整系数多项式与纽结多项式

Knot Polynomials and Integral Coefficient Polynomials

摘要: 本文主要研究了整系数多项式和纽结Jones多项式的相关性质和二者之间的关系。研究宽度为7的多项式是某纽结Jones多项式的条件。先后介绍了宽度为5的多项式和宽度为6的多项式是某纽结Jones多项式的充分必要条件，在此基础上引出了宽度为7的多项式是某纽结Jones多项式的必要条件的研究。讨论了十二次整系数多项式与Jones多项式的一些关系。若一个Laurent多项式是一个次数为12，宽度为8的整系数多项式，给出了它是Jones多项式的必要条件。

Abstract: In this paper, we studied the properties of integral coefficient polynomial and knot polynomial, and the relationship between them. The paper mainly studied conditions that the polynomial with breadth 7 is the Jones polynomial of a knot; introduced sufficient and necessary condition that an integral coefficient polynomial with breadth 5 or 6 is the Jones polynomial of a knot. Next, we stud-ied necessary condition that polynomial with width 7 is the Jones polynomial of a knot; discussed some relations between integral coefficients polynomials of degree 12 and the Jones polynomial. If a polynomial is an integral coefficient polynomial of degree 12 and width 8, we can find the necessary conditions for it to be a polynomial.

1. 引言

二十世纪二十年代末，J. Alexander [1] 给出了第一个纽结多项式，该多项式不变量也很好地区分了纽结和链环，具有很深刻清晰的拓扑意义。此后数学家们在接下来的很长一段时间里用亚历山大多项式研究了纽结的分类性质。1969年，约翰·康威 [2] 通过研究Alexander多项式，给出了该多项式的递推公式，简化了计算过程。后来，琼斯 [3] 给出了一个新型的纽结多项式，不仅计算非常简单，在某些方面是一个比Alexander多项式的鉴别能力强的不变量。琼斯多项式的发现促进了纽结理论的发展。由于整系数多项式与纽结多项式有着非常密切的关系，因此研究二者之间内在联系就成了热点问题。人们已经知道了一个整系数多项式是纽结Alexander多项式的充要条件。纽结的Jones多项式出现以后，很多专家学者开始研究整系数多项式与纽结Jones多项式内在联系。

本文包括两部分，第一部分介绍由纽结多项式和整系数多项式的相关预备知识、Jones多项式性质等。第二部分给出了整系数多项式与纽结Jones多项式的性质。

2. 预备知识

本章节介绍与该论文有关的预备知识。其中包括纽结的定义、Alexander多项式的性质、Jones多项式的性质。

定义1.1 把嵌入到欧式空间 $R^3$ 或者三维球面 $S^3$ 中的圆周 $S^1$ 称为纽结。若给纽结规定一个方向，则得到有向纽结。由有限条互不相交的简单闭曲线构成的图形，称为链环。组成链环的每一条简单闭曲线称为该链环的一个分支，如果给链环的每一个分支规定一个方向。则称该链环为有向链环。

引理1.1 [4] 对任意一个有向环链投影图L均对应一个整系数多项式 $V\left(L\right)$，并满足：

1) 同痕不变性

假若有向投影图L与 $L^{\prime }$ 相互同痕，则它们所对应的多项式是相等的。也就是 $V\left(L\right)=V\left(L^{\prime }\right)$。

2) 拆接关系式

则 $t^{-1}V\left(L_{+};t\right)-tV\left(L_{-};t\right)=\left(t^{\frac{1}{2}}-t^{{}^{-\frac{1}{2}}}\right)V\left(L_0;t\right)$。

其中 $L_{+},L_{-},L_0$ 是三个投影图只有在这一个交叉点处不同，其它都是相同的。

3) 若O是平凡的，则有 $V\left(O;t\right)=1$。

$V\left(L\right)$ 称为环链L的Jones多项式。

引理1.2 [5] [6] 若L为一个具有n个分支的定向链环，则有：

1) $V\left(L;1\right)={\left(-2\right)}^{n-1}$ ；

2) 当 $n=1$ 时， $V^{\prime }\left(L;1\right)=0$ ；

3) $V\left(L,{\text{e}}^{\frac{2\pi i}{3}}\right)={\left(-1\right)}^{n-1}$ ；

4) 若 $\text{Arf}\left(L\right)$ 存在，那么 $\left(V;i\right)={\left(-\sqrt{2}\right)}^{n-1}{\left(-1\right)}^{\text{Arf}\left(L\right)}$。否则 $V\left(L;i\right)=0$ ；

5) $V\left(L;{\text{e}}^{\frac{\pi i}{3}}\right)=\pm {\left(i\sqrt{3}\right)}^{\text{Dim}{H}_1\left(D_L,Z_3\right)}$。

3. 整系数多项式与Jones多项式性质

首先，研究宽度为7的多项式是某纽结Jones多项式的条件。首先介绍了宽度为5的多项式是某纽结Jones多项式的充分必要条件，其次介绍了宽度为6的多项式是某纽结Jones多项式的充分必要条件，最后研究了宽度为7的多项式是某纽结Jones多项式的必要条件。总是假设纽结的Arf不变量存在，而且 $\text{Dim}{H}_1\left(D_L,Z_3\right)\cancel{\equiv }0\mathrm{mod}2$。

引理2.1 [3] 多项式 $f\left(t\right)=a_6{t}^6+a_5{t}^5+a_4{t}^4+a_3{t}^3+a_2{t}^2+a_{1}t$ ( $a_i\in Z$, $i=1,2,\cdots ,6$, $a_6\ne 0$ )是某纽结多项式的充分必要条件 $a_6=-1,a_5=1,a_4=-1,a_3=2,a_2=-1,a_1=1$。

引理2.2 [3] 多项式 $f\left(t\right)=a_4{t}^4+a_3{t}^3+a_2{t}^2+a_{1}t+a_0+a_{-1}{t}^{-1}+a_{-2}{t}^{-2}$ ( $a_i\in Z$, $i=-2,-1,\cdots ,4$, $a_{-2},a_4\ne 0$ )是某纽结多项式的充分必要条件 $a_4=1,a_3=-1,a_2=1,a_1=-2,a_0=2,a_{-1}=-1,a_{-2}=1$。

以上分别是宽度为5，6的多项式是某纽结Jones多项式的充分必要条件，下面本文研究宽度为7的多项式是某纽结Jones多项式的条件。

定理2.1 设多项式 $f\left(t\right)=a_{10}{t}^{10}+a_9{t}^9+a_8{t}^8+a_7{t}^7+a_6{t}^6+a_5{t}^5+a_4{t}^4+a_3{t}^3$ ( $a_i\in Z$, $i=3,4,\cdots ,10$, $a_3,a_{10}\ne 0$ )，则 $f\left(t\right)$ 是某纽结的Jones多项式的必要条件是

$\begin{array}{l}{a}_{10}=-2a_3,a_9=3a_3-1,a_8=-3a_3+1,a_7=5a_3-2\\ a_6=-4a_3+2,a_5=3a_3-1,a_4=-3a_3+2.\end{array}$

或者

$a_{10}=a_3-3,a_9=-3a_3+7,a_8=-3,a_7=-2a_3=5,a_6=-1,a_5=3.$

证明：由引理1.1和引理1.2，若

$f\left(t\right)=a_{10}{t}^{10}+a_9{t}^9+a_8{t}^8+a_7{t}^7+a_6{t}^6+a_5{t}^5+a_4{t}^4+a_3{t}^3$

( $a_i\in Z$, $i=3,4,\cdots ,10$, $a_3,a_{10}\ne 0$ )是某纽结的Jones多项式，则

$f\left(1\right)=a_{10}+a_9+a_8+a_7+a_6+a_5+a_4+a_3=1$

$f^{\prime }\left(1\right)=10a_{10}+9a_9+8a_8+7a_7+6a_6+5a_5+4a_4+3a_3=0$

$\begin{array}{c}f\left({\text{e}}^{\frac{2}{3}\pi i}\right)=a_{10}{\left({\text{e}}^{\frac{2}{3}\pi i}\right)}^{10}+a_9{\left({\text{e}}^{\frac{2}{3}\pi i}\right)}^9+\cdots +a_3{\left({\text{e}}^{\frac{2}{3}\pi i}\right)}^3\\ =\left(-\frac{1}{2}{a}_{10}+a_9-\frac{1}{2}{a}_8-\frac{1}{2}{a}_7+a_6-\frac{1}{2}{a}_5-\frac{1}{2}{a}_4+a_3\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}i\left(a_{10}-a_8+a_7-a_5+a_4\right)\end{array}$

$f\left(i\right)=a_{10}{i}^{10}+a_9{i}^9+\cdots +a_3{i}^3=\left(-a_{10}+a_8-a_6+a_4\right)+i\left(a_9-a_7+a_5-a_3\right)=\pm 1$

1) 考虑 $f\left(i\right)=1$ 的情况( $\text{Arf}\left(L\right)=0$ )。

可以得到以下方程组：

$\{\begin{array}{l}{a}_{10}+a_9+a_8+a_7+a_6+a_5+a_4+a_3=1\\ 10a_{10}+9a_9+8a_8+7a_7+6a_6+5a_5+4a_4+3a_3=0\\ -a_{10}+2a_9-a_8-a_7+2a_6-a_5-a_4+2a_3=2\\ a_{10}-a_8+a_7-a_5+a_4=0\\ -a_{10}+a_8-a_6+a_4=1\\ a_9-a_7+a_5-a_3=0\end{array}$

化为增广矩阵后变换得到：

$\left[\begin{array}{ccccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 10& 9& 8& 7& 6& 5& 4& 3& 0\\ -1& 2& -1& -1& 2& -1& -1& 2& 1\\ 1& 0& -1& 1& 0& -1& 1& 0& 0\\ -1& 0& 1& 0& -1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& -1& 0& 1& 0& -1& 0\end{array}\right]$ $\stackrel{化简}{\to }$

$\left[\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& -1& -1& -2\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& -1& 0& -1\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 2& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 1\end{array}\right]$

将矩阵知识应用于上述非齐次方程，可以计算出各未知数系数之间的关系：

$\begin{array}{l}{a}_{10}=a_4+a_3-2,a_9=-a_4+1,a_8=a_4-1\\ a_7=-2a_4-a_3+2,a_6=a_4,a_5=-a_4+1.\end{array}$

由引理1.2知：

$\begin{array}{c}f\left({\text{e}}^{\frac{\pi i}{3}}\right)=a_{10}{\left({\text{e}}^{\frac{\pi i}{3}}\right)}^{10}+a_9{\left({\text{e}}^{\frac{\pi i}{3}}\right)}^9+\cdots +a_3{\left({\text{e}}^{\frac{\pi i}{3}}\right)}^3\\ =\left(-\frac{1}{2}{a}_{10}-a_9-\frac{1}{2}{a}_8+\frac{1}{2}{a}_7+a_6+\frac{1}{2}{a}_5-\frac{1}{2}{a}_4-a_3\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}i\left(-a_{10}+a_8+a_7-a_5-a_4\right)\\ =\left(-a_4-3a_3+2\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}i\left(-2a_3+2\right)\end{array}$

由 $\text{Dim}{H}_1\left(D_L,Z_3\right)\cancel{\equiv }0\mathrm{mod}2$，则有 $-a_4-3a_3+2=0$，所以有 $a_4=-3a_3+2$，即

2) 考虑 $f\left(i\right)=-1$ 的情况( $\text{Arf}\left(L\right)=1$ )。

可以得到以下方程组：

$\{\begin{array}{l}{a}_{10}+a_9+a_8+a_7+a_6+a_5+a_4+a_3=1\\ 10a_{10}+9a_9+8a_8+7a_7+6a_6+5a_5+4a_4+3a_3=0\\ -a_{10}+2a_9-a_8-a_7+2a_6-a_5-a_4+2a_3=2\\ a_{10}-a_8+a_7-a_5+a_4=0\\ -a_{10}+a_8-a_6+a_4=-1\\ a_9-a_7+a_5-a_3=0\end{array}$

将矩阵知识应用于上述非齐次方程，可以计算出各未知数系数之间的关系：

$\begin{array}{l}{a}_{10}=a_4+1,a_9=-3a_4+1,a_8=a_4-a_3-1\\ a_7=-2a_4+1,a_6=a_4-a_3+1,a_5=-a_4+a_3+1.\end{array}$

由引理1.2知：

$\begin{array}{c}f\left({\text{e}}^{\frac{\pi i}{3}}\right)=a_{10}{\left({\text{e}}^{\frac{\pi i}{3}}\right)}^{10}+a_9{\left({\text{e}}^{\frac{\pi i}{3}}\right)}^9+\cdots +a_3{\left({\text{e}}^{\frac{\pi i}{3}}\right)}^3\\ =\left(-\frac{1}{2}{a}_{10}-a_9-\frac{1}{2}{a}_8+\frac{1}{2}{a}_7+a_6+\frac{1}{2}{a}_5-\frac{1}{2}{a}_4-a_3\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}i\left(-a_{10}+a_8+a_7-a_5-a_4\right)\\ =\left(a_4-a_3+2\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}i\left(-2a_4-2a_3\right)\end{array}$

由 $\text{Dim}{H}_1\left(D_L,Z_3\right)\cancel{\equiv }0\mathrm{mod}2$，则 $a_4-a_3+2=0$。即 $a_4=a_3-2$，

$a_{10}=a_3-3,a_9=-3a_3+7,a_8=-3,a_7=-2a_3+5,a_6=-1,a_5=3.$

从而定理得证。

注：当 $f\left(i\right)=1,\text{Dim}{H}_1\left(D_L,Z_3\right)\equiv 0\mathrm{mod}2$ 时，可得 $a_3=1$，取 $a_4=0$，则纽结7₃ (图1) Jones多项式符合定理要求。

Figure 1. Kont 7₃

图1. 纽结7₃

推论2.1设多项式 $f\left(t\right)=a_{10}{t}^{10}+a_9{t}^9+a_8{t}^8+a_7{t}^7+a_6{t}^6+a_5{t}^5+t^3$ ( $a_i\in Z$, $i=3,4,\cdots ,10$, $a_3,a_{10}\ne 0$ )，则 $f\left(t\right)$ 是某纽结的Jones多项式的充分必要条件是 $a_{10}=-1,a_9=1,a_8=-1,a_7=1,a_6=-1,a_5=1$。

推论2.2 $\text{Arf}\left(7_3\right)=0$。

下面讨论十二次整系数多项式与Jones多项式的一些关系。讨论若一个Laurent多项式是一个次数为12，宽度为8的整系数多项式，则给出它是Jones多项式的必要条件。

定理2.2 若 $f\left(t\right)=a_{12}{t}^{12}+a_{11}{t}^{11}+a_{10}{t}^{10}+a_9{t}^9+a_8{t}^8+a_7{t}^7+a_6{t}^6+a_5{t}^5+a_4{t}^4$ ( $a_{12}\ne 0$, $a_i\in Z$, $i=4,5,\cdots ,12$ )是某纽结的Jones多项式，则系数满足下列条件之一：

1) $\begin{array}{l}{a}_{12}=-\frac{1}{2}{a}_5-\frac{1}{2},a_{11}=\frac{3}{2}{a}_5+a_4-\frac{1}{2},a_{10}=-\frac{3}{2}{a}_5-\frac{3}{2},\\ a_9=2a_5-3a_3+1,a_8=-\frac{5}{2}{a}_5-a_4+\frac{1}{2},a_7=\frac{3}{2}{a}_5-a_4+\frac{3}{2}\end{array}$

2) $\begin{array}{l}{a}_{12}=-\frac{1}{2}{a}_5-1,a_{11}=\frac{3}{2}{a}_5+a_4,a_{10}=-\frac{3}{2}{a}_5-1\\ a_9=3a_5+1,a_8=-\frac{5}{2}{a}_5-a_4,a_7=\frac{3}{2}{a}_5-a_4+1\end{array}$

证明：若 $f\left(t\right)=a_{12}{t}^{12}+a_{11}{t}^{11}+a_{10}{t}^{10}+a_9{t}^9+a_8{t}^8+a_7{t}^7+a_6{t}^6+a_5{t}^5+a_4{t}^4$ ( $a_{12}\ne 0$, $a_i\in Z$, $i=4,5,\cdots ,12$ )为某纽结的Jones多项式，则

$f\left(1\right)=a_{12}+a_{11}+a_{10}+a_9+a_8+a_7+a_6+a_5+a_4=1$

$f^{\prime }\left(1\right)=12a_{12}+11a_{11}+10a_{10}+9a_9+8a_8+7a_7+6a_6+5a_5+4a_4=0$

$\begin{array}{c}f\left({\text{e}}^{\frac{2}{3}\pi i}\right)=\left(a_{12}-\frac{1}{2}{a}_{11}-\frac{1}{2}{a}_{10}+a_9-\frac{1}{2}{a}_8-\frac{1}{2}{a}_7+a_6-\frac{1}{2}{a}_5-\frac{1}{2}{a}_4\right)\\ +\frac{\sqrt{3}}{2}i\left(-a_{11}+a_{10}-a_8+a_7-a_5+a_4\right)\\ =1\end{array}$

$f\left(i\right)=\left(a_{12}-a_{10}+a_8-a_6+a_4\right)+i\left(-a_{11}+a_9-a_7+a_5\right)=\pm 1$

1) 考虑 $f\left(i\right)=1$ 的情况

可以得到以下方程组：

$\{\begin{array}{l}{a}_{12}+a_{11}+a_{10}+a_9+a_8+a_7+a_6+a_5+a_4=1\\ 12a_{12}+11a_{11}+10a_{10}+9a_9+8a_8+7a_7+6a_6+5a_5+4a_4=0\\ 2a_{12}-a_{11}-a_{10}+2a_9-a_8-a_7+2a_6-a_5-a_4=2\\ -a_{11}+a_{10}-a_8+a_7-a_5+a_4=0\\ a_{12}-a_{10}+a_8-a_6+a_4=1\\ -a_{11}+a_9-a_7+a_5=0\end{array}$

解方程组得：

$\begin{array}{l}{a}_{12}=a_6+a_5-1,a_{11}=-a_6+a_4,a_{10}=a_6-2\\ a_9=-2a_6-a_5+2,a_8=a_6-a_5-a_4,a_7=-a_6-a_4+2\end{array}$

由引理1.2知：

$\begin{array}{c}f\left({\text{e}}^{\frac{\pi i}{3}}\right)=a_{12}{\left({\text{e}}^{\frac{\pi i}{3}}\right)}^{12}+a_{11}{\left({\text{e}}^{\frac{\pi i}{3}}\right)}^{11}+\cdots +a_4{\left({\text{e}}^{\frac{\pi i}{3}}\right)}^4\\ =\left(a_{12}+\frac{1}{2}{a}_{11}-\frac{1}{2}{a}_{10}-a_9-\frac{1}{2}{a}_8+\frac{1}{2}{a}_7+a_6+\frac{1}{2}{a}_5-\frac{1}{2}{a}_4\right)\\ +\frac{\sqrt{3}}{2}i\left(-a_{11}-a_{10}+a_8+a_7-a_5-a_4+a_2+a_1\right)\\ =\left(2a_6+3a_5-1\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}i\left(-2a_5-4a_4+4\right)\end{array}$

从而有 $2a_6+3a_5-1=0$，即 $a_6=-\frac{3}{2}{a}_5+\frac{1}{2}$，所以有

$\begin{array}{l}{a}_{12}=-\frac{1}{2}{a}_5-\frac{1}{2},a_{11}=\frac{3}{2}{a}_5+a_4-\frac{1}{2},a_{10}=-\frac{3}{2}{a}_5-\frac{3}{2}\\ a_9=2a_5-3a_3+1,a_8=-\frac{5}{2}{a}_5-a_4+\frac{1}{2},a_7=\frac{3}{2}{a}_5-a_4+\frac{3}{2}\end{array}$

2) 考虑 $f\left(i\right)=-1$ 的情况

可以得到以下方程组：

$\{\begin{array}{l}{a}_{12}+a_{11}+a_{10}+a_9+a_8+a_7+a_6+a_5+a_4=1\\ 12a_{12}+11a_{11}+10a_{10}+9a_9+8a_8+7a_7+6a_6+5a_5+4a_4=0\\ 2a_{12}-a_{11}-a_{10}+2a_9-a_8-a_7+2a_6-a_5-a_4=2\\ -a_{11}+a_{10}-a_8+a_7-a_5+a_4=0\\ a_{12}-a_{10}+a_8-a_6+a_4=-1\\ -a_{11}+a_9-a_7+a_5=0\end{array}$

可得解为：

$\begin{array}{l}{a}_{12}=a_6+a_5-2,a_{11}=-a_6+a_4+1,a_{10}=a_6-2\\ a_9=-2a_6-a_5+3,a_8=a_6-a_5-a_4-1,a_7=-a_6-a_4+2\end{array}$

由引理1.2知：

$\begin{array}{c}f\left({\text{e}}^{\frac{\pi i}{3}}\right)=a_{12}{\left({\text{e}}^{\frac{\pi i}{3}}\right)}^{12}+a_{11}{\left({\text{e}}^{\frac{\pi i}{3}}\right)}^{11}+\cdots \cdots +a_4{\left({\text{e}}^{\frac{\pi i}{3}}\right)}^4\\ =\left(a_{12}+\frac{1}{2}{a}_{11}-\frac{1}{2}{a}_{10}-a_9-\frac{1}{2}{a}_8+\frac{1}{2}{a}_7+a_6+\frac{1}{2}{a}_5-\frac{1}{2}{a}_4\right)\\ +\frac{\sqrt{3}}{2}i\left(-a_{11}-a_{10}+a_8+a_7-a_5-a_4+a_2+a_1\right)\\ =\left(2a_6+3a_5-2\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}i\left(-2a_5-4a_4+4\right)\end{array}$

从而有 $2a_6+3a_5-2=0$，即 $a_6=-\frac{3}{2}{a}_5+1$，所以有

$\begin{array}{l}{a}_{12}=-\frac{1}{2}{a}_5-1,a_{11}=\frac{3}{2}{a}_5+a_4,a_{10}=-\frac{3}{2}{a}_5-1\\ a_9=3a_5+1,a_8=-\frac{5}{2}{a}_5-a_4,a_7=\frac{3}{2}{a}_5-a_4+1\end{array}$

综上，定理证毕。

注：由于整系数多项式与纽结多项式的内在联系，所以研究它们的关系一直是纽结理论的热点课题。本文研究了次数是十次和十二次且它们的宽度分别是7和8的整系数多项式性质，给出这些多项式是某纽结Jones多项式的必要条件，进而可以研究某些纽结的Arf不变量性质。随着对纽结多项式性质的深入研究可能会得到更好的判别方法。

基金项目

受国家自然科学基金(No. 11471151，No. 12026411)，辽宁省教育厅(No. LJ2019004)的资助。

NOTES

^*通讯作者。