Burgers方程的一类三次有限体积元方法
A Cubic Finite Volume Element Method for the Burgers Equation
DOI: 10.12677/IJFD.2022.101001, PDF, HTML, XML,    科研立项经费支持
作者: 何斯日古楞：呼和浩特民族学院，数学与大数据学院，内蒙古 呼和浩特；张 婷, 杨凯丽：内蒙古大学，数学科学学院，内蒙古 呼和浩特
关键词: Burgers方程；三次有限体积元法；收敛性分析；Burgers Equation； Cubic Finite Volume Element Method； Convergence Analysis
摘要: 本文对Burgers方程的初边值问题，用最佳应力点构建对偶网格剖分，并基于分片三次Lagrange插值试探函数空间和分片常数检验函数空间，构造了Crank-Nicolson三次有限体积元格式并证明了数值解的L2-模最优阶误差估计及其导数在最佳应力节点处的超收敛误差估计。最后，给出数值算例验证了理论分析结果以及所提格式的有效性。
Abstract: In this paper, for the initial boundary value problem of the Burgers equation, the optimal stress point is used to construct a dual partition, and based on the trial function space of piecewise cubic Lagrange interpolation and the test function space of piecewise constant, the Crank-Nicolson cubic finite volume element scheme is constructed. And the L2 norm optimal order error estimate of the numerical solutions and the super-convergence error estimate of the derivative at the optimal stress node are proved. Finally, numerical examples are given to verify the theoretical analysis re-sults and the validity of the proposed scheme.
文章引用：何斯日古楞, 张婷, 杨凯丽. Burgers方程的一类三次有限体积元方法[J]. 流体动力学, 2022, 10(1): 1-8. https://doi.org/10.12677/IJFD.2022.101001

1. 引言

考虑如下Burgers方程初边值问题

{ u t + u u x = β u x x , ( x , t ) ∈ Ω × ( 0 , T ] , u ( a , t ) = u ( b , t ) = 0 , t ∈ ( 0 , T ] , u ( x , 0 ) = φ ( x ) , x ∈ Ω , (1)

其中 Ω = ( a , b ) ， [ 0 , T ] 为时间区间，T为总时间， β > 0 是黏性系数， φ ( x ) 为初值函数，u表示速度。

Burgers方程是一类带有对流项和扩散项的非线性偏微分方程，可用来描述水波问题、弱激波传播、激波流问题、交通运输流与粘性介质中声波的传播等许多物理现象。此外，Burgers方程也被用在描述物体流动的数学模型，例如传热、湍流、传质、环境和水资源污染等一些与流体力学相关的问题。带有特殊初边值条件的Burgers方程的解析解是可以求解。Hopf [1] 和Cole [2] 分别指出，对于任意的初值条件，Burgers方程能够被转化成可求精确解的线性齐次热方程。因此，原始Burgers方程的精确解能够表示成傅里叶展开形式。基于此，Benton和Platzman [3] 讨论了一维Burgers方程的解析解。虽然能够得到傅里叶展开形式的精确解，但是这种解析解的收敛性较慢，需要相当长的序列才能得到高精度的逼近解。因此，仍需要有效数值方法来求解Burgers方程。文献 [4] 将四阶精细积分法与六阶紧致差分格式结合求解了改进Hopf-Cole 变换所得一维热传导系统，再与分裂技术结合求解了多维Burgers系统。文献 [5] 将 θ 加权格式与Sinc-Galerkin法结合离散Hopf-Cole变换后的线性问题，并数值计算得到指数收敛结果。文献 [6] 采用Hopf-Cole变换构造了一种无条件稳定的隐式四阶紧致差分格式，并用数值算例检验了所提算法的有效性。文献 [7] 讨论了Burgers方程的有限体积元格式及其误差估计。文献 [8] 构造基于Legendre-Gauss-Lobatto节点的时空Legendre谱配置方法求解了Burgers方程初边值问题。文 [9] 对粘性Burgers方程的对流项和粘性项分别采用五阶精度加权紧致非线性格式(WCNS)格式和四阶中心差分格式计算，设计了一种高阶精度半隐式WCNS格式，再用三阶精度IMEX RungeKutta方法计算半离散系统，并给出了稳定性分析。数值结果表验证了所提格式的可行性和优势。文 [10] 用Crank-Nicolson格式和有限差分法分别离散一类空间分数阶Buegers方程的时间方向和空间方向，建立了一种时空均为二阶精度的守恒型差分格式。

本文首先用Hopf-Cole变换将Burgers方程初边值问题(1)转化成线性的其次热方程，再借助文献 [11] 的思想，构造了一种Crank-Nicolson三次有限体积元格式，并分析了格式的L2-模最优阶误差分析和最佳应力节点处导数的超收敛误差估计。

2. 三次有限体积元格式

Burgers方程初边值问题(1)通过Hopf-Cole变换

u ( x , t ) = − 2 β w x w , (2)

被转化成具有Neumann边界条件的热传导方程

{ w t − β w x x = 0 , ( x , t ) ∈ Ω × ( 0 , T ] , w x ( a , t ) = w x ( b , t ) = 0 , t ∈ ( 0 , T ] , w ( x , 0 ) = exp ( − 1 2 β ∫ a x φ ( s ) d s ) , x ∈ Ω . (3)

首先将区间 Ω = ( a , b ) 剖分成 I h = ∪ i [ x 3 ( i − 1 ) , x 3 i ] , ( i = 1 , 2 , ⋯ , M ) ，再将每个子区间划分成步长为 h i 的三等分小区间，并记节点为 x 3 i − 3 ≤ x 3 i − 2 ≤ x 3 i − 1 ≤ x 3 i ， h = max 1 ≤ i ≤ M h i 。其次，作 I h 的对偶剖分 I h * 。记 x 3 i − δ = x 3 i − 3 + 5 2 h i ， x 3 i − ρ = x 3 i − 2 + x 3 i − 1 2 ， x 3 i − η = x 3 i − 3 − 5 2 h i 。由文献 [11] [12] 可知，节点 x 3 i − δ , x 3 i − ρ , x 3 i − η 是区间 [ x 3 ( i − 1 ) , x 3 i ] , ( i = 1 , 2 , ⋯ , M ) 上的三个最佳应力点。定义区间 I i * = [ x 3 i − δ , x 3 i − ρ ] ， I i * * = [ x 3 i − ρ , x 3 i − η ] ， I i * * * = [ x 3 i − η , x 3 ( i + 1 ) − δ ]   ( i = 1 , 2 , ⋯ , M ) ，其中令 x 3 ( M + 1 ) − δ = x 3 M ， h M + 1 = 0 及 I 0 * * * = [ x 0 , x 3 − δ ] ，则

I h * = ∪ i ( I i * ∪ I i * * ∪ I i * * * ) 为 I h 的一种对偶剖分。

在对偶单元 I i * , I i * * 和 I i * * * , ( 1 ≤ i ≤ M ) 上分别积分(3)式，得

∫ I i * w t d x − β [ w x ( x 3 i − ρ , t ) − w x ( x 3 i − δ , t ) ] = 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , M , ∫ I i * * w t d x − β [ w x ( x 3 i − η , t ) − w x ( x 3 i − ρ , t ) ] = 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , M , ∫ I i * * * w t d x − β [ w x ( x 3 ( i + 1 ) − δ , t ) − w x ( x 3 i − η , t ) ] = 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , M − 1 , ∫ I 0 * * * w t d x − β w x ( x 3 − δ , t ) = 0 , ∫ I M * * * w t d x + β w x ( x 3 M − η , t ) = 0. (4)

基于剖分 I n 和 I n * ，分别定义试探函数空间和检验函数空间

S h = { u h ∈ C ( Ω ¯ ) ∩ H 0 1 ( Ω ) : u h | e ∈ P 3 ( e ) , ∀ e ∈ I n } , V h = { w h ∈ L 2 ( Ω ) : w h | e * ∈ P 0 ( e * ) , ∀ e * ∈ I n * } ,

其中 P k 表示分段k次多项式空间。

设 ∏ h * 是实验函数空间到检验函数的迁移算子，并记 ϕ 3 i − 2 ( x ) , ϕ 3 i − 1 ( x ) , ϕ 3 i ( x ) 分别为 I i * , I i * * , I i * * * 上的特征函数，引入记号

∏ h * w h = ∑ i = 1 M ( w 3 i − 2 ϕ 3 i − 2 + w 3 i − 1 ϕ 3 i − 1 + w 3 i ϕ 3 i )     , ∀ w h ∈ S h , A ( w , ∏ h * v h ) = ∑ i = 1 M [ v 3 i − 2 A ( w , ϕ 3 i − 2 ) + v 3 i − 1 A ( w , ϕ 3 i − 1 ) + v 3 i A ( w , ϕ 3 i ) ]     ,

其中

{ A ( w , ϕ 3 i − 2 ) = β [ w x ( x 3 i − δ , t ) − w x ( x 3 i − ρ , t ) ] , A ( w , ϕ 3 i − 1 ) = β [ w x ( x 3 i − ρ , t ) − w x ( x 3 i − η , t ) ] , A ( w , ϕ 3 i ) = β [ w x ( x 3 i − η , t ) − w x ( x 3 ( i + 1 ) − δ , t ) ] , (5)

则积分形式(4)等价于求 w ∈ H ( Ω ) 使得

{ ( w t , ∏ h * v h ) + A ( w , ∏ h * v h ) = 0 ,     ∀ v h ∈ S h , w ( x , 0 ) = exp ( − 1 2 β ∫ a x φ ( s ) d s ) ,     x ∈ Ω . (6)

设N为正常数， k = T N 为时间步长。记 w n = w ( x , t n ) ， ( t n = n k , 0 ≤ n ≤ N ) ， w ¯ n = w n + w n − 1 2 ， ∂ t ¯ w n = w n − w n − 1 k 。于是，问题(1)的Crank-Nicolson全离散格式：求 W n ∈ S h 使得

{ ( ∂ t ¯ W n , ∏ h * v h ) + A ( W ¯ n , ∏ h * v h ) = 0 ,     ∀ v h ∈ S h , W 0 = w ( x , 0 ) ,     x ∈ Ω . (7)

3. 误差分析

定义1 [11] 试探函数空间 S h 上的离散 L 2 范数和离散 H 1 半范数

‖ u h ‖ 0 , h 2 = 3 8 ∑ i = 1 M h i ( u 3 i − 3 2 + 3 u 3 i − 2 2 + 3 u 3 i − 1 2 + u 3 i 2 )     , ∀ u h ∈ S h , | u h | 1 , h 2 = ∑ i = 1 M 1 h i [ ( u 3 i − 2 − u 3 i − 3 ) 2 + ( u 3 i − 1 − u 3 i − 2 ) 2 + ( u 3 i − u 3 i − 1 ) 2 ] , ∀ u h ∈ S h , 且离散范数 |   ⋅   | 1 , h 和 ‖   ⋅   ‖ 0 , h 分别与Sobolev空间的连续范数 |   ⋅   | 1 与 ‖   ⋅   ‖ 0 是等价的，即

| u h | 1 , h ≤ | u h | 1 ≤ 9 10 20 | u h | 1 , h ,     0.59 ‖ u h ‖ 0 , h ≤ ‖ u h ‖ 0 ≤ 1.16 ‖ u h ‖ 0 , h . (8)

定义2 [11] 椭圆投影算子 P h : H 1 ( Ω ) → S h ，对于任意的 w ∈ H 1 ( Ω ) 满足

A ( P h w , ∏ h * v h ) = A ( w , ∏ h * v h ) , ∀ v h ∈ S h . (9)

引理1 [11] 对充分小的h， A ( v , ∏ h * v ) 是正定额，即存在正常数 σ 使得

A ( v , ∏ h * v ) ≥ σ | v | 1 2 , ∀ v ∈ S h .

引理2 [11] 设 P h 是由式(9)所定义的椭圆投影算子，则对 ∀ w ∈ H 5 ( Ω ) ∩ H 1 ( Ω ) 有

| w − P h w | 1 ≤ C h 3 | w | 4 , ‖ w − P h w ‖ 0 ≤ C h 4 ‖ w ‖ 5 , { 1 3 M ∑ i = 1 M [ ( ( w − P h w ) x ( 3 i − 3 + 5 2 ) ) 2 + ( ( w − P h w ) x ( 3 i − 3 2 ) ) 2 + ( ( w − P h w ) x ( 3 i − 3 − 5 2 ) ) 2 ] } 1 / 2 ≤ C h 4 | w | 5 . (10)

引理3 [11] 对于任意的 w h , v h ∈ S h ，下列不等式成立

‖ ∏ h * v h ‖ 0 ≤ 2.9214 ‖ v h ‖ 0 ,

| ( w h , ∏ h * v h ) − ( w h , v h ) | ≤ 0.0133068 2 σ h 2 ‖ w ‖ 0 , h 2 + σ 2 | v | 1 , h 2 .

此处常数 σ 与引理1中的 σ 相同。

定理1设 w ( t n ) 和 W n 分别是问题(1)和格式(7)的解，并 k = O ( h ) ，则存在与剖分步长h和k无关的正常数C，使得

‖ w ( t n ) − W n ‖ 0 ≤ C h 4 ( ‖ w 0 ‖ 5 + ∫ 0 t n ‖ w t ‖ 5 d t ) + C k 2 ( ∫ 0 t n ‖ w t t t ‖ 0 2 d t ) 1 / 2 , n = 1 , 2 , ⋯ .

证 令 w n − W n = w n − P h w n + P h w n − W n = ρ n + θ n 。由引理2的误差估计可知

‖ ρ n ‖ 0 ≤ C h 4 ‖ w ‖ 4 ≤ C h 4 ( ‖ w 0 ‖ 5 + ∫ 0 t n ‖ w t ‖ 5 d t ) . (11)

在式(6)中分别令 t = t n ， t = t n − 1 并与式(7)相减，再结合定义2，得误差方程

( ∂ t ¯ θ n , ∏ h * v h ) + A ( θ ¯ n , ∏ h * v h ) = − ( ∂ t ¯ ρ n + r 1 , ∏ h * v h ) , ∀ v h ∈ S h , (12)

其中 r 1 = w t ¯ n − ∂ t ¯ w n ，且由泰勒展开知

‖ r 1 ‖ 0 ≤ C k ∫ t n − 1 t n ‖ w t t t ‖ 0 d t .

式(12)中取 v h = θ ¯ n ，并将第一项分解为

( ∂ t ¯ θ n , ∏ h * θ ¯ n ) = ( ∂ t ¯ θ n , θ ¯ n ) + ( ∂ t ¯ θ n , ∏ h * θ ¯ n − θ ¯ n ) = T 1 + T 2 ,

则由引理3有

| T 2 | ≤ 0.0133068 2 σ h 2 ‖ ∂ t ¯ θ n ‖ 0 , h 2 + σ 2 | θ ¯ n | 1 , h 2 . (13)

另一方面，

T 1 = 2 3 ( ∂ t ¯ θ n , θ ¯ n ) + 1 3 ( ∂ t ¯ θ n , θ ¯ n ) = T 11 + T 12 , (14)

其中

T 12 = 1 3 ( ∂ t ¯ θ n , θ ¯ n ) = k 6 ‖ ∂ t ¯ θ n ‖ 0 , h 2 + 1 3 ( ∂ t ¯ θ n , θ n − 1 ) . (15)

此外

1 3 ( ∂ t ¯ θ n , θ n − 1 ) = − 1 6 k ( θ n − θ n − 1 , θ n − θ n − 1 ) + 1 6 k [ ( θ n , θ n ) − ( θ n − 1 , θ n − 1 ) ] ≤ 1 6 k [ ( θ n , θ n ) − ( θ n − 1 , θ n − 1 ) ] . (16)

假设 k = O ( h 2 ) ，并用引理1、引理3和Cauchy-Schwarz不等式以及式(13)~(16)，得

1 6 k [ ‖ θ n ‖ 0 2 − ‖ θ n − 1 ‖ 0 2 ] + σ 2 | θ ¯ n | 1 2 ≤ ‖ ∂ t ¯ ρ n ‖ 0 2 + ‖ r 1 ‖ 0 2 + C ‖ θ n ‖ 0 2 + C ‖ θ n − 1 ‖ 0 2 . (17)

式(17)对n从1到m， ( m ≤ N ) 求和，并用Gronwall引理可得

‖ θ n ‖ 0 ≤ C h 4 ( ‖ w 0 ‖ 5 + ∫ 0 t m ‖ w t ‖ 5 d t ) + C k 2 ( ∫ 0 t m ‖ w t t t ‖ 0 d t ) 1 / 2 . (18)

最后，将式(11)和式(18)与三角不等式结合，可得定理结论，证毕。

定理2设 w ∈ H 5 ( Ω ) ∩ H 1 ( Ω ) 和 W ∈ S h 分别是问题(3)和格式(7)的解，则 e n = w n − W n 在最佳应力点处导数具有误差估计

{ 1 3 M ∑ i = 1 n [ ( e x n ( x 3 i − 3 + 5 2 ) ) 2 + ( e x n ( x 3 i − 3 2 ) ) 2 + ( e x n ( x 3 i − 3 − 5 2 ) ) 2 ] } 1 / 2 ≤ C h 4 ( ‖ w 0 ‖ 5 + ∫ 0 t n ‖ w t ‖ 5 d t ) + C k 2 ( ∫ 0 t n ‖ w t t t ‖ 0 d t ) 1 / 2 .

证 令

L ρ = { 1 3 M ∑ [ ( ( w n − P h w n ) x ( 3 i − 3 + 5 2 ) ) 2 + ( ( w n − P h w n ) x ( 3 i − 3 2 ) ) 2 + ( ( w n − P h w n ) x ( 3 i − 3 − 5 2 ) ) 2 ] } 1 / 2 ,

则由引理2知

L ρ ≤ C h 4 | w n | 5 . (19)

令

L θ = { 1 3 M ∑ [ ( ( P h w n − W n ) x ( x 3 i − 3 + 5 2 ) ) 2 + ( ( P h w n − W n ) x ( x 3 i − 3 2 ) ) 2 + ( ( P h w n − W n ) x ( x 3 i − 3 − 5 2 ) ) 2 ] } 1 / 2 .

根据逆估计有 | ( P h w n − W n ) x ( x 3 i − 3 + 5 2 ) | ≤ C h − 1 2 | P h w n − W n | 1 , [ x 3 i − 3 , x 3 i ] ，并由剖分的拟均匀性，假定 1 M = O ( h ) ，于是当 u ∈ H 5 ( Ω ) ∩ H 1 ( Ω ) ，有

L θ 2 ≤ 1 M C h − 1 ∑ i = 1 M | P h w n − W n | 1 , [ x 3 i − 3 , x 3 i ] 2 ≤ C | P h w n − W n | 1 2 . (20)

另一方面，由式(17)和式(18)得

| θ n | 1 2 ≤ C h 8 ( ‖ w 0 ‖ 5 + ∫ 0 t n ‖ w t ‖ 5 d t ) 2 + C k 4 ∫ 0 t n ‖ w t t t ‖ 0 2 d t . (21)

最后，结合式(19)~(21)，可得定理结论。证毕。

4. 数值算例

问题(1)中取 ( x , t ) ∈ [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] ， β = 0.02 ，此时，问题(1)和问题(3)的精确解和初始值分别为

u ( x , t ) = 2 β π e − π 2 β t sin ( π t ) / ( 2 + e − π 2 β t cos ( π x ) ) ， u ( x , 0 ) = 2 β π sin ( π x ) / ( 2 + cos ( π x ) ) ，

w ( x , t ) = 2 + e − π 2 β t cos ( π x ) ， w ( x , 0 ) = 2 + cos ( π x ) .

在数值计算中，取时空步长比例为 k = h 2 。在均匀网格下，首先用格式(7)求得数值解在剖分节点值向量 W n ，并用五点差分格式求得其导数 W x n ，再用Hopf-Cole变换计算出数值解向量 U n = − 2 β W x n W n ，进而可求得 u ( x , t n ) 的数值解 U n ( x ) 。所得结果见表1，其中误差记号

E o s p ( h ) = { 1 3 M ∑ i = 1 M [ ( ( u x − U x ) ( x 3 i − 3 + 5 2 ) ) 2 + ( ( u x − U x ) ( x 3 i − 3 2 ) ) 2 + ( ( u x − U x ) ( x 3 i − 3 − 5 2 ) ) 2 ] } 1 / 2 ,

Table 1. The error and convergence order of the numerical example that calculated by using the scheme

表1. 用格式数值计算算例的误差和收敛阶

和 E u ( h ) = ‖ u ( T , x ) − U N ‖ 0 以及收敛阶记号 r u = log 2 [ E u ( h ) / E u ( h / 2 ) ] 和 r o s p ，分别表示超收敛点处导数的平均误差和数值解的L2-模误差及相应收敛阶。表中数据表明，当时空剖分步长比例取 k = h 2 时数值解和其导数在最佳应力点处的收敛阶均接近四阶，与本文理论分析相吻合。

5. 结论

针对一维Burgers方程初边值问题，本文先用Hopf-Cole变换将原问题转化成具有Neumann边界条件的热传导方程问题，再基于Lagrange插值多项式的最佳应力点构建了一种Crank-Nicolson三次有限体积元格式，并详细推导了格式的误差估计。理论分析表明格式具有 L 2 -模 O ( k 2 , h 4 ) 阶最优误差估计且数值解导数在最佳应力点处具有 O ( k 2 , h 4 ) 阶超收敛估计。数值实验验证了该方法的有效性和理论分析结果，并且数值结果表明本文方法拥有较高的计算精度。

基金项目

呼和浩特民族学院校级科学研究项目(HM-ZD-202101)资助。

参考文献

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