完备代数正规类中的基根

The Base Radicals in Normal Classes of Complete Algebra

摘要: 本文定义了完备代数正规类中代数类X确定的基根类L_b(X)，讨论了基根类L_b(X)与代数类X、下根L(X)的关系。

Abstract: The base radicals classes L_b(X) determined by algebra class X in normal classes of complete pointwise algebras are defined, and the relationship between the base radicals classes L_b(X), algebras classes X and the lower radicals L(X) is discussed.

1. 引言

环及其它代数系统根理论的统一研究促使一般代数正规类根理论的建立 [1] - [15]，为了进一步统一地研究一般代数正规类中根性质，文献 [16] - [23] 分别引入了可积代数正规类、完备代数正规类，对特殊根等进行了研究，并对一类特殊的半环——大半环(可做单侧减法的半环)建立了相应的根理论；文献 [24] [25] [26] [27] 对完备代数正规类进行了点态化，研究了点态化完备代数正规类中的亚直既约代数类确定的上根——反单根、遗传幂等根、补根、对偶根、子幂等根、诣零根、λ-根、正则根、κ-根和β-根的结构性质，文献 [28] 使用预根概念给出了根类的一个映射刻画，文献 [29] 定义了点态化完备代数正规类中的低幂等根，证明了Boolean根 $\beta$ 、正则根ν、遗传幂等根 $\chi$ 、λ-根 $\lambda$ 、幂等代数根 $\iota$ 都是低幂等根，并且这5个低幂等根满足 $\beta \le \nu \le \chi \le \lambda \le \iota$，文献 [30] 定义了点态化完备代数正规类中的小理想及小理想遗传根，讨论了小理想及根R和R-半单类S_R与小理想相关的2个条件(*)与(**)的一些性质，进一步讨论了根R是一个小理想遗传根的2个条件。

本文在文献 [24] - [30] 建立的点态化完备代数正规类基础上，讨论完备代数正规类中基根的构造。

2. 预备知识及基本引理

点态化完备代数正规类的相关概念及性质参见文献 [24] - [30]，为了建立每个代数的子代数乘积与 $S_a$ 中点乘积之间的联系，本文使用文献 [26] [27] 中强化了的点乘积公理。

设 $A$ 是一个完备代数正规类，X是 $A$ 的子类。文献 [15] [16] 给出可积代数正规类的子类 $X\subseteq A$ 上的如下算子：

$uX=\left\{a\in A|\forall i⊲a,i\ne a,有a/i\notin X\right\}$，

$sX=\left\{a\in A|\forall 0\ne i⊲a,有i\notin X\right\}$，

$hX=\left\{a\in A|存在b\in X,i⊲b,使得a~b/i\right\}$，

$eX=\left\{a\in A|存在i⊲a,i\in X,使得a/i\in X\right\}$，

$\left(X\right)=\left\{a\in A|存在i⊲a,a/i\in X\right\}$，

$X_{\lambda }=\left\{a\in A|存在i{⊲}_{s}a,0\ne i\in X\right\}$。

从而，

$usX=\left\{a\in A|a的非0同态像b=a/i都有非0理想j/i\in X\right\}$，

$suX=\left\{a\in A|a的非0理想i都有非0同态像i/j\in X\right\}$。

进一步， $\forall a\in A$，引入3个记号：

$X\left(a\right)=\vee \left\{i|i⊲a,i\in X\right\}$，即 $X\left(a\right)$ 是a的所有X理想之并；

$\left(a\right)X=\wedge \left\{i|i⊲a,a/i\in X\right\}$，即 $\left(a\right)X$ 是a的所有商为X同态像的理想之交；

$A_a=\left\{i|存在i=i_0\le i_1\le i_2\le \cdots \le i_n=a,i_k⊲i_{k+1},k=0,1,\cdots ,n-1\right\}$。

$uX$ 是非0同态像都不在X中的代数全体， $sX$ 是非0理想都不在X中的代数全体， $usX$ 是非0同态像都有非0理想在X中的代数全体， $suX$ 是非0理想都有非0同态像在X中的代数全体， $A_a$ 是代数a的所有可达子代数全体。

文献 [12] [13] [15] 分别建立了代数正规类中下根及上根的构造。

对于序 $\alpha$，如果 $\alpha =1$，定义

$X_{\text{1}}=hX=\left\{a\in A|存在b\in X,i⊲b,使得a~b/i\right\}$ ；

$X_2=us{X}_1=\left\{a\in A|a的非0同态像有非0X_1\text{-}理想\right\}$ ；

如果 $\alpha \ne \text{1}$ 不是极限序， $X_{\alpha -1}$ 已定义，则

$X_{\alpha }=\left\{a\in A|a的非0同态像有非0X_{\alpha -1}\text{-}理想\right\}=us{X}_{\alpha -1}$ ；

如果 $\alpha \ne \text{1}$ 是极限序，则 $X_{\alpha }=\underset{\beta <\alpha }{\cup }{X}_{\beta }$。

则 $\text{L}\left(X\right)=\cup X_{\alpha }$ 是一个根类，称X确定的下根。下根 $\text{L}\left(X\right)$ 是使得X中代数都是根代数的最小的根。

令 $\bar{X}=\left\{a\in A|存在b\in X,使得a\in A_b\right\}=\underset{a\in X}{\cup }{A}_a$，即 $\bar{X}$ 是X中代数的可达子代数全体构成的代数类， $\overline{\stackrel{¯}{X}}=\left\{a\in A|a的非0理想i都有非0同态像i/j\in \bar{X}\right\}=su\bar{X}$，则 $\text{U}\left(X\right)=\overline{\stackrel{¯}{X}}$ 是一个根类，称X确定的上根。上根 $\text{U}\left(X\right)$ 是使得X中代数都是半单代数的最大的根。

$A$ 的子类X上的算子在根性质的判定上有：

引理2.1 [13]： $\text{R}\subseteq A$ 是一个子类，则R是一个根类 $\iff \text{R}=us\text{R}$。

引理2.2 [13]： $\text{P}\subseteq A$ 是一个子类，则P是一个根半单类 $\iff \text{P}=su\text{P}$。

对 $A$ 的子类X，下根 $\text{L}\left(X\right)$ 与上根 $\text{U}\left(X\right)$ 是根据子类X构造的2个根性质，下面讨论由子类X确定的另一种根性质的构造。

3. 点态化完备代数正规类中的基根

本节引入点态化完备代数正规类 $A$ 的子类X确定中的基根的构造。

$A$ 是一个完备代数正规类，X是 $A$ 的子类，定义：

${\text{L}}_b\left(X\right)=\left\{a\in A|a的非0同态像有非0X\text{-}可达子代数\right\}$。

引理3.1： $X\subseteq A$ 是一个代数类，则 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 是一个同态闭类。

证明：设 $a\in {\text{L}}_b\left(X\right)$， $i⊲a$， $a/i\ne \text{0}$。因为a的非0同态像都有非0可达子代数不在X中，a的非0同态像的非0同态像也是a的非0同态像，即a的非0同态像都在 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 中，从而 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 是一个同态闭类。证毕。

引理3.2： $X\subseteq A$ 是一个同态闭类，则 $\text{L}\left(X\right)$ 是X确定的下根，则 $\text{L}\left(X\right)\subseteq {\text{L}}_b\left(X\right)$。

证明：由 $X\subseteq A$ 是一个同态闭类，从下根的构造有 $X_1=X\subseteq {\text{L}}_b\left(X\right)$， $\forall a\in X_2$，则a的非0同态像都有非0理想在 $X_1=X$ 中，从而 $X_2=X\subseteq {\text{L}}_b\left(X\right)$。进一步有 $X_{\alpha }\subseteq {\text{L}}_b\left(X\right)$，从而 $\text{L}\left(X\right)\subseteq {\text{L}}_b\left(X\right)$。证毕。

定理3.3： $X\subseteq A$ 是一个代数类，则 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 是一个根类。

证明：对 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 确定的下根 $\text{L}\left({\text{L}}_b\left(X\right)\right)$，显然有 ${\text{L}}_b\left(X\right)\subseteq \text{L}\left({\text{L}}_b\left(X\right)\right)$。

设 $a\in \text{L}\left({\text{L}}_b\left(X\right)\right)$， $\text{L}\left({\text{L}}_b\left(X\right)\right)$ 是一个同态闭类，故 $\forall i⊲a$， $a/i\ne \text{0}$， $a/i\in \text{L}\left({\text{L}}_b\left(X\right)\right)\subseteq {\text{L}}_b\left({\text{L}}_b\left(X\right)\right)$ ( ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 是一个同态闭类，由引理3.2得)。则 $a/i$ 有一个可达子代数 $c\in {\text{L}}_b\left(X\right)$ 且c有一个非0可达子代数 $c^{\prime }\in X$，因此 $c^{\prime }$ 是 $a/i$ 的一个非0 X-可达子代数，从而 $a\in {\text{L}}_b\left(X\right)$，即 $\text{L}\left({\text{L}}_b\left(X\right)\right)\subseteq {\text{L}}_b\left(X\right)$。

综上， ${\text{L}}_b\left(X\right)=\text{L}\left({\text{L}}_b\left(X\right)\right)$ 是一个根类。证毕。

定义3.4： $A$ 是一个完备代数正规类， $X\subseteq A$ 是 $A$ 的子类，定理3.3中确定的根类 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 称为是由X确定的基根。

推论3.5： $X\subseteq A$ 是一个同态闭类，则 ${\text{L}}_b\left(X\right)=\text{L}\left(X\right)$。

证明：因为X同态闭时， $\forall a\in X$， $i⊲a$， $0\ne a/i\in X$，从而 $a\in {\text{L}}_b\left(X\right)$， $X\subseteq {\text{L}}_b\left(X\right)$，故 ${\text{L}}_b\left(X\right)=\text{L}\left(X\right)$。证毕。

注1 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 与X的关系不确定， ${\text{L}}_b\left(X\right)\cap X=0$， ${\text{L}}_b\left(X\right)\cap X=X$ 及 ${\text{L}}_b\left(X\right)\cap X\ne \text{0}$，X都可能成立，故通常 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 与 $\text{L}\left(X\right)$ 不一定相同。但是当X是一个同态闭类，则 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 与 $\text{L}\left(X\right)$ 相同。

定理3.6： $X\text{,}Y\subseteq A$ 是2个代数类，则：

1) 如果 $X\subseteq Y$，则 ${\text{L}}_b\left(X\right)\le {\text{L}}_b\left(Y\right)$ ；

2) a是一个单代数，则 $a\in X\iff a\in {\text{L}}_b\left(X\right)$ ；

3) ${\text{L}}_b\left(X\right)={\text{L}}_b\left({\text{L}}_b\left(X\right)\right)$。

证明：1)，2)显然。

3) 因为 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 是一个根类，故 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 同态闭，所以 ${\text{L}}_b\left({\text{L}}_b\left(X\right)\right)=\text{L}\left({\text{L}}_b\left(X\right)\right)={\text{L}}_b\left(X\right)$。证毕。

对一个代数类 $X\subseteq A$，令

$X_h=\left\{a\in A|a的同态像b=a/i都有b\in X\right\}$，

$\text{S}\left(X\right)=\left\{a\in A|a有非0X\text{-}可达子代数\right\}$，

则有：

推论3.7： $X\subseteq A$ 是一个代数类，有 $\text{L}\left(X_1\right)\le {\text{L}}_b\left(X\right)\le \text{L}\left(X_h\right)$。

证明：因为 $X_1\subseteq X\subseteq X_h$， $X_1\text{,}{X}_h$ 同态闭，由定理3.6得 $\text{L}\left(X_1\right)={\text{L}}_b\left(X_1\right)\le {\text{L}}_b\left(X\right)\le {\text{L}}_b\left(X_h\right)=\text{L}\left(X_h\right)$。证毕。

定理3.8：X是一个代数类，则 $X\subseteq {\text{L}}_b\left(X\right)\iff {\text{L}}_b\left(X\right)=\text{L}\left(X_h\right)$。

证明：由推论3.7得 ${\text{L}}_b\left(X\right)\le \text{L}\left(X_h\right)$。

“ $\Rightarrow$ ”如果 $X\subseteq {\text{L}}_b\left(X\right)$，由于 ${\text{L}}_b\left(X_h\right)$ 是包含X的最小根类，而 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 是包含X的根类，因此 $\text{L}\left(X_h\right)\le {\text{L}}_b\left(X\right)$，从而 ${\text{L}}_b\left(X\right)=\text{L}\left(X_h\right)$。

“ $\Leftarrow$ ”如果 ${\text{L}}_b\left(X\right)=\text{L}\left(X_h\right)$，则 $X\subseteq \text{L}\left(X_h\right)={\text{L}}_b\left(X\right)$。证毕。

定理3.9：X是一个代数类，如果 $X\cap \text{S}\left({\text{L}}_b\left(X\right)\right)=\text{0}$，则 $\text{S}\left({\text{L}}_b\left(X\right)\right)$ 是与X交为0的最大半单类。

证明：设R是根类，R-半单类PR真包含 $\text{S}\left({\text{L}}_b\left(X\right)\right)$，且PR是与X交为0的最大半单类，设 $a\in \text{PR}$，但 $a\notin \text{S}\left({\text{L}}_b\left(X\right)\right)$，则a有一个 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ -理想，但不是R-理想。即存在 $\text{0}\ne i⊲a$，使得 $i\in {\text{L}}_b\left(X\right)$，因此i有非0 X-可达子代数j。但j也是a的非0 X-可达子代数，由于R-半单类PR是遗传的，故 $j\in \text{PR}$，进而 $j\in \text{PR}\cap X$，和PR与X交为0矛盾，所以 $\text{S}\left({\text{L}}_b\left(X\right)\right)$ 是与X交为0的最大半单类。证毕。

定理3.10：如果R是一个遗传根类，则 $\text{R}\cap {\text{L}}_b\left(\text{PR}\right)=\text{0}$。

证明：设 $a\in \text{R}\cap {\text{L}}_b\left(\text{PR}\right)$，如果 $a\ne \text{0}$，由 $a\in {\text{L}}_b\left(\text{PR}\right)$，则a有非0 PR-可达子代数b。R是一个遗传根类， $a\in \text{R}$，从而 $b\in \text{R}$，即 $\text{0}\ne b\in \text{R}\cap {\text{L}}_b\left(\text{PR}\right)$，矛盾，所以 $\text{R}\cap {\text{L}}_b\left(\text{PR}\right)=\text{0}$。证毕。

定理3.11：X是一个代数类，有 $X\cap {\text{L}}_b\left(X\right)=\text{0}\iff X$ 满足条件：

$\forall 0\ne a\in X\Rightarrow$ 存在a的非0同态像c，使得c没有非0 X-可达子代数。

证明：“ $\Rightarrow$ ” $X\cap {\text{L}}_b\left(X\right)=\text{0}$，如果有 $a\in X$， $a\ne 0$ 且不存在a的非0同态像c，使得c没有非0 X-可达子代数，即a的非0同态像c都有非0 X-可达子代数，故 $a\in {\text{L}}_b\left(X\right)$，从而 $a\in X\cap {\text{L}}_b\left(X\right)$，与 $X\cap {\text{L}}_b\left(X\right)=\text{0}$ 矛盾，所以 $\forall 0\ne a\in X\Rightarrow$ 存在a的非0同态像c，使得c没有非0 X-可达子代数。

“ $\Leftarrow$ ” $\forall 0\ne a\in X\Rightarrow$ 存在a的非0同态像c，使得c没有非0 X-可达子代数，设 $a\in X\cap {\text{L}}_b\left(X\right)$，如果 $a\ne 0$，由 $a\in {\text{L}}_b\left(X\right)$，则a的非0同态像c都有非0 X-可达子代数，与存在a的非0同态像c，使得c没有非0 X-可达子代数矛盾，所以 $a\ne 0$，即 $X\cap {\text{L}}_b\left(X\right)=\text{0}$。证毕。

4. 小结

本文定义了完备代数正规类中代数类X确定的基根类 ${\text{L}}_b\left(X\right)$，讨论了基根类 ${\text{L}}_b\left(X\right)$ 与代数类X、下根 $\text{L}\left(X\right)$ 的关系。

基金项目

国家自然科学基金(11861076)；云南省自然科学基金(2019FB139)。