基于灰色预测模型研究延迟退休政策的必要性

doi:10.12677/AAM.2022.113147

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基于灰色预测模型研究延迟退休政策的必要性
Researching the Necessity of Delayed Retirement Policy Based on Grey Model

DOI: 10.12677/AAM.2022.113147, PDF, HTML, XML, 科研立项经费支持
作者: 陈歆宇, 王垚, 王安迪, 王天园：沈阳航空航天大学，理学院，辽宁沈阳
关键词: 人口老龄化；延迟退休；灰色预测模型；年龄结构；总抚养比；适龄劳动资源；人口红利；养老金赤字；差分方程模型；投资收益率下限；Population Aging； Delaying Retirement； GM (1； 1) Grey Models； Age Structure； Total Dependency Ratio； Working-Age Resources； Demographic Dividend； Pension Deficit； Difference Equation Model； Lower Limit of Monthly Investment Return Rate

摘要: 随着社会的发展，人口老龄化进程加快引发的社会问题日益凸显。因此，为缓解人口老龄化带来的消极影响，实行延迟退休政策是必然选择。本文基于2010年~2019年的统计数据，建立GM (1, 1)灰色预测模型对2020年~2029年各个年龄段的人口进行预测。研究发现2020年~2029年65岁及以上的常住人口数的增幅大于另两个年龄段的常住人口数增幅之和，且总抚养比持续上升，单位劳动年龄人口需负担的非劳动年龄人口不断增加，适龄劳动人数占总常住人口的比例逐年下降，人口中适龄劳动资源匮乏，我国的人口红利优势即将消失。同时，养老金赤字日益加剧，为缓解这些问题，实施延迟退休政策迫在眉睫。除此之外，本文建立差分方程模型，求解出实施延迟退休政策后我国保险公司每月投资收益率下限。

Abstract: With the development of society, the social problems caused by the accelerated aging of population are increasingly prominent. Therefore, in order to alleviate the negative impact of population aging, the implementation of delayed retirement policy is an inevitable choice. Based on the statistical data from 2010 to 2019, this paper established GM (1, 1) grey models to predict the population of all ages from 2020 to 2029. Study found that the growth of resident population aged 65 and above 65, in 2020~2029, is greater than the sum of the other two ages resident population growth. The total dependency ratio continues to rise at the same time. The non-working age population that unit working population needs to burden is increasing. The proportion of the working-age population in the total permanent population is decreasing year by year, and working-age resources are scarce among the population. Therefore, Chinese demographic dividend advantage will soon disappear. At the same time, the pension deficit is increasing. In order to alleviate these problems, it is urgent to implement the delayed retirement policy. In addition, this paper establishes a difference equation model to solve the lower limit of monthly investment return rate of Chinese insurance companies after the implementation of delayed retirement policy.

文章引用：陈歆宇, 王垚, 王安迪, 王天园. 基于灰色预测模型研究延迟退休政策的必要性[J]. 应用数学进展, 2022, 11(3): 1345-1354. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.113147

1. 研究现状综述

从中国知网数据库查找延迟退休的必要性研究成果，主要包括：分析延迟退休政策可能造成的积极影响和消极影响，分析人口老龄化背景下延迟退休对国民经济的影响，得出有差别的退休政策有助于我国的经济发展 [1]。运用模糊点回归的方法，对不同的人群进行异质性分析，分析延迟退休政策对健康的影响 [2]。从我国就业市场现状角度，分析延迟退休政策为我国就业市场带来的机遇和挑战 [3]。

本文基于2010年~2019年的统计数据，建立GM (1, 1)灰色预测模型对2020年~2029年各个年龄段的人口、我国的基本养老基金收支情况进行预测。根据预测出的数据，从我国人口的年龄结构、总抚养比、人口红利、养老金缺口方面分析研究延迟退休政策的必要性，并建立差分方程模型求解我国保险公司每月投资收益率下限。

2. 延迟退休的必要性

2.1. 基于灰色预测模型预测2020年~2029年我国各个年龄段人口数量

本文搜集2010年~2019年我国各个年龄段的人口数量，以65岁及以上的常住人口数量为例。

首先，需要对数据进行检验和处理，已知2010年~2019年65岁及以上的常住人口数量：

$x^{(0)} = (x^{(0)} (2010), x^{(0)} (2011), \dots, x^{(0)} (2019))$ (1)

计算2010年~2019年65岁及以上的常住人口数量序列的级比：

$λ (k) = \frac{x^{(0)} (k - 1)}{x^{(0)} (k)}, k = 2011, 2012, \dots, 2019$ (2)

$\begin{matrix} λ = (λ (2011), λ (2012), \dots, λ (2019)) \\ = λ (0.9688, 0.9609, 0.9634, 0.9540, 0.9572, 0.9659, 0.9421, 0.9544, 0.9413) \end{matrix}$ (3)

计算得：

$λ (k) \in [0.9413, 0.9688]$ (4)

由于所有级比 $λ (k)$ 都落在 $ϑ = (e^{- \frac{2}{11}}, e^{\frac{2}{12}})$ 内，序列 $x^{(0)}$ 可以进行灰色预测。

经过1次累加生成序列：

$\begin{matrix} x^{(1)} = (x^{(1)} (2010), x^{(1)} (2011), \dots, x^{(1)} (2019)) \\ = (x^{(0)} (2010), x^{(0)} (2010) + x^{(0)} (2011), \dots, x^{(0)} (2010) + \dots + x^{(0)} (2019)) \end{matrix}$ (5)

式中：

$x^{(0)} (k) = \sum_{i = 2010}^{k} x^{(0)} (i), k = 2010, 2011, \dots, 2019$ (6)

$x^{(1)}$ 的均值生成序列：

$z^{(1)} = (z^{(1)} (2011), z^{(1)} (2012), \dots, z^{(1)} (2019))$ (7)

式中：

$z^{(1)} (k) = 0.5 x^{(1)} (k) + 0.5 x^{(1)} (k - 1), k = 2011, 2012, \dots, 2019$ (8)

建立灰微分方程：

$x^{(0)} (k) + a z^{(1)} (k) = b, k = 2011, 2012, \dots, 2019$ (9)

相应的白化微分方程为：

$\frac{d x^{(1)}}{d t} + a x^{(1)} (t) = b$ (10)

记：

$u = {[a, b]}^{T}, Y = {[x^{(0)} (2011), x^{(0)} (2012), \dots, x^{(0)} (2019)]}^{T}$

$B = [\begin{matrix} \begin{matrix} - z^{(1)} (2011) \\ - z^{(1)} (2012) \end{matrix} & \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} ⋮ \\ - z^{(1)} (2019) \end{matrix} & \begin{matrix} ⋮ \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}]$ (11)

则由最小二乘法，求得使 $J (u) = {(Y - B u)}^{T} (Y - B u)$ 达到最小值的u的估计值为

$\hat{u} = {[\hat{a}, \hat{b}]}^{T} = {(B^{T} B)}^{- 1} B^{T} Y = {[- 0.0461817, 11296.69383]}^{T}$ (12)

求解式(10)，得：

${\hat{x}}^{(1)} (k + 1) = (x^{(0)} (2010) - \frac{\hat{b}}{\hat{a}}) e^{- \hat{a} (k - 2009)} + \frac{\hat{b}}{\hat{a}}$ (13)

求解预测值 ${\hat{x}}^{(1)} (k + 1)$ 以及模型还原值 ${\hat{x}}^{(0)} (k + 1)$ ，令 $k = 2010, 2011, \dots, 2018$ ，由式(13)计算得 ${\hat{x}}^{(1)}$ ，取 ${\hat{x}}^{(1)} (1) = {\hat{x}}^{(0)} (1) = x^{(0)} (1) = 11893.87$ 。

${\hat{x}}^{(0)} (k + 1) = {\hat{x}}^{(1)} (k + 1) - {\hat{x}}^{(1)} (k), k = 2010, 2011, \dots, 2018$ (14)

得：

${\hat{x}}^{(0)} = ({\hat{x}}^{(0)} (2010), {\hat{x}}^{(0)} (2011), \dots, {\hat{x}}^{(0)} (2019))$ (15)

检验模型的准确性：

结果的检验值计算结果如下表1所示：

Table 1. Test table of grey prediction model

表1. 灰色预测模型的检验表

经验证，该模型精度较高，可以进行预测。

预测出2020年~2029年65岁及以上的常住人口数量，绘制65岁及以上常住人口增长曲线如图1所示：

Figure 1. Growth curve of resident population aged 65 and above

图1. 65岁及以上常住人口增长曲线

同理，可预测出2020年~2029年各个年龄段的常住人口数据，如表2所示：

Table 2. Resident population data by age group

表2. 各个年龄段的常住人口数据

2.2. 从年龄结构角度分析延迟退休的必要性

根据预测出的数据，绘制2029年我国人口的年龄结构图，如图2所示：

Figure 2. Comparison of age structure between 2019 and 2029

图2. 2019年与2029年的年龄结构对比图

由图2可以看出从2019年到2029年，各年龄段的常住人口数虽然持续增加，但65岁及以上的常住人口数的增幅大于另两个年龄段的常住人口数增幅之和。该现象说明未来我国将加速进入老龄化社会，而人口老龄化会对经济产生消极影响，因此，为了缓解人口老龄化带来的消极影响，迟迟延迟退休政策势在必得。

2.3. 从总抚养比角度分析延迟退休的必要性

由经验公式得：人口总抚养比 = 总体人口中非劳动年龄人口数 ÷ 劳动年龄人口数，即：总抚养比 = (0~14岁常住人口数量 + 65岁及以上常住人口数量) ÷ (15~64岁常住人口数量)。

根据预测出的数据，计算出2020~2029年我国的人口总抚养比，如表3所示：

Table 3. Forecast of China’s total dependency ratio from 2020 to 2029

表3. 2020~2029年我国的人口总抚养比预测表

由表3分得出：从2020至2029年，我国的人口总抚养比在不断增加，这意味着每100名劳动年龄人口需要负担的非劳动年龄人口在不断增加，为了缓解劳动年龄人口的负担，延迟退休政策需提上日程。

2.4. 从人口红利角度分析延迟退休的必要性

经济学家将由于人口中适龄劳动力资源相对丰富形成的对经济发展十分有利的“黄金时期”称为人口红利。因此，本文从人口红利角度研究延迟退休政策的必要性时，选取适龄劳动力占总人口的比例作为本文的研究对象。

根据预测出的数据，计算出2020~2029年我国适龄劳动力占总人口的比例，如表4所示：

Table 4. Proportion of the working-age population in China

表4. 我国适龄劳动力占总人口的比例表

由表4分得出：从2020至2029年，我国适龄劳动力占总人口的比例逐年下降，适龄劳动力资源不断减少，人口红利时期会逐渐消失，为了延长人口红利对经济的促进作用，实行延迟退休政策，维持较高的适龄劳动力占总人口的比例。

2.5. 从养老金缺口角度分析延迟退休的必要性

本文搜集2010年~2019年我国基本养老保险基金收入、支出数据，以基本养老金收入为例，对数据进行检验和处理，已知2010年~2019年我国基本养老金收入：

$y^{(0)} = (y^{(0)} (2010), y^{(0)} (2011), \dots, y^{(0)} (2019))$ (16)

计算2010年~2019年我国基本养老金收入序列的级比：

$φ (k) = \frac{y^{(0)} (k - 1)}{y^{(0)} (k)}, k = 2011, 2012, \dots, 2019$ (17)

计算得：

$φ (k) \in [0.8381, 0.9808]$ (18)

由于所有级比 $φ (k)$ 都落在 $θ = (e^{- \frac{2}{11}}, e^{\frac{2}{12}})$ 内，建立GM(1,1)灰色预测模型，得到预测值：

$\begin{array}{l} {\hat{y}}^{(1)} (k + 1) = (y^{(0)} (2010) - \frac{\hat{b}}{\hat{a}}) e^{- \hat{a} (k - 2009)} + \frac{\hat{b}}{\hat{a}}, k = 2010, 2011, \dots, 2018 \\ {\hat{y}}^{(0)} (k + 1) = {\hat{y}}^{(1)} (k + 1) - {\hat{y}}^{(1)} (k) \end{array}$ (19)

预测出2020年~2029年我国基本养老保险基金收入，同理，预测出2020年~2029年我国基本养老保险基金支出数据，如下表5所示：

Table 5. Income and expenditure data of China’s basic endowment insurance fund from 2020 to 2029

表5. 2020年~2029年我国基本养老保险基金收入、支出数据

根据预测得出的数据，绘制未实施延迟退休政策的养老金收入、支出预测图，如图3所示：

Figure 3. Forecast of pension income and expenditure without delayed retirement policy

图3. 未实施延迟退休政策的养老金收入、支出预测图

由图3分析可知：2020年~2029年我国基本养老保险基金收入逐渐少于基金支出，出现养老金赤字现象，且养老金缺口越来越大。

研究实施延迟退休政策对养老金的影响时，本文选取2020年~2029年50~54岁的女性常住人口、60~64岁的男性常住人口作为受延迟退休政策影响的主要人群。

由于实行延迟退休政策，该人群继续工作，国家不向该群体提供养老金方面的支出，同时该群体亦不用上缴养老保险，即对国家养老金收入没有贡献，预测出2020年~2029年我国实施延迟退休政策后养老金收入、支出，如下图4所示：

Figure 4. Forecast of pension income and expenditure with delayed retirement policy

图4. 实施延迟退休政策的养老金收入、支出预测图

由图4可知：实施延迟退休政策后，2020年~2029年我国将不再出现养老金赤字现象。我国基本养老金支出相较未实施延迟退休政策时的支出有了大幅度的减少，如图5所示：

Figure 5. Comparison of net pension income with and without delayed retirement policy

图5. 实施延迟退休政策与未实施延迟退休政策的养老金净收入比较图

2.6. 基于差分方程给出关于我国养老保险公司投资收益率的建议

研究发现实施延迟退休政策是势在必得的。因此，本文建立差分方程模型，研究实施延迟退休后，若每月缴费400元至64岁年底，65岁退休后开始领取养老金，寿命为75岁的男子从25岁开始投保，退休后月养老金3000元，我国保险公司每月至少应有的投资收益率，给出合理建议。

设r为养老基金的投资收益率，未退休常住人口每月缴费p元，退休的常住人口每月领q元，未退休的常住人口需缴n个月养老保险，退休的常住人口在死亡时领取养老金的月数为m，未退休的投保人在缴费后第k个月所交的养老保险及收益的累积总额为 $F_{k}$ ，建立分段表示的差分方程模型：

$\begin{array}{l} F_{k + 1} = F_{k} (1 + r) + p, k = 0, 1, 2, \dots, n - 1 \\ F_{k + 1} = F_{k} (1 + r) - q, k = n, n + 1, \dots, m - 1 \end{array}$ (20)

可推出差分方程的解为：

$\begin{array}{l} F_{0} = F_{m} = 0 \\ F_{k} = [{(1 + r)}^{k} - 1] \frac{p}{r}, k = 0, 1, 2, \dots, n \\ F_{k} = \frac{q}{r} [1 - {(1 + r)}^{k - m}], k = n, n + 1, \dots, m \end{array}$ (21)

求得：

$\begin{array}{l} F_{n} = [{(1 + r)}^{n} - 1] \frac{p}{r} \\ F_{n + 1} = \frac{q}{r} [1 - {(1 + r)}^{n + 1 - m}] \end{array}$ (22)

由于 $F_{n + 1} = F_{n} (1 + r) - q$ ，整理可得：

$\frac{q}{r} [1 - {(1 + r)}^{n + 1 - m}] = [{(1 + r)}^{n} - 1] \frac{p}{r} (1 + r) - q$ (23)

化简得：

${(1 + r)}^{m} - (1 + \frac{q}{p}) {(1 + r)}^{m - n} + \frac{q}{p} = 0$ (24)

将 $p = 400, q = 3000, n = 480, m = 600$ 带入方程，求得收益率 $r = 0.20 %$ 。

即我国保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有0.20%的投资收益率。

3. 总结

本文通过建立GM (1, 1)灰色预测模型，根据2010年~2019年我国各年龄段的常住人口数量、养老金收支情况，预测出2020年~2029年我国各年龄段的常住人口数量、养老金收支情况。从年龄结构、总抚养比、人口红利角度来看，从2020年到2029年65岁及以上的常住人口数的增幅大于另两个年龄段的常住人口数增幅之和，总抚养比持续上升，单位劳动年龄人口需负担的非劳动年龄人口不断增加，适龄劳动人数占总常住人口的比例逐年下降，人口中适龄劳动资源匮乏，我国的人口红利优势即将消失。从我国基本养老基金的收支情况分析，养老金赤字日益加剧，而实施延迟退休政策可以有效缓解这些问题，因此，实施延迟退休政策迫在眉睫。除此之外，本文建立差分方程模型，求解出投资收益率的函数表达式，分析得出我国保险公司每月至少应有0.20%的投资收益率。

基金项目

基金编号：Z202110143110。

参考文献

[1]	宗艳红. 人口老龄化背景下延迟退休对国民经济的影响[J]. 经济管理文摘, 2021(24): 108-109.
[2]	王娜. 退休对健康的影响机制研究[D]: [博士学位论文]. 泉州: 华侨大学, 2021.
[3]	杨孟霞. “延迟退休”对我国就业市场的影响分析[J]. 时代金融(上旬), 2022(1): 91-92+95.

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