Rⁿ上返回排斥子的Lipschitz结构稳定性

The Lipschitz Perturbations of Snapback Re-pellers in Rⁿ

摘要: 本文研究欧氏空间上返回排斥子的Lipschitz扰动。设f，g是欧氏空间Rⁿ上的连续自映射，如果f具有返回排斥子且g是f的Lipschitz小扰动，则g也有返回排斥子。因此欧氏空间Rn上的返回排斥子是Lipschitz结构稳定的。

Abstract: This note is concerned with the effect of small Lipschitz perturbations of a discrete dynamical sys-tem in Rn. Let f, g be continuous map from Rn into itself. If f has snap-back repellers and g is a small Lipschitz perturbations of f, then g has snap-back repellers. In addition, the snap-back repellers are Lipschitz structural stability in Rⁿ.

1. 引言

近年来，混沌的研究成为各个领域研究人员的关注的热点 [1] - [11]。数学上，动力系统的混沌有着多种不同的定义，常见的有Li-Yorke混沌 [12]、正熵系统 [13]、Devaney混沌 [8]、分布混沌 [14] 等。它们分别从问题的不同角度反映了系统的复杂性。

这也使得动力系统的混沌研究有着非常丰富的研究成果。因此研究动力系统复杂性的一个重要方向是探究各类混沌之间的关系及其结构稳定，例如：Devaney混沌蕴含Li-Yorke混沌 [9] 及 $\omega$ -混沌 [15]，正拓扑熵蕴含Li-Yorke混沌 [13] 及第2类分布混沌 [10]， $R^n$ 中返回排斥子的 $C^1$ 结构稳定性。

对于一个动力系统 $\left(X,f\right)$ 的某种性质P，如果在f的小扰动下仍具有这种性质，则称动力系统 $\left(X,f\right)$ 的性质P具有结构稳定性。由于实际应用中，系统的简化或测量误差会造成研究系统与实际系统有细小误差。因此，只有结构稳定性的系统性质才有实际意义。一个直接的问题就是：什么样的混沌系统在一个小扰动下还具有混沌性或者结构稳定性。

对于返回排斥子的扰动，Li等在 [16] 中应用隐函数定理研究了欧氏空间中返回排斥子的 $C^1$ 结构稳定性。陈等在 [3] 文中把这一结论推广到Banach空间上，证明了无穷维空间上返回排斥子的 $C^1$ 结构稳定性。2020年，陈等在 [5] [7] 中，研究了 $R^n$ 及Banach空间上异宿环的的 $C^1$ 结构稳定性。本文将考虑 $R^n$ 空间上连续条件下的返回排斥子的混沌性及其Lipschitz扰动下的稳定性。

2. 基本定义与引理

在这一节我们给出一些定义及相关引理。首先我们回顾 $R^n$ 空间上的扩张映射与可微映射的返回排斥子定义。

定义2.1 设f是从 $R^n$ 到自身的连续映射， $\Vert \cdot \Vert$ 为 $R^n$ 的某个范数。称f在领域 $U\left(x_0\right)$ 上是扩张的，如果存在常数 $\mu >1$ 使得对任意 $x,y\in U\left(x_0\right)$ 有 $\Vert f\left(x\right)-f\left(y\right)\Vert \ge \mu \Vert x-y\Vert$ ；f的不动点x称为扩张不动点，如果f在x的某个球形领域上是扩张的。

定义2.2 [17] 设 $f:R^n\to R^n$ 是连续可微映射。f的不动点 $x_0$ 称为返回排斥子，如果有

1) $Df\left(x_0\right)$ 的所有特征值的模大于1；

2) 设在 $x_0$ 的某个扩张邻域存在一个点 $z_0\ne x_0$，使得 $f^M\left(z_0\right)=x_0$ 且对每一个 $1\le k\le M$， $\left|Df\left(z_k\right)\right|\ne 0$，其中 $z_k=f^k\left(z_0\right)$。

注记1：条件 $Df\left(x_0\right)$ 的所有特征值的模大于1等价于存在 $R^n$ 的某种范数 $\Vert \cdot \Vert$，使得f在 $x_0$ 的某个球形邻域扩张。

下面是 $R^n$ 上连续映射的返回排斥子定义 [18] [19]。

定义2.3 设 $f:R^n\to R^n$ 是连续映射。f的不动点 $x_0$ 称为返回排斥子，如果有

1) 不动点 $x_0$ 是f的扩张不动点，也即存在常数 $\lambda >1$， $r>0$，使得对任意 $x,y\in {\bar{B}}_r\left(x_0\right)$ 有

$\Vert f\left(x\right)-f\left(y\right)\Vert \ge \mu \Vert x-y\Vert$ ；

2) f有一条连接 $x_0$ 的同宿轨 $\Gamma ={\left\{z\left(-n\right)\right\}}_{n\in N}$，也即对任意 $n\in N$ 且 $n>1$，有 $z\left(-1\right)\ne x_0$，

$f\left(z\left(-n\right)\right)=z\left(-n+1\right)$， $z\left(0\right)=x_0$， $\underset{n\to \infty }{\lim }z\left(-n\right)=x_0$ ；

3) f在同宿轨 $\Gamma ={\left\{z\left(-n\right)\right\}}_{n\in N}$ 上每一点是非退化的，也即对任意 $z_0\in \Gamma$，存在 $r_0>0,\mu >0$ 使

得对任意 $x,y\in {\bar{B}}_r\left(x_0\right)$ 有 $\Vert f\left(x\right)-f\left(y\right)\Vert \ge \mu \Vert x-y\Vert$。

其中 $x,y\in {\bar{B}}_r\left(x_0\right)$ 是 $x_0$ 的闭球领域。

引理2.1 设f是从 $R^n$ 到自身的连续映射。如果f有一个返回排斥子，则存在正整数 $n_0$ 与一个康托集 $\Lambda$ 使得 $\left(\Lambda ,f^{n_0}\right)$ 与符号动力系统 $\left({\Sigma }_2^{+},\sigma \right)$ 拓扑共轭。因此f具有Devaney混沌、分布混沌、正拓扑熵及 $\omega$ -混沌。

证明：设 $x_0$ 为f的返回排斥子，则存在常数 $r>0,\lambda >1$ 使得对任意 $x,y\in {\bar{B}}_r\left(x_0\right)$， $\Vert f\left(x\right)-f\left(y\right)\Vert \ge \lambda \Vert x-y\Vert$。设连接 $x_0$ 的同宿轨为 $\Gamma ={\left\{x_0\left(-n\right)\right\}}_{n\in N}$，也即对任意 $n\in N$ 且 $n>1$，有 $z\left(-1\right)\ne x_0$，

$f\left(z\left(-n\right)\right)=z\left(-n+1\right)$， $z\left(0\right)=x_0$， $\underset{n\to \infty }{\lim }z\left(-n\right)=x_0$。因此存在正整数m使得 $x_0\left(-m\right)\in {\bar{B}}_{r/2}\left(x_0\right)$。由已知同宿轨的非退化性及不动点的扩张性知，存在一致的 $r_0>0,\mu >0$，使得对任意 $z\in \Gamma$ 及任意 $x,y\in {\bar{B}}_{r_0}\left(z\right)$ 有 $\Vert f\left(x\right)-f\left(y\right)\Vert \ge \mu \Vert x-y\Vert$。由同宿轨的正则性，存在 $0<\hat{\delta }<\frac{1}{3}\Vert x_0-x_0\left(-m\right)\Vert$ 使得 $f^m$ 在

${\bar{B}}_{\hat{\delta }}\left(x_0\left(-m\right)\right)\subset {\bar{B}}_{r/2}\left(x_0\right)$ 上是同胚及 $x,y\in {\bar{B}}_{\hat{\delta }}\left(x_0\left(-m\right)\right)$， $\Vert f^m\left(x\right)-f^m\left(y\right)\Vert \ge {\mu }^m\Vert x-y\Vert$。由 $f^m\left(x_0\left(-m\right)\right)=x_0$，可设 ${\bar{B}}_{\delta }\left(x_0\right)\subset {\bar{B}}_{r/2}\left(x_0\right)$ 满足

${\bar{B}}_{\delta }\left(x_0\right)\cap {\bar{B}}_{\hat{\delta }}\left(x_0\left(-m\right)\right)=\varphi$， ${\left({f|}_{{\bar{B}}_{\hat{\delta }}\left(x_0\left(-m\right)\right)}\right)}^{-m}\left({\bar{B}}_{\delta }\left(x_0\right)\right)\subset {\bar{B}}_{\hat{\delta }}\left(x_0\left(-m\right)\right)$，

这里 ${\left({f|}_{{\bar{B}}_{\hat{\delta }}\left(x_0\left(-m\right)\right)}\right)}^{-m}$ 表示 $f^m$ 限制在 ${\bar{B}}_{\hat{\delta }}\left(x_0\left(-m\right)\right)$ 上的逆。

下证存在非空不交的有界闭集 $V_0,V_1$，对某个 $f^n$ 满足引理2.1。因为f在 ${\bar{B}}_r\left(x_0\right)$ 上扩张，所以存在正整数 $n_1>m$ 使得 ${\left({f|}_{{\bar{B}}_r\left(x_0\right)}\right)}^{-n}\left({\bar{B}}_{r/2}\left(x_0\right)\right)\subset {\bar{B}}_{\delta }\left(x_0\right)$。设正整数 $n_0>n_1+m$ 使得 ${\lambda }^{n_0-m}{\mu }^m>1$，令

$V_0={\left({f|}_{{\bar{B}}_r\left(x_0\right)}\right)}^{-n_0}\left({\bar{B}}_{r/2}\left(x_0\right)\right)$， $V_1={\left({f|}_{{\bar{B}}_r\left(x_0\right)}\right)}^{-\left(n_0-n_1-m\right)}{\left({f|}_{{\bar{B}}_{\delta }\left(x_0\left(-m\right)\right)}\right)}^{-m}\left({\bar{B}}_{\delta }\left(x_0\right)\right)$，

则 $V_0,V_1$ 满足引理2.1。因为

${\left({f|}_{{\bar{B}}_r\left(x_0\right)}\right)}^{n_0-n_1-m}\left(V_0\right)={\left({f|}_{{\bar{B}}_r\left(x_0\right)}\right)}^{-n_1-m}\left({\bar{B}}_{r/2}\left(x_0\right)\right)\subset {\bar{B}}_{\delta }\left(x_0\right)$，

${\left({f|}_{{\bar{B}}_r\left(x_0\right)}\right)}^{n_0-n_1-m}\left(V_1\right)={\left({f|}_{{\bar{B}}_{\delta }\left(x_0\left(-m\right)\right)}\right)}^{-m}\left({\bar{B}}_{\delta }\left(x_0\right)\right)\subset {\bar{B}}_{\hat{\delta }}\left(x_0\left(-m\right)\right)$，

所以

${\left({f|}_{{\bar{B}}_r\left(x_0\right)}\right)}^{n_0-n_1-m}\left(V_0\cap V_1\right)={\left({f|}_{{\bar{B}}_r\left(x_0\right)}\right)}^{n_0-n_1-m}\left(V_0\right)\cap {\left({f|}_{{\bar{B}}_r\left(x_0\right)}\right)}^{n_0-n_1-m}\left(V_1\right)\subset {\bar{B}}_{\delta }\left(x_0\right)\cap {\bar{B}}_{\hat{\delta }}\left(x_0\left(-m\right)\right)=\varphi$

即 $V_0\cap V_1=\varphi$。根据 $V_0,V_1$ 的定义知， ${\left({f|}_{{\bar{B}}_r\left(x_0\right)}\right)}^{-n_0}\left(V_0\right)={\bar{B}}_{r/2}\left(x_0\right)\supset V_0\cup V_1$，

${\left({f|}_{{\bar{B}}_r\left(x_0\right)}\right)}^{n_0}\left(V_1\right)\supset {\left({f|}_{{\bar{B}}_r\left(x_0\right)}\right)}^{n_1}\left({\bar{B}}_{\delta }\left(x_0\right)\right)\supset {\bar{B}}_{r/2}\left(x_0\right)\supset V_0\cup V_1$。进一步，我们还有

$\Vert f^{n_0}\left(x\right)-f^{n_0}\left(y\right)\Vert \ge {\lambda }^{n_0}\Vert x-y\Vert ,\forall x,y\in V_0或\forall x,y\in V_1$。 (1)

因此 $f^{n_0}$ 有2阶转移不变集 [20]，故 $f^{n_0}$ 与2个符号的符号转移映射 $\sigma$ 拓扑共轭，定理成立。

3. 主要定理及其证明

在这一小节中，我们将讨论欧氏空间中返回排斥子在Lipschitz小扰动下的结构稳定性。

定理3.1. 设 $f,g$ 是 $R^n$ 到自身的连续映射。如果f有返回排斥子且g是f的Lipschitz小扰动，那么g也有返回排斥子。因此g具有Devaney 混沌、分布混沌、正拓扑熵及 $\omega$ -混沌。

证明：设 $x_0$ 是f的返回排斥子，连接 $x_0$ 的同宿轨为 $\Gamma ={\left\{x_0\left(-n\right)\right\}}_{n\in N}$。

设 $g=f+\phi$， $\phi$ 是 $R^n$ 上的 Lipschitz映射，由定义2。2的第(1)条，存在 $x_0$ 的闭球领域 ${\bar{B}}_{r_0}\left(x_0\right)$ 及 $\lambda >1$，使得对任意 $x,y\in {\bar{B}}_{r_0}\left(x_0\right)$ 有

$\Vert g\left(x\right)-g\left(y\right)\Vert \ge \Vert f\left(x\right)-f\left(y\right)\Vert -\Vert \phi \left(x\right)-\phi \left(y\right)\Vert \ge \left(\lambda -Lip\left(\phi \right)\right)\Vert x-y\Vert$， (2)

由定义2.2的第(3)条知，对任意 $z\in \Gamma$， $r>0,\mu >0$，存在一致常数使得对任意 $x,y\in {\bar{B}}_r\left(z\right)$ 有 $\Vert f\left(x\right)-f\left(y\right)\Vert \ge \mu \Vert x-y\Vert$。因此对任意 $x,y\in {\bar{B}}_r\left(z\right)$ 有

$\Vert g\left(x\right)-g\left(y\right)\Vert \ge \Vert f\left(x\right)-f\left(y\right)\Vert -\Vert \phi \left(x\right)-\phi \left(y\right)\Vert \ge \left(\mu -Lip\left(\phi \right)\right)\Vert x-y\Vert$， (3)

因为g是f的Lipschitz小扰动，假设，其中是的Lipschitz常数，则g在上是扩张的，g在上每一点z是非退化的，g在上是同胚。

由定2。2的第(2)条知，存在正整数m，使得有。不是一般性，设

在上满足(3)式。因为f在上连续，所以f在上一致连

续。因此对任意，存在，使得当时，有

。

对任意，存在，使得当，有。递推地，对任意与，存在，使得当有

。

设，那么

因此。设。对在上应用压缩映像定理，则知存在的不动点，也即是g的不动点。因为且 $g^m$ 在上是同胚，所以存在使得。另一方面g在上是扩张的，因此逆向轨收敛于不动点。故g有返回排斥子。由引理2.1知，g具有Devane混沌、分布混沌、正拓扑熵及-混沌。

4. 总结

本文研究了欧氏空间上返回排斥子的Lipschitz结构稳定性，获得具有返回排斥子的系统在Lipschitz的小扰动下能够保持，对连续映射的结构稳定性给出理论证明，减弱已有文献的定理条件，对研究一些相对复杂系统可以通过近似处理，获得具有相同性质的简单系统进行研究。比如：是关于的单参数连续映射族。如果有返回排斥子，则对足够接近0的，那么也有返回排斥子，因此具有Devane混沌、分布混沌、正拓扑熵及-混沌。

基金项目

本文受广东省普通高校自然科学重点项目(2019KZDXM036)资助。

NOTES

^*通讯作者。