1. 引言与引理
设
是概率空间
上的随机变量序列,
为
域,在
中给定
域
,令
,
其中
为相关系数,
和
分别为所有
和
可测且2阶矩有限的随机变量全体。Kolmogorov在1960年引入了上面的
相依系数,在此基础上,Bradley又在1990年提出了以下的
相依系数。对
,令
,
其中
表示集合
的距离。显然
,
。
定义1 [1]:对随机变量序列
,若存在
,使
,则称随机变量序列
是
混合序列。
显然独立随机变量序列是
混合序列,因为对独立列而言有
,
。在定义1中,
的要求是很弱的,这导致
混合序列是一类广泛的相依序列。对
混合序列的极限理论的研究取得了一系列重要的成果,如文 [1] - [6]。本文主要研究
混合阵列的加权和,并且加权的矩阵是一类较为一般的实数矩阵。在
混合阵列满足比一致可积性等条件更为宽松的要求下,获得了其
收敛性和弱收敛性。以下约定正常数C与n无关,且在不同之处可以表示不同的值;
表示A的示性函数。
定义2:若随机变量阵列
的每一行,即
均是
混合序列,则称
为
混合阵列。
定义3 [6]:若对
,随机变量阵列
满足:
则称阵列
为r阶Cesàro一致可积的。
定义4 [7]:设
是实数阵列,
,若满足:(1)
;
(2)
,M为常数,则称
为
-Toeplitz矩阵。
引理1 [6]:设
是
混合零均值随机变量序列,
,则对
,存在仅依赖于
和q的正常数C,使
,有
。
引理2:设
,且
,若
,则有
证明:由洛必达法则,
2.
混合阵列加权和的Lr收敛性
定理1:设
混合阵列
是r阶Cesàro一致可积的(
),且
,
,
,
是
-Toeplitz矩阵,且
,则
。
证明:对任意固定的
,对每一
,
,令
则
,且对每一
,
和
均为
混合零均值随机变量序列。由引理1和
-不等式有
从而
。
由引理1、
-不等式及r阶Cesàro一致可积性,有
先令
,再令
,立即得
。
于是
推论1:设
混合阵列
是r阶Cesàro一致可积的(
),且
,
,
,则
。
证明:取
,
,
,则
,且
即
是
-Toeplitz矩阵。又
,所以定理1中的条件都满足,故有
推论2:设
是r阶Cesàro一致可积的
混合零均值随机变量序列,
,则
。
证明:在推论1中取
,
,再取
,
,由推论1立即知推论2成立。
3.
混合阵列加权和的弱收敛性
在弱于r阶Cesàro一致可积性的条件下,有下面的弱收敛性结果。
定理2:设
混合零均值随机变量阵列
和实数阵列
分别满足:
(1)
,
;
(2)
且
,
,
,
则
。
证明:不妨设
,
,
。对
截尾,令
和
则
。
,有
由Markov不等式、引理1及
-不等式,有
.
因为
,所以
。于是在引理2中,取
则由(1)知,
。再取
,由引理2的结论知,
对每一
成立,故
。
由Markov不等式及
-不等式,有
由(1),
,存在
,当
时,有
,因此
,
由
的任意性,知
,定理2得证。
推论3:设
为
混合零均值随机变量序列,
,若
则
。
证明:在定理2中,令
,
,取
,
,
,显然定理2中的(1)满足,又
且
故推论3得证。
注:经典的独立随机变量序列的概率极限理论中有以下弱大数定律:设随机变量序列
独立同分布,且
,
,则
。因此,上述推论3是独立情形的弱收敛性在
混合序列中的推广与改进。