α-稳定模型驱动的线性自吸引扩散过程中参数的最小二乘估计

Least Squares Estimation for the Linear Self-Attracting Diffusion Driven by α-Stable Motions

摘要: 设M^a为一维a-稳定模型且1 < a < 2，本文考虑线性自吸引扩散，其中θ、v是两个实参数且θ>0。本文的主要目的是在离散观测下，建立θ和v的最小二乘估计并讨论其相合性与渐近分布。

Abstract: Let M^a be an α-stable motion of dimension one with . In this paper, we consider the self-attracting diffusion of the forms where θ>0 and v∈R are two unknown parameters. The main object of this paper is to study the least squares estimation of θ and ν under the discrete observation and discuss the consistency and asymptotic distributions of the two estimators.

1. 引言

近几十年来，对生物种群和物质物理形成过程的数学模型的研究越来越广泛和深入。1986年，Coppersmith和Diaconi [1] 提出了一类边缘(顶点)自交互随机游走模型。该模型指出，一种物质的未来状态与它的过去状态密切相关，许多基于这一概念的物理模型也被引入数学领域进行了讨论。在1992年，Durrrett和Rogers [2] 提出了如下的一类随机微分方程

$X_t=X_0+B_t+{\displaystyle {\int }_0^t\text{d}}s{\displaystyle {\int }_0^{s}f}\left(X_s-X_u\right)\text{d}u.$ (1.1)

该方程描述了一种增长聚合物，且 $X_t$ 就代表了聚合物在时刻t的位置，其中 $B=\left\{B_t,t\ge 0\right\}$ 是 ${ℝ}^d$ 上的布朗运动且 $f:{ℝ}^d\to {ℝ}^d$ 是Lipschitz连续的。当 $f\left(x\right)=g\left(x\right)x/\Vert x\Vert$， $g\left(x\right)\ge 0$ 时， $X_t$ 就是由Diaconis和Pemantle [3] 所提出的过程的一个连续类似物。设 ${\mathcal{L}}^X\left(t,x\right)$ 是解过程X的局部时。则有

$X_t=X_0+B_t+{\displaystyle {\int }_0^t\text{d}}s{\displaystyle {\int }_{ℝ}f}\left(-x\right){\mathcal{L}}^X\left(s,X_s+x\right)\text{d}x,$

其中 $t\ge 0$。该方程清楚地展现了X是如何与它的占位测度相互作用的。在函数f不作任何假设的情况下，随机微分方程(1.1)定义了一个自交互扩散，自交互扩散在研究自组织和学习行为方面是非常有用的。如果对所有的 $x\in {ℝ}^d$ 均有 $x\cdot f\left(x\right)\le 0$ (或 $x\cdot f\left(x\right)\ge 0$ )，则称这个解为自吸引(或自排斥)扩散。对f的不同限制导致了X的不同性质。在1995年，Cranston和Le Jan [4] 考虑了线性与常自交互情形，并建立了在长时间范围下的渐近行为(也参看文献 [5] )。在2002年，Benaïm等人在文献 [6] 从另外角度研究了这类过程，他们考虑的模型是如下依赖于(卷积)经验测度的自交互扩散

$\text{d}{X}_t=\sqrt{2}\text{d}{B}_t-\left(\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t\nabla }W\left(X_t-X_s\right)\text{d}s\right)\text{d}t,$

其中W是一个交互位势函数。该自交互扩散与布朗聚合物之间的一个很大的区别是其漂移项除以了t。值得注意的是，在许多情形下的W，其相互作用势具有足够的吸引力，使得自交互扩散可以近似等同为O-U过程，这使得其遍历行为是有可能存在的，这使得研究其遍历行为是必要的。更多的研究参见Benaïm 等人 [7] [8] [9]，Cranston-Mountford [10]，Chambeu和Kurtzmann [11]，Gauthier [12]，Herrmann-Roynette [13]，Herrmann-Scheutzow [14]，Mountford-Tarr [15]，Kleptsyny-Kurtzmann [16]，Kurtzmann-Zhi [17]，Sun-Yan [18] [19]，以及文内的其余参考文献。

但上述所有情形都是由布朗运动驱动的自交互扩散，现实生活中的问题要复杂得多，因此有必要研究不同过程驱动的自交互扩散。但是目前此类研究很少。部分由 $\alpha$ -稳定过程驱动的自交互扩散的问题已有研究，例如线性自交互扩散，强大数定律，以及参数估计。最近Gan-Yan [20] 研究了由分数布朗运动驱动的线性自排斥扩散的最小二乘估计。受Y. Hu-H. Long [21] 和Cranston-Le Jan [4] 的启发，我们考虑了如下自交互扩散

$X_t^{\alpha }=M_t^{\alpha }-\theta {\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_0^s\left(X_s^{\alpha }-X_u^{\alpha }\right)\text{d}u\text{d}s}}+vt,t\ge 0,\theta >0,$ (1.2)

其中 $M_t^{\alpha }$ 为一维 $\alpha$ -稳定过程且 $1<\alpha <2$ 的。当 $\theta >0$ 时，(1.2)是自吸引扩散。实际上，从(1.2)的微分形式可以看出，(1.2)是由改变Gan-Yan [20] 中的分数布朗运动所得到。因此，我们可以用与文献 [21] 相同方法得到(1.2)的两个参数 $\theta$ 和v的最小二乘估计。此外，Sun-Yan [18] 已指出(1.2)的解是几乎处处收敛的。记

$Y_t={\displaystyle {\int }_0^t\left(X_t-X_s\right)\text{d}s},t\ge 0,$

则方程(1.2)可以化简成

$X_t=M_t-\theta {\displaystyle {\int }_0^t{Y}_s}\text{d}s+vt,t\ge 0.$

现在，我们用Y来表示X，旨在将参数的最小二乘估计的研究转换为对Y的研究。若能得到Y的显式解，我们就能进一步得到关于参数估计量的一些结论，幸运的是这样的显式解是存在的。得益于显式解，我们能进一步研究 $\hat{\theta }$ 与 $\theta$ 的相合性以及 $\hat{v}$ 与v的相合性。 $\hat{\theta }$ 与 $\hat{v}$ 的渐近分布则需要结合解的具体形式进一步讨论。由于布朗运动是 $\alpha$ -稳定过程的一种特殊情形，Durrett等人的研究 [2] 可以进一步推广。用 $M_t$ 替换(1.1)中的 $B_t$，在f满足一定条件的情况下，如下方程

$X_t=M_t+{\displaystyle {\int }_0^t\text{d}}s{\displaystyle {\int }_0^s\text{d}}uf\left(X_s-X_u\right).$ (1.3)

存在一些有用的结论。我们将在另一篇文章中对(1.3)进行讨论。事实上，若f是Lipschitz连续的，则(1.3)有一个唯一的强解(可参看文献 [22] )。

本文第二节回顾了一些与 $\alpha$ -稳定过程相关的定义、性质以及公式定理。第三节研究了参数的最小二乘估计。第四节研究了参数估计量的渐近分布。第五节做了一些技术总结与前瞻。

2. 预备知识

在这一部分，我们给出 $\alpha$ -稳定过程相关的定义与性质。

定义2.1 ( $\alpha$ -稳定随机变量)

设参数 $\alpha ,\lambda ,\beta ,\mu$ 满足

$\alpha \in \left(0,2\right],\sigma \in \left(0,\infty \right),\beta \in \left[-1,1\right],\mu \in \left(-\infty ,+\infty \right),$

并且记

${\varphi }_{\alpha }\left(u\right)=\{\begin{array}{ll}-{\sigma }^{\alpha }{\left|u\right|}^{\alpha }\left(1-i\beta \mathrm{sgn}\left(u\right)\tan \frac{\alpha \pi }{2}\right)+i\mu u,\hfill & 当\alpha \ne 1,\hfill \\ -\sigma \left|u\right|\left(1+i\beta \frac{2}{\pi }\mathrm{sgn}\left(u\right)\log \left|u\right|\right)+i\mu u,\hfill & 当\alpha =1,\hfill \end{array}$

其中 $u\in \left(-\infty ,+\infty \right)$ 且 $i^2=-1$。我们称一个变量 $\eta$ 具有稳定分布(记为 $\eta ~S_{\alpha }\left(\sigma ,\beta ,\mu \right)$ )是指其具有特征函数形如

$E{\text{e}}^{iu\eta }={\text{e}}^{{\varphi }_{\alpha }\left(u\right)}.$

当 $\mu =0$ 时，我们称 $\eta$ 是严格 $\alpha$ -稳定的。此外，若 $\beta =0$，则称 $\eta$ 是对称 $\alpha$ -稳定的。

定义2.2 ( $\alpha$ -稳定过程)

设 $\alpha \in \left(0,2\right]$ 且 $M^{\alpha }=\left\{M_t^{\alpha },t\ge 0\right\}$ 是一个 $\left\{{\mathcal{F}}_t\right\}$ -适应过程。如果对任意 $t>s>0$ 有

$\mathbb{E}\left[{\text{e}}^{iu\left(M_t^{\alpha }-M_s^{\alpha }\right)}|{\mathcal{F}}_s\right]={\text{e}}^{\left(t-s\right){\varphi }_{\alpha }\left(u\right)},$

则称 $M^{\alpha }$ 是一个 $\alpha \in \left(0,2\right]$ 的 $\alpha$ -稳定过程。

不失一般性的，我们假定(1.2)中的 $M^{\alpha }$ 满足 $\mathbb{E}\left({\text{e}}^{iu{M}_t^{\alpha }}\right)={\text{e}}^{{\varphi }_{\alpha }\left(u\right)}$， ${\varphi }_{\alpha }\left(u\right)=-{\left|u\right|}^{\alpha }$，即是 $\sigma =1$， $\beta =0$， $\mu =0$。除非特别说明，在下文中，我们都默认 $1<\alpha <2$，并将 $M_t^{\alpha }$ 简写为 $M^{\alpha }$。

3. θ与v的最小二乘估计量及相合性

方便起见，我们将角标 $\alpha$ 省略不写。假设X在某些离散时间 $\left\{t_i=ih,i=0,1,2,\cdots \right\}$ 是可观测的，记

$Y_{t_i}={\displaystyle {\int }_0^{t_i}\left(X_{t_i}-X_s\right)\text{d}s}\simeq {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}\left(X_{ih}-X_{\left(k-1\right)h}\right)h},i\ge 0,$

则有

$X_{t_i}=M_{t_i}-\theta {\displaystyle {\int }_0^{t_i}{Y}_s}\text{d}s+v{t}_i\simeq M_{t_i}-\theta {\displaystyle \underset{l=1}{\overset{i}{\sum }}\left[{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{l-1}{\sum }}\left(X_{ih}-X_{\left(k-1\right)h}\right)h}\right]h}+v{t}_i,$

其中 $i\ge 0$。可以得到X在相邻观测时间的差分如

$X_{t_i}-X_{t_{i-1}}=-\left(\theta Y_{t_{i-1}}-v\right)h+\left(M_{t_i}-M_{t_{i-1}}\right),$ (3.1)

其中 $i\ge 0$。根据文献 [21] 的原理， $\theta$ 和v的最小二乘估计量可以由以下比较函数的最小值求出：

${\rho }_n\left(\theta ,v\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left|X_{t_i}-X_{t_{i-1}}+\left(\theta Y_{t_{i-1}}-v\right)h\right|}^2},\theta >0.$

利用(3.1)，我们可以得到 $\theta$ 的最小二乘估计量

$\begin{array}{c}\hat{\theta }=\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(X_{ih}-X_{\left(i-1\right)h}\right)}-n{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(X_{ih}-X_{\left(i-1\right)h}\right)Y_{t_{i-1}}}}{nh{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(Y_{t_{i-1}}\right)}^2}-h{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}\right)}^2}\\ =\theta -\frac{n{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(M_{ih}-M_{\left(i-1\right)h}\right)Y_{t_{i-1}}}}{nh{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(Y_{t_{i-1}}\right)}^2}-h{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}\right)}^2}+\frac{M_{nh}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}}{nh{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(Y_{t_{i-1}}\right)}^2}-h{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}\right)}^2}\\ =\theta -\frac{n{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(M_{ih}-M_{\left(i-1\right)h}\right)}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i-1}{\sum }}\left(X_{ih}-X_{\left(k-1\right)h}\right)h}}{nh{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left({\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i-1}{\sum }}\left(X_{ih}-X_{(k-1)h}\right)h}\right)}^2}-h{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i-1}{\sum }}\left(X_{ih}-X_{\left(k-1\right)h}\right)h}}\right)}^2}\\ +\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(M_{ih}-M_{\left(i-1\right)h}\right)}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i-1}{\sum }}\left(X_{ih}-X_{\left(k-1\right)h}\right)h}}}{nh{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left({\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i-1}{\sum }}\left(X_{ih}-X_{\left(k-1\right)h}\right)h}\right)}^2}-h{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i-1}{\sum }}\left(X_{ih}-X_{\left(k-1\right)h}\right)h}}\right)}^2}.\end{array}$ (3.2)

同理可得v的最小二乘估计量

$\hat{v}=v+\frac{1}{n}\left(\hat{\theta }-\theta \right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}\left(X_{ih}-X_{\left(k-1\right)h}\right)h}}+\frac{1}{nh}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(M_{ih}-M_{\left(i-1\right)h}\right).}$ (3.3)

记

$\widehat{Y_t}=t^{\frac{1}{\alpha }-1}{Y}_t,F\left(s\right)=t^{\frac{1}{\alpha }-1}s{\text{e}}^{-\frac{1}{2}\theta \left(t^2-s^2\right)}.$ (3.4)

我们知道 ${\displaystyle {\int }_0^{t}F}\left(s\right)\text{d}{M}_s$ 与 $S_{\alpha }\left({\lambda }_F,0,0\right)$ 同分布(可参见文献 [23] )，其中

${\lambda }_F={\left({\displaystyle {\int }_0^t{t}^{1-\alpha }}{s}^{\alpha }{\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}\theta \left(t^2-s^2\right)}\text{d}s\right)}^{\frac{1}{\alpha }}.$

试注意到在t渐近于无穷时， ${\left({\lambda }_F\right)}^{\alpha }\to \frac{1}{\alpha \theta }$ 这表明 $\widehat{Y_t}$ 在t渐近于无穷时与 $S_{\alpha }\left({\left(\alpha \theta \right)}^{-\frac{1}{\alpha }},0,0\right)$ 同分布。根据常数变易法可以得到

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}\left(X_{ih}-X_{\left(k-1\right)h}\right)h}\simeq Y_{t_i}={\text{e}}^{-\frac{1}{2}\theta t_i^2}{\displaystyle {\int }_0^{t_i}s}{\text{e}}^{\frac{1}{2}\theta s^2}\text{d}{M}_s+\frac{v}{\theta }\left(1-{\text{e}}^{\frac{1}{2}\theta t_i^2}\right).$ (3.5)

在已知上述条件下，我们要证明 $\hat{\theta }\to \theta$， $\hat{v}\to v$ 几乎必然成立。

引理3.1 当 $n\to \infty$ 时，我们有如下几乎必然成立

$\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}\to \frac{v}{\theta }\left(a.s.\right),$ (3.6)

其中 $\theta \ge 0$。

证明：根据(3.1)可以得到

$X_{t_i}-X_{t_{i-1}}=M_{t_i}-M_{t_{i-1}}-\theta h{Y}_{t_{i-1}}+vh,$

其中 $i>0$。故有

$\theta h{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left[-\left(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}\right)+\left(M_{t_i}-M_{t_{i-1}}\right)\right]}+nvh.$

也就是说

$\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}=-\frac{X_t}{nh\theta }+\frac{M_t}{nh\theta }+\frac{v}{\theta }.$

显然有

$\left|\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}-\frac{v}{\theta }\right|=\frac{1}{\theta }\left|\frac{X_{t_n}}{nh}-\frac{M_{t_n}}{nh}\right|.$

由于 $\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{M_t}{t}=0$， $X_{t_n}$ 的解存在，且在 $t_n\to \infty$ 时是几乎必然收敛的。事实上当 $T\to \infty$ 时

$X_T\to X_{\infty }={\displaystyle {\int }_0^{\infty }h}\left(s\right)\text{d}{M}_s+v{\displaystyle {\int }_0^{\infty }h}\left(s\right)\text{d}s\left(a.s.\right),$

其中 $h\left(s\right)=1-\theta s{\text{e}}^{\frac{1}{2}\theta s^2}{\displaystyle {\int }_s^{\infty }{\text{e}}^{-\frac{1}{2}\theta u^2}}\text{d}u$，故

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left|\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}-\frac{v}{\theta }\right|=0\left(a.s.\right).$

命题3.1 假定当 $n\to \infty$ 时 $h\to 0$， $t_n=nh\to \infty$。如下的强相合性成立

$\hat{\theta }\to \theta \left(a.s.\right)$ 当 $n\to \infty .$

证明：设 ${\varphi }_n\left(t\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}{1}_{\left(t_{i-1},t_i\right]}\left(t\right)$，显然

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}\left(M_{t_i}-M_{t_{i-1}}\right)={\displaystyle {\int }_0^{t_n}{\varphi }_n}\left(s\right)\text{d}{M}_s.$ (3.7)

设 ${\tau }_n\left(t_n\right)={\displaystyle {\int }_0^{t_n}{\left|{\varphi }_n\left(t\right)\right|}^{\alpha }\text{d}t}$，则有

${\tau }_n\left(t_n\right)={\displaystyle {\int }_0^{t_n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left|Y_{t_{i-1}}\right|}^{\alpha }{1}_{\left(t_{i-1},t_i\right]}\left(t\right)\text{d}t}}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left|Y_{t_{i-1}}\right|}^{\alpha }}h.$ (3.8)

根据(3.2)可得

$\frac{n{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(M_{ih}-M_{\left(i-1\right)h}\right)}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i-1}{\sum }}\left(X_{ih}-X_{\left(k-1\right)h}\right)h}}{nh{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left({\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i-1}{\sum }}\left(X_{ih}-X_{\left(k-1\right)h}\right)h}\right)}^2}-h{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i-1}{\sum }}\left(X_{ih}-X_{\left(k-1\right)h}\right)h}}\right)}^2}=\frac{{\displaystyle {\int }_0^{t_n}{\varphi }_n}\left(t\right)\text{d}{M}_t}{{\tau }_n\left(t_n\right)}\cdot \frac{n{\tau }_n\left(t_n\right)}{nh{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}^2}-h{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}\right)}^2}.$ (3.9)

若 $\theta >0$，则 $\widehat{Y_t}$ 是遍历的，且 $t\to \infty$ 时 $\widehat{Y_t}\Rightarrow \widehat{Y_{\infty }}=S_{\alpha }\left({\left(\alpha \theta \right)}^{-\frac{1}{\alpha }},0,0\right)$。因此由遍历定理得

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left|\widehat{Y_{t_{i-1}}}\right|}^{\alpha }}=\mathbb{E}\left[{\widehat{Y_{\infty }}}^{\alpha }\right]=\infty \left(a.s.\right).$

显而易见

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left|Y_{t_{i-1}}\right|}^{\alpha }}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(t_i\right)}^{\alpha -1}}{\left|\widehat{Y_{t_{i-1}}}\right|}^{\alpha }\to \infty \left(a.s.\right),$

这说明 ${\tau }_n\left(t_n\right)\to \infty \left(a.s.\right)$。同理可得

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left|Y_{t_{i-1}}\right|}^2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{t}_i}{\left|\widehat{Y_{t_{i-1}}}\right|}^2\to \infty \left(a.s.\right).$

注意到 ${\displaystyle {\int }_1^{\infty }{t}^{-\alpha }}\text{d}t=1/\left(\alpha -1\right)<\infty$。文献 [24] 的结论3.1说明

$\underset{t_n\to \infty }{\lim }\frac{\left|{\displaystyle {\int }_0^{t_n}{\varphi }_n}\left(t\right)\text{d}{M}_t\right|}{{\tau }_n\left(t_n\right)}=0\left(a.s.\right).$ (3.10)

由Hölder不等式，引理3.1以及 ${\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_i}\right)}^2\le {\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left|Y_i\right|}\right)}^2\le n{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(Y_i\right)}^2}$ 可得

$\begin{array}{c}0\le \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n{\tau }_n\left(t_n\right)}{nh{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}^2}-h{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}\right)}^2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left|Y_{t_{i-1}}\right|}^{\alpha }}}{n{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}^2}-{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}\right)}^2}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left|Y_{t_{i-1}}\right|}^{\alpha }}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left|Y_{t_{i-1}}\right|}^2}}\le \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left|Y_{t_{i-1}}\right|}^2}\right)}^{\alpha /2}{n}^{\left(2-\alpha \right)/2}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left|Y_{t_{i-1}}\right|}^2}}\le \underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left|Y_{t_{i-1}}\right|}^2}\right)}^{-\frac{2-\alpha }{2}},\end{array}$ (3.11)

且再次由遍历定理得

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left|\widehat{Y_{t_{i-1}}}\right|}^2}=\mathbb{E}\left[{\widehat{Y_{\infty }}}^2\right]=\infty \left(a.s.\right).$

因此(3.11)右端等于0，由两边夹原理其极限几乎必然为0。进一步的，由引理3.1以及 $\underset{nh\to \infty }{\lim }\frac{M_{nh}}{nh}=0$，当 $n\to \infty$ 我们有

$\frac{M_{nh}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}}{nh{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(Y_{t_{i-1}}\right)}^2}-h{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}\right)}^2}=\frac{\frac{M_{nh}}{nh}\cdot \frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}}{\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(Y_{t_{i-1}}\right)}^2}-{\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}\right)}^2}$ (3.12)

在 $n\to \infty$ 时几乎必然收敛于0。综上，命题3.1成立。

命题3.2 假定当 $n\to \infty$ 时 $h\to 0$， $t_n=nh\to \infty$。如下的强相合性成立

$\hat{v}\to v\left(a.s.\right)$ 当 $n\to \infty .$

证明：由 $\underset{nh\to \infty }{\lim }\frac{M_{nh}}{nh}=0$，(3.3)以及引理3.1，该命题显然成立。

4. $\hat{\theta }$ 与 $\hat{v}$ 的渐近分布

由 $\alpha$ -稳定过程驱动的O-U过程的参数估计的渐近分布 [21]，我们自然地考虑到有类似的结果。

注1 为了得到最小二乘估计量的渐近分布，我们需要做一些技术性假定。(A1)：当 $n\to \infty$ 时， $h\to 0$， $t_n=nh\to \infty$，且 $n^{\frac{2}{\alpha }}{h}^{1+\frac{1}{\alpha }}\to \infty$， $n^{1+\frac{2}{\alpha }}{h}^{2+\frac{2}{\alpha }}\to \infty$， ${\left(n\log n\right)}^{\frac{1}{\alpha }}{h}^{\frac{2}{\alpha }}\to \infty$。本节无特殊说明均默认该假定满足。

定理4.1 当 $n\to \infty$ 时，我们有依分布收敛如下

$n{\left(\frac{\log n}{n}\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{h}^2\left(\hat{\theta }-\theta \right)\Rightarrow \frac{Z_1}{2Z_0},$

其中 $Z_0$、 $Z_1$ 为两个相互独立的稳定随机变量。

注意到

$Y_{t_i}={\text{e}}^{-\frac{1}{2}\theta t_i^2}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t_{k-1}}^{t_k}s}}{\text{e}}^{\frac{1}{2}\theta s^2}\text{d}{M}_s+\frac{v}{\theta }\left(1-{\text{e}}^{-\frac{1}{2}\theta t_i^2}\right).$

设 $V_{k-1}={\displaystyle {\int }_{t_{k-1}}^{t_k}s}{\text{e}}^{\frac{1}{2}\theta s^2}\text{d}{M}_s$，由 $\alpha$ -稳定随机积分的内部时性质可知 $V_{k-1}$ 与 $M_{{\tau }_{k-1}}$ 同分布，其中

${\tau }_{k-1}={\displaystyle {\int }_{t_{k-1}}^{t_k}{\left|s{\text{e}}^{\frac{1}{2}\theta s^2}\right|}^{\alpha }\text{d}s}=t_k^{\alpha }{\text{e}}^{\frac{\alpha }{2}\theta t_k^2}h.$

设 $U_{k-1}=V_{k-1}/{\tau }_{k-1}^{\frac{1}{\alpha }}$，由稳定分布的收缩性质可知 $U_0,U_1,U_2,\cdots$ 是独立同分布的随机变量且具有稳定分布 $S_{\alpha }\left(1,0,0\right)$。设 $c_{i,h}={\text{e}}^{-\frac{1}{2}\theta t_i^2}$，则 $Y_i$ ( $Y_{t_i}$ 简写为 $Y_i$ )可以表示为

$Y_i=h^{\frac{1}{\alpha }+1}{c}_{i,h}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}k}\frac{1}{c_{k,h}}{U}_{k-1}+\frac{v}{\theta }\left(1-{\text{e}}^{-\frac{1}{2}\theta t_i^2}\right),$

$M_{t_{i+1}}-M_{t_i}$ 可以表示为 $h^{\frac{1}{\alpha }}{U}_i$。

注2 参照文献 [25]，我们知道对称稳定随机变量 $U_1~S_{\alpha }\left(1,0,0\right)$ 满足

$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{\alpha }P\left(U_1>x\right)=C_{\alpha }/2,\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{\alpha }P\left(U_1<-x\right)=C_{\alpha }/2.$

所以， $\left|U_1\right|$ 的尾部分布渐近等价于一个Pareto，即 $P\left(\left|U_1\right|>x\right)~C_{\alpha }{x}^{-\alpha }$。参照文献 [26]，我们设

$a_n=inf\left\{x:P\left(\left|U_1\right|>x\right)\le n^{-1}\right\},\widetilde{a_n}=inf\left\{x:P\left(\left|U_0{U}_1\right|>x\right)\le n^{-1}\right\}.$

利用 $\left|U_1\right|$ 的Pareto尾分布可以取到

$a_n={\left(C_{\alpha }n\right)}^{\frac{1}{\alpha }},\widetilde{a_n}=C_{\alpha }^{\frac{2}{\alpha }}{\left(n\log n\right)}^{\frac{1}{\alpha }}.$

注意到 ${\left(\frac{n}{\log n}\right)}^{\frac{1}{\alpha }}={\widetilde{a_n}}^{-1}{a}_n^2$。下面这个引理是 [26] 中定理3.3的特殊情况。

引理4.1 设 ${\left\{U_i\right\}}_{i=0}^{\infty }$ 是一列独立同分布的且具有分布 $S_{\alpha }\left(1,0,0\right)$ 的随机变量，则依据上述定义的 $a_n$ 及 $\widetilde{a_n}$，对所有 $m\in {\mathbb{N}}_{+}$，我们有如下依分布收敛

$\left(a_n^{-2}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{U}_i^2},{\widetilde{a_n}}^{-1}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{U}_i}{U}_{i+1},\cdots ,{\widetilde{a_n}}^{-1}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{U}_i}{U}_{i+m}\right)\Rightarrow \left(Z_0,Z_1,\cdots ,Z_m\right),$

其中 $Z_0,Z_1,\cdots ,Z_m$ 为独立的稳定随机变量。 $Z_0$ 是正 $\alpha /2$ -稳定的且具有分布 $S_{\alpha /2}\left({\sigma }_1,1,0\right)$， $Z_1,\cdots ,Z_m$ 是对称 $\alpha$ -稳定的且具有分布 $S_{\alpha }\left({\sigma }_2,0,0\right)$，文献 [21] 中给出了 ${\sigma }_1$ 与 ${\sigma }_2$ 的精确值。

设

$\begin{array}{c}n{\left(\frac{\log n}{n}\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{h}^2\left(\hat{\theta }-\theta \right)=-\frac{n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{h}^{-1-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}\left(M_{t_{i+1}}-M_{t_i}\right)Y_{t_i}}}{n^{-3-\frac{2}{\alpha }}{h}^{-3-\frac{2}{\alpha }}\left[nh{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\left(Y_i\right)}^2}-h{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{Y}_i}\right)}^2\right]}+\frac{n^{-2}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{h}^{-1-\frac{2}{\alpha }}{M}_{nh}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{Y}_{t_i}}}{n^{-3-\frac{2}{\alpha }}{h}^{-3-\frac{2}{\alpha }}\left[nh{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\left(Y_i\right)}^2}-h{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{Y}_i}\right)}^2\right]}\\ =-\frac{{\Phi }_1\left(n\right)}{{\Phi }_3\left(n\right)}+\frac{{\Phi }_2\left(n\right)}{{\Phi }_3\left(n\right)}.\end{array}$ (4.1)

命题4.1 在条件(A1)满足的情况下，有依概率收敛如下，

${\Phi }_3\left(n\right)-n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{c}_{i,h}^2}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}\frac{1}{c_{k,h}^2}{k}^2{U}_{k-1}^2}{\to }_{p}0.$

证明：做分解

$\begin{array}{c}{\Phi }_3\left(n\right)=n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{c}_{i,h}^2}{\left[{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}\frac{k}{c_{k,h}}{U}_{k-1}}\right]}^2+n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{h}^{-2-\frac{2}{\alpha }}\frac{v^2}{{\theta }^2}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\left(1-c_{i,h}\right)}^2}\\ +n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{h}^{-1-\frac{1}{\alpha }}\frac{2v}{\theta }{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{c}_{i,h}}\left(1-c_{i,h}\right){\displaystyle \underset{m=1}{\overset{i}{\sum }}\frac{m}{c_{m,h}}{U}_{m-1}}-n^{-1-\frac{2}{\alpha }}{h}^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}\right)}^2\\ :={\Sigma }_0+{\Sigma }_1+{\Sigma }_2+{\Sigma }_3.\end{array}$ (4.2)

显然，在条件(A1)下，当 $n\to \infty$ 时 ${\Sigma }_1\to 0$。由引理3.1知，当 $n\to \infty$ 时 ${\Sigma }_3{\to }_{P}0$。根据马尔可夫不等式知，在满足(A1)的情形下，当 $n\to \infty$ 时

$\begin{array}{c}P\left(\left|{\Sigma }_2\right|>\epsilon \right)\le {\epsilon }^{-1}\mathbb{E}\left|U_{m-1}\right|\frac{2v}{\theta }{n}^{-2-\frac{2}{\alpha }}{h}^{-1-\frac{1}{\alpha }}\underset{i=1}{\overset{n-1}{{\displaystyle \sum }}}\left[\left(1-c_{i,h}\right)c_{i,h}\left(\frac{i}{c_{i,h}}+{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{i-1}{\sum }}\frac{m}{c_{m,h}}}\right)\right]\\ \le C{n}^{-2-\frac{2}{\alpha }}{h}^{-1-\frac{1}{\alpha }}\underset{i=1}{\overset{n-1}{{\displaystyle \sum }}}\left[i-i{c}_{i,h}+\frac{{\left(i-1\right)}^2{c}_{i,h}}{c_{i-1,h}}-\frac{{\left(i-1\right)}^2{c}_{i,h}^2}{c_{i-1,h}}\right]\\ \le C{n}^{-\frac{2}{\alpha }}{h}^{-1-\frac{1}{\alpha }}\end{array}$ (4.3)

右端收敛于0。(4.2)第一项可分为两部分：

$\begin{array}{c}{\Sigma }_0=n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{c}_{i,h}^2}{\left[{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}\frac{k}{c_{k,h}}{U}_{k-1}}\right]}^2\\ =n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{c}_{i,h}^2}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}\frac{k^2}{c_{k,h}^2}{U}_{k-1}^2}+n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{c}_{i,h}^2}{\displaystyle \underset{p=1}{\overset{i}{\sum }}{\displaystyle \underset{q=1,q\ne p}{\overset{i}{\sum }}\frac{pq}{c_{p,h}{c}_{q,h}}{U}_{p-1}{U}_{q-1}}}\\ :={\Sigma }_{01}+{\Sigma }_{02}.\end{array}$ (4.4)

根据马尔可夫不等式，我们设

$\begin{array}{l}P\left(n^{-2-\frac{2}{\alpha }}\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{c}_{i,h}^2}{\displaystyle \underset{p=1}{\overset{i}{\sum }}{\displaystyle \underset{q=1,q\ne p}{\overset{i}{\sum }}\frac{pq}{c_{p,h}{c}_{q,h}}{U}_{p-1}{U}_{q-1}}}\right|>\epsilon \right)\\ \le P\left(n^{-2-\frac{2}{\alpha }}\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{c}_{i,h}^2}{\displaystyle \underset{p=1}{\overset{i}{\sum }}{\displaystyle \underset{q=1,q\ne p}{\overset{i}{\sum }}\frac{pq{U}_{p-1}{U}_{q-1}}{c_{p,h}{c}_{q,h}}{1}_{\left(\left|U_{p-1}{U}_{q-1}\right|\le \widetilde{a_n}\right)}}}\right|>\frac{\epsilon }{2}\right)\\ +P\left(n^{-2-\frac{2}{\alpha }}\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{c}_{i,h}^2}{\displaystyle \underset{p=1}{\overset{i}{\sum }}{\displaystyle \underset{q=1,q\ne p}{\overset{i}{\sum }}\frac{pq{U}_{p-1}{U}_{q-1}}{c_{p,h}{c}_{q,h}}{1}_{\left(\left|U_{p-1}{U}_{q-1}\right|>\widetilde{a_n}\right)}}}\right|>\frac{\epsilon }{2}\right)\\ :=B_1+B_2.\end{array}$ (4.5)

令 $D\left(U\right)=U_{p-1}{U}_{q-1},D^{\prime }\left(U\right)=U_{p^{\prime }-1}{U}_{q^{\prime }-1}$。由切比雪夫不等式知，

$\begin{array}{c}{B}_1\le C{\left(\epsilon /2\right)}^{-2}{n}^{-4-\frac{4}{\alpha }}\mathbb{E}{\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{c}_{i,h}^2}{\displaystyle \underset{p=1}{\overset{i}{\sum }}{\displaystyle \underset{q=1,q\ne p}{\overset{i}{\sum }}\frac{pq}{c_{p-1,h}{c}_{q-1,h}}D}}\left(U\right)1_{\left(\left|D\left(U\right)\right|\le \widetilde{a_n}\right)}\right]}^2\\ \le C{\left(\epsilon /2\right)}^{-2}{n}^{-4-\frac{4}{\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{r=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{p,q=1p\ne q}{\overset{i}{\sum }}{\displaystyle \underset{p^{\prime },q^{\prime }=1p^{\prime }\ne q^{\prime }}{\overset{r}{\sum }}\frac{pq{p}^{\prime }{q}^{\prime }{c}_{i,h}^2{c}_{r,h}^2}{c_{p,h}{c}_{q,h}{c}_{p^{\prime },h}{c}_{q^{\prime },h}}}}}}\\ \times \mathbb{E}\left[D\left(U\right)1_{\left(\left|D\left(U\right)\right|\le \widetilde{a_n}\right)}{D}^{\prime }\left(U\right)1_{\left(\left|D^{\prime }\left(U\right)\right|\le \widetilde{a_n}\right)}\right].\end{array}$ (4.6)

我们现在考虑(4.6)右端的期望值，其分为两种不同情形：(1)所有的指数 $p,q,p^{\prime },q^{\prime }$ 均不相同，(2) $p,q$ 之一与 $p^{\prime },q^{\prime }$ 之一相同。显而易见，在情形(1)下，所有该项的期望值都等于0，故只需考虑情形(2)。方便起见，令 ${\sigma }_n^2=\mathbb{E}\left[{\left|D\left(U\right)\right|}^2{1}_{\left(\left|D\left(U\right)\right|\le \widetilde{a_n}\right)}\right]$。注意到 $p\ne q$，我们仅考虑情形(2)下的子情形之一，即 $p=p^{\prime }$ (其余三种子情形的期望均与其相等)，有

$\begin{array}{c}{B}_1\le 16C{\epsilon }^{-2}{n}^{-4-\frac{4}{\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{p=1}{\overset{i}{\sum }}{\displaystyle \underset{q=1,q\ne p}{\overset{i}{\sum }}{\displaystyle \underset{r=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{p^{\prime }=1}{\overset{r}{\sum }}{\displaystyle \underset{q^{\prime }=1,q^{\prime }\ne p^{\prime }}{\overset{r}{\sum }}\frac{pq{p}^{\prime }{q}^{\prime }{c}_{i,h}^2{c}_{r,h}^2}{c_{p,h}{c}_{q,h}{c}_{p^{\prime },h}{c}_{q^{\prime },h}}{\sigma }_n^2}}}}}}\\ \le 16C{\epsilon }^{-2}{n}^{-4-\frac{4}{\alpha }}{\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{p=1}{\overset{i}{\sum }}{\displaystyle \underset{p=1,q\ne p}{\overset{i}{\sum }}\frac{pq{c}_{i,h}^2}{c_{p,h}{c}_{q,h}}}}}\right]}^{2}n{\sigma }_n^2\\ \le 16C{\epsilon }^{-2}{n}^{-4-\frac{4}{\alpha }}{\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{i}^2}{\left(i-1\right)}^2{\text{e}}^{-\theta \left(i-\frac{1}{2}\right)h^2}\right]}^2\cdot n{\sigma }_n^2\\ =C^{\prime }{\epsilon }^{-2}{n}^{-4-\frac{4}{\alpha }}{\left(n\log n\right)}^{\frac{2}{\alpha }}\left[{\widetilde{a_n}}^{-2}n{\sigma }_n^2\right].\end{array}$ (4.7)

由Karamata定理知 ${\widetilde{a_n}}^{-2}n{\sigma }_n^2\to \alpha /\left(2-\alpha \right)\left(a.s.\right)$，因此在满足(A1)的情形下，当 $n\to \infty$ 时，(4.7)右端收敛于0。再者，由马尔科夫不等式可得，

$\begin{array}{c}{B}_2\le 2{\epsilon }^{-1}{n}^{-2-\frac{2}{\alpha }}\mathbb{E}|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{c}_{i,h}^2}{\displaystyle \underset{p=1}{\overset{i}{\sum }}{\displaystyle \underset{q=1,q\ne p}{\overset{i}{\sum }}\frac{pq{U}_{p-1}{U}_{q-1}}{c_{p,h}{c}_{q,h}}{1}_{\left(\left|D\left(U\right)\right|>\widetilde{a_n}\right)}}}\\ \le 2{\epsilon }^{-1}{n}^{-2-\frac{2}{\alpha }}\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{i}^2}{\left(i-1\right)}^2{\text{e}}^{-\theta \left(i-\frac{1}{2}\right)h^2}\right]\mathbb{E}\left[D\left(U\right)1_{\left(\left|D\left(U\right)\right|>\widetilde{a_n}\right)}\right]\\ \le C{n}^{-3-\frac{2}{\alpha }}{\left(n\log n\right)}^{\frac{1}{\alpha }}\left[n{\widetilde{a_n}}^{-1}\mathbb{E}\left(D\left(U\right)1_{\left(\left|D\left(U\right)\right|>\widetilde{a_n}\right)}\right)\right].\end{array}$ (4.8)

由Karamata定理知 $n{\widetilde{a_n}}^{-1}E\left[D\left(U\right)|1_{\left|D\left(U\right)\right|>\widetilde{a_n}}\right]\to \alpha /\left(\alpha -1\right)\left(a.s.\right)$，故在满足(A1)的情形下，当 $n\to \infty$ 时，(4.8)右端收敛于0。结合(4.2)到(4.8)，即可得证命题4.1。

命题4.2 在条件(A1)满足的情况下，有依分布收敛如下，

$n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{c}_{i,h}^2}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}\frac{1}{c_{k,h}^2}{k}^2{U}_{k-1}^2}\Rightarrow C_{\alpha }^{\frac{2}{\alpha }}{Z}_0$

证明：我们做分解如下

$\begin{array}{c}{\Sigma }_{01}=n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{c}_{i,h}^2}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}\frac{1}{c_{k,h}^2}{k}^2{U}_{k-1}^2}=n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{1}{c_{k,h}^2}{k}^2{U}_{k-1}^2}{\displaystyle \underset{i=k}{\overset{n-1}{\sum }}{c}_{i,h}^2}\\ =n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}{k}^2}{U}_{k-1}^2+n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{1}{c_{k,h}^2}{k}^2{U}_{k-1}^2}{\displaystyle \underset{i=k+1}{\overset{n-1}{\sum }}{c}_{i,h}^2}\\ =n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}{k}^2}{U}_{k-1}^2+n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{c_{k+1,h}^2}{c_{k,h}^2}{k}^2{U}_{k-1}^2}-n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{c_{n,h}^2}{c_{k,h}^2}{k}^2{U}_{k-1}^2}\\ +\circ \left(n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{c_{k+1,h}^2}{c_{k,h}^2}{k}^2{U}_{k-1}^2}\right)+\circ \left(n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{c_{n,h}^2}{c_{k,h}^2}{k}^2{U}_{k-1}^2}\right)\\ :=D_1+D_2+D_3+D_4+D_5.\end{array}$ (4.9)

取 $\delta =\frac{2\alpha }{2+\rho }<\alpha ,\rho >0\left(\delta /2<\alpha /2<1\right)$，由马尔可夫不等式可知，

$P\left(\left|D_3\right|>\epsilon \right)\le {\epsilon }^{-\frac{\delta }{2}}{n}^{-\delta -\frac{\delta }{\alpha }}{\left(n-1\right)}^{\delta +\frac{\delta }{2}}{\left[{\text{e}}^{-\frac{1}{2}\theta \left(2n-1\right)h^2}\right]}^{\frac{\delta }{2}}\mathbb{E}{\left|U_{k-1}\right|}^{\delta }.$ (4.10)

在满足(A1)的情形下，当 $n\to \infty$ 时，(4.10)右端收敛到0，故 $P\left(\left|D_5\right|>\epsilon \right)$ 在该条件也下收敛于0。再次由马尔可夫不等式，

$P\left(\left|D_2\right|>\epsilon \right)\le {\epsilon }^{-\frac{\delta }{2}}{n}^{-\delta -\frac{\delta }{\alpha }}{\left[{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\text{e}}^{-\theta \left(2k-1\right)h^2}}\right]}^{\frac{\delta }{2}}\mathbb{E}{\left|U_{k-1}\right|}^{\delta }.$ (4.11)

在满足(A1)的情形下，当 $n\to \infty$ 时，(4.11)右端收敛到0，故 $P\left(\left|D_4\right|>\epsilon \right)$ 在该条件下也收敛于0。设 ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{k}{\sum }}{d}_j}=k^2$，故有 $j<d_j<2j$，且

$\begin{array}{c}{D}_1=n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{k}{\sum }}{d}_j}\right)U_{k-1}^2}=n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n-1}{\sum }}{d}_j}{\displaystyle \underset{k=j}{\overset{n-1}{\sum }}{U}_{k-1}^2}\\ =n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\left(n-1\right)}^2{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum }}{U}_k^2}-n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\left(n-1\right)}^2{U}_{n-1}^2-n^{-2-\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n-1}{\sum }}{d}_j}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{j-1}{\sum }}{U}_k^2}\\ :=D_{11}+D_{12}+D_{13}.\end{array}$ (4.12)

由马尔可夫不等式可得，在 $n\to \infty$ 时，

$P\left(\left|D_{12}\right|>\epsilon \right)\le {\epsilon }^{-\frac{\delta }{2}}{n}^{-\frac{\delta }{\alpha }}\mathbb{E}{\left|U_{n-1}\right|}^{\delta }$ (4.13)

右端收敛于0，且

$P\left(\left|D_{13}\right|>\epsilon \right)\le {\epsilon }^{-\frac{\delta }{2}}{n}^{-\delta -\frac{\delta }{\alpha }}{\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{d}_j}\cdot j\right)}^{\frac{\delta }{2}}\mathbb{E}{\left|U_n-1\right|}^{\delta }\le C{n}^{-\frac{\delta }{\alpha }+\frac{\delta }{2}}$ (4.14)

右端收敛于0。结合(4.10)到(4.14)，利用引理4.1，命题4.2即可得证。

命题4.3 在条件(A1)满足的情况下，我们有依概率收敛如下，

${\Phi }_1\left(n\right)-n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)U_l{U}_{l+1}}{\to }_{P}0.$

证明：记 $\frac{v}{\theta }\left(1-{\text{e}}^{\frac{1}{2}\theta t_i^2}\right)$ 为 ${\Delta }_{t_i}$，可作分解

$\begin{array}{c}{\Phi }_1\left(n\right)=n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{h}^{-1-\frac{2}{\alpha }}\left[h^{1+\frac{2}{\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{c}_{i,h}}{U}_i{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}\frac{k}{c_{k,h}}{U}_{k-1}}+h^{\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\Delta }_{t_i}}{U}_i\right]\\ =n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{c}_{i,h}}{U}_i{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{i}{\sum }}\frac{k}{c_{k,h}}{U}_{k-1}}+n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{h}^{-1-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\Delta }_{t_i}}{U}_i\\ =n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{n-1-j}{\sum }}\left(l+1\right)}}\frac{c_{l+j,h}}{c_{l+1,h}}{U}_l{U}_{l+j}+n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{h}^{-1-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\Delta }_{t_i}}{U}_i\\ =n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)}}\frac{c_{l+j,h}}{c_{l+1,h}}{U}_l{U}_{l+j}-n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{l=n-j}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)}}\frac{c_{l+j,h}}{c_{l+1,h}}{U}_l{U}_{l+j}\\ +n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{h}^{-1-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\Delta }_{t_i}}{U}_i\end{array}$

$\begin{array}{l}=n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)U_l{U}_{l+1}}+n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle \underset{j=2}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)}}\frac{c_{l+j,h}}{c_{l+1,h}}{U}_l{U}_{l+j}\\ -n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{l=n-j}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)}}\frac{c_{l+j,h}}{c_{l+1,h}}{U}_l{U}_{l+j}+n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{h}^{-1-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\Delta }_{t_i}}{U}_i\\ :=F_1+F_2+F_3+F_4.\end{array}$ (4.15)

根据马尔可夫不等式，在 $n\to \infty$ 时，

$\begin{array}{c}P\left(\left|F_2\right|>\epsilon \right)\le {\epsilon }^{-1}{n}^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}\mathbb{E}\left|{\displaystyle \underset{j=2}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)}}\frac{c_{l+j,h}}{c_{l+1,h}}{U}_l{U}_{l+j}\right|\\ \le {\epsilon }^{-1}{n}^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}\mathbb{E}\left|U_0\right|\mathbb{E}\left|U_1\right|\left(n-2\right){\displaystyle \underset{l=1}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)}\frac{c_{l+1,h}}{c_{l,h}}\\ \le C{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right){\text{e}}^{-\theta \left(l+\frac{1}{2}\right)h^2}}\\ \le C^{\prime }{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}\end{array}$ (4.16)

右端收敛于0。我们作分解如

$\begin{array}{c}{F}_3=n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}\left[\left(n-1+1\right)U_{n-1}{U}_n\right]+n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle \underset{j=2}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{l=n-j}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)}}\frac{c_{l+j,h}}{c_{l+1,h}}{U}_l{U}_{l+j}\\ :=F_{31}+F_{32}.\end{array}$ (4.17)

由马尔可夫不等式可知，在 $n\to \infty$ 时，

$P\left(\left|F_{31}\right|>\epsilon \right)\le {\epsilon }^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}\mathbb{E}\left|U_{n-1}{U}_n\right|\le {\epsilon }^{-1}\mathbb{E}\left|U_{n-1}\right|\mathbb{E}\left|U_n\right|{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}\le C{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}$ (4.18)

右端收敛到0，且

$\begin{array}{c}P\left(\left|F_{32}\right|>\epsilon \right)\le {\epsilon }^{-1}{n}^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}\mathbb{E}\left|U_l\right|\mathbb{E}\left|U_{l+j}\right|{\displaystyle \underset{j=2}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{l=n-j}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)}}\frac{c_{l+j}}{c_{l+1}}\\ \le C{n}^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle \underset{j=2}{\overset{n-1}{\sum }}j}\left(n-j+1\right)\frac{c_n}{c_{n-j+1}}\\ \le C^{\prime }{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}\end{array}$ (4.19)

右端收敛于0，同时

$P\left(\left|F_4\right|>\epsilon \right)\le {\epsilon }^{-1}{n}^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{h}^{-1-\frac{1}{\alpha }}\mathbb{E}\left|U_i\right|\cdot \frac{v}{\theta }{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}\left(1-c_{i,h}\right)}\le C{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{h}^{-1-\frac{1}{\alpha }}$ (4.20)

右端收敛于0。结合(4.15)到(4.20)，即可得证命题4.3。

命题4.4在条件(A1) 满足的情况下，有依分布收敛如下，

$n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)U_l{U}_{l+1}}\Rightarrow \frac{1}{2}{C}_{\alpha }^{\frac{2}{\alpha }}{Z}_1.$

证明：在命题4.3中我们已设

$F_1=n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)U_l{U}_{l+1}}.$ (4.21)

事实上，

${\displaystyle \underset{l=0}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)U_l{U}_{l+1}}+{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)U_{n-l}{U}_{n-1-l}}=\left(n+1\right){\displaystyle \underset{l=0}{\overset{n-1}{\sum }}{U}_l}{U}_{l+1},$

且

$\begin{array}{l}P\left(\left|{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)U_l{U}_{l+1}}-{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)U_{n-l}{U}_{n-1-l}}\right|>\epsilon \right)\\ \le {\epsilon }^{-1}\mathbb{E}\left|{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)U_l{U}_{l+1}}-{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)U_{n-l}{U}_{n-1-l}}\right|\\ \le {\epsilon }^{-1}\left[\mathbb{E}\left|U_l{U}_{l+1}\right|-\mathbb{E}\left|U_{n-l}{U}_{n-1-l}\right|\right]{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{n-1}{\sum }}\left(l+1\right)}=0.\end{array}$ (4.22)

由引理4.1可知，

$n^{-1}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}\left(n+1\right){\displaystyle \underset{l=0}{\overset{n-1}{\sum }}{U}_l}{U}_{l+1}\Rightarrow C_{\alpha }^{\frac{2}{\alpha }}{Z}_1.$

综合(4.21)及(4.22)，则可证命题4.4。

现在证明定理4.1。在满足条件(A1)的情况下，利用引理4.1，在 $n\to \infty$ 时，有

${\Phi }_2\left(n\right)=n^{-2}{\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{h}^{-1-\frac{2}{\alpha }}\left[M_{nh}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{i-1}}\right]=\frac{M_{nh}}{nh}\cdot \frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}\cdot {\left(n\log n\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{h}^{-\frac{2}{\alpha }}$ (4.23)

右端收敛于0。结合命题4.1到命题4.4，以及(4.23)，即可得到定理4.1。

定理4.2 在条件(A1)满足的情况下，我们有如下依分布收敛

$n{\left(\frac{\log n}{n}\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{h}^2\left(\hat{v}-v-\frac{M_{nh}}{nh}\right)=\left[\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}\right]n{\left(\frac{\log n}{n}\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{h}^2\left(\hat{\theta }-\theta \right)\Rightarrow \frac{v}{2\theta }\frac{Z_1}{Z_0}.$

证明：已知

$\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}n{\left(\frac{\log n}{n}\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}{h}^2\left(\hat{\theta }-\theta \right)=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{Y}_{t_{i-1}}}\left[-\frac{{\Phi }_1\left(n\right)}{{\Phi }_3\left(n\right)}+\frac{{\Phi }_2\left(n\right)}{{\Phi }_3\left(n\right)}\right],$ (4.24)

结合定理4.1及引理3.1，立刻得证定理4.2。

5. 总结

目前已研究的自交互扩散大多是由布朗运动驱动的，然而随着真实经济模型复杂度的增加和随机过程研究的深入，这一类自交互扩散已经不能满足实际需求。本文虽研究了由 $\alpha$ -稳定过程驱动的线性自吸引扩散的参数估计问题，但是注意线性模型只是一类基本模型。得益于Y的显式解，渐近分布得以有具体的形式，但这也带来一些计算上的麻烦。若引理4.1能进一步拓展，渐近分布的推导可能有更好的解决方式。事实上，布朗运动是 $\alpha$ -稳定过程和分数布朗运动的特殊情形，而 $\alpha$ -稳定过程是Lévy过程的特殊情形。由其它过程所驱动的自交互扩散的一些问题都还尚待研究，同时参数也存在许多优劣不同的估计量，且其离散观测情形下的渐近分布也相应有所不同，希望未来在该领域有更多的研究。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(No. 11971101)。