据，其中女生占比为47.2%，男生占比为52.8%。部份观测数据参见文末附录。处理数据所用的软件是SPSS19.0 [11]。

调查问卷采用四点李克特量表，其有35个变量，以平均得分来衡量学生的数学学习的自我效能感水平，并以平均得分参与建模，变量名为“自我效能感得分”。参与建模的数学成绩分两种级制，其一是百分制，总分为150分，变量名为“数学成绩”；其二是等级制，共分优、良、中、差四级，变量名为“学业等级”。

3. 基本统计分析

表1给出了数学成绩与自我效能感得分的基本统计量，其中数学成绩的最高分为146分，最低分为47分，均值为97.53分，标准差为21.393；而自我效能感得分的最低分为1.63，最高分为3.43，均值为2.496，标准差为0.33059。

Table 1. Descriptive statistics of academic performance and self-efficacy in math

表1. 数学成绩与自我效能感得分的基本统计量

为了研究数学成绩与自我效能感得分是否存在线性关系，我们计算了二者之间的相关系数，对是否线性相关进行了假设检验，结果如表2。假设检验的p-值几近为0，若取显著性水平为0.05，则拒绝原假设，认为数学成绩与自我效能感是相关的。另一方面Pearson相关系数为0.795，表明二者之间呈正相关且具较高的线性相关性，因此可以尝试进行线性回归分析。为方便计，在接下来的所有假设检验问题中，所取的显著性水平皆为0.05。

Table 2. The correlation between academic performance and self-efficacy in math

表2. 数学成绩与自我效能感得分的相关系数

关于性别及家庭教育方式是否对数学成绩产生显著影响，我们进行了双因素方差分析，结果如表3所示，其中家庭教育方式分为“民主”、“放任”、“严厉”与“专制”四种类别。这里我们仍然取显著性水平为0.05，不难发现无论是“性别”、“家庭教育方式”还是这二者交互都不会对学生的数学成绩产生显著影响，因为它们所对应的p-值分别为0.720、0.843和0.640都大于显著性水平。因此，在进行线性回归分析以及Logistic回归时都不考虑这两个因素的影响。

Table 3. Two-way ANOVA of the gender and family education on the math academic performance

表3. 性别与家庭教育方式对数学成绩影响的双因素方差分析

4. 基于自我效能感的数学成绩的线性回归模型

这一节我们采用加权最小二乘法 [12]，以数学成绩作为被解释变量，以自我效能感作为解释变量建立线性回归模型，其中权重为残差的平方的倒数。

统计计算的结果依次呈现在表4~8中。表4表明采用加权最小二乘法可以获得很高的拟合优度：0.987，表明利用加权最小二乘法得到的回归直线很好地拟合了数据点。

Table 4. Goodness of fit

表4. 拟合优度

表5给出了利用方差分析的方法对回归方程的显著性进行检验的结果。可以看出F检验的p-值几近为0 (<显著性水平0.05)，表明被解释变量与所有的解释变量间存在线性关系。

Table 5. Significance test of regression equation

表5. 回归方程的显著性检验

表6给出加权线性回归方程的系数以及对回归系数是否为0进行了检验，检验的p-值也几近为0 (<0.05)，表明回归方程中变量“自我效能感得分”的系数与0有显著差异，也即“自我效能感得分”与被解释变量“数学成绩”间有显著的线性关系。由表6可得回归方程为

$数学成绩=-32.011+51.851\times 自我效能感得分$ (1)

Table 6. Significance test of regression coefficients

表6. 回归系数的显著性检验

接下来我们检验模型的合理性。表7给出了残差的正态性检验，结果表明K-S检验的p-值为0.280，在显著性水平为0.05的条件下接受原假设，认为残差呈正态分布。而表8中的t检验表明，残差的均值在显著性水平为0.05的条件下与0无显著差异。这里的两个检验表明模型的残差是满足线性回归分析的先决条件的。

Table 7. K-S test of residuals

表7. 残差的K-S检验

Table 8. One sample t-test of residuals

表8. 残差的单样本t检验

进一步地，我们对残差进行了异方差分析，通过计算得残差的绝对值与解释变量的Spearman等级相关系数为−0.082，而检验的p-值为0.402，这两个数据表明，在显著性水平为0.05的条件下，残差序列不存在异方差情形(见表9)。以上结论表明，这里所建立的线性回归模型是一个合理的预测模型。

Table 9. Spearman correlation coefficient

表9. Spearman等级相关系数

5. 基于自我效能感的数学成绩的Logistic回归模型

我们将数学成绩按等级计分，127~150分记为“优”，105~126分记为“良”，90~104分记为“中”，90分以下记为“差”，从而将成绩分成四个等级，在模型中的变量名为“学业等级”，且规定变量“学业等级”取值1、2、3、4分别代表“优”、“良”、“中”、“差”。本节我们以“自我效能感得分”作为解释变量，以“学业等级”作为被解释变量，将“差”级作为参考类别，建立多项Logistic回归模型：

$\begin{array}{c}\text{Logit}{P}_i=\ln \left(P\left(学业等级=i\right)/P\left(学业等级=4\right)\right)\\ ={\beta }_0^i+{\beta }_i\times 自我效能感得分,i=1,2,3\end{array}$ (2)

表10给出了观测数据中学业等级的分布情况，其中“优”、“良”、“中”、“差”占比分别为8.3%、26.9%、28.7%和36.1%。“优”级最少，“差”级最多。

Table 10. Case processing summary

表10. 个案处理摘要

三个测度拟合优度的指标在表11中给出，其中Cox and Snell R²、Nagelkerke R²和McFadden R²分别为0.535、0.580和0.298，显然都不是很高，但是处于可接受水平。从表12中可以发现拟合度的Pearson卡方检验的p-值为0.999，大于显著性水平0.05，表明模型对原始数据的似合通过检验，即被解释变量的实际类别值的与预测类别值的分布无显著差异。

Table 11. Pseudo R-square

表11. 伪R方

Table 12. Goodness of fit

表12. 拟合度检验

表13表明在回归方程中引入变量“自我效能感得分”后，其卡方检验的p-值近似为0，在显著性水平是0.05的条件下，变量“自我效能感得分”对Logit P的贡献是显著的。

Table 13. Likelihood ratio tests

表13. 似然比检验

回归模型的参数估计及Wald检验的结果见表14，或以发现在三个模型中，变量“自我效能感得分”所对应的p-值均小于显著性水平0.05，因此，在三个模型中变量“自我效能感得分”的回归系数与0均有显著性差异，也即变量“自我效能感得分”与Logit P_i (i = 1, 2, 3)有显著的线性关系。三个模型的回归方程依次为：

$\begin{array}{c}\text{Logit}{P}_1=\ln \left(P\left(学业等级=1\right)/P\left(学业等级=4\right)\right)\\ =-50.191+18.058\times 自我效能感得分\end{array}$ (3)

$\begin{array}{c}\text{Logit}{P}_2=\ln \left(P\left(学业等级=2\right)/P\left(学业等级=4\right)\right)\\ =-21.082+8.420\times 自我效能感得分\end{array}$ (4)

$\begin{array}{c}\text{Logit}{P}_3=\ln \left(P\left(学业等级=3\right)/P\left(学业等级=4\right)\right)\\ =-8.993+3.715\times 自我效能感得分\end{array}$ (5)

Table 14. Parameter estimates

表14. 参数估计

表15给出了利用上述模型进行预测的各级别的正确率，结果表明，对于学业等级为“优”、“良”、“中”、“差”的预测正确率分别为77.8%、62.1%、22.6%及71.8%，总正确率为55.6%。尽管总正确率不是太理想，但是对于“优”、“良”、“差”预测正确率较高，因此该模型有一定的实用价值。

Table 15. Classification

表15. 分类表

6. 结论

1) 学生的性别、家庭教育方式以及它们的交互对学生的数学成绩没有显著影响。

2) 学生的数学成绩与数学学习的自我效能感呈正相关，用线性回归模型对数学成绩进行预测，且具较高的拟合优度。

3) Logistic回归模型对以等级制给出的数学学业等级进行预测时，并不能对所有的类别都得到较高的预测准确率，在本文的研究中，Logistic回归模型对于“优”、“良”、“差”预测正确率较高，但是对“中”的预测正确率不高。

基金项目

江苏省教育科学“十三五”规划2017年度课题(D/2016/01/98)。

附录

Table A1. A part of the observation data of the self-efficacy in mathematics learning and academic performance in math

表A1. 数学学习的自我效能感与数学学业成绩的部分观测数据

NOTES

^*通讯作者。