1. 引言
完备极小曲面 [1] 理论是微分几何中一个非常重要的研究课题。Xavier and L. P. M. Jorge在文献 [2] 中证明了存在完备极小曲面包含在
的两个平行平面之间,但他们并没有给出如何构建实例的线索。而后在1992年,Brito在文献 [3] 中解决了这个问题,他巧妙地借助了Hadamard缺项幂级数构建了一族位于
中两平行平面间的完备极小曲面,并给出了具体实例。但我们会发现其定理的其中一个条件要求过强,条件如下所示:
(1)
(1)式限制了
的可取范围,这就造成了定理的局限性。2022年,张建肖 [4] 对此不足之处作出了改进,首先对
的后一项与前一项的比值作出了限定,而后扩大了Brito定理的条件(2)的范围,并在证明过程中做出了改变,条件如下所示:
(2)
其中,
,
。
我们会发现(2)式的要求较强,较难满足,因此,本文在(2)式的基础上对其条件作出了进一步的改进,放大了
的范围,如下所示:
(3)
其中,
,
。相比于(2)式,(3)式的条件范围更大,更容易满足。
2. 相关定义
定义1.1 [3] 给定一个收敛半径为1的幂级数,
若满足
,对于
成立,则称
为Hadamard缺项的。
定义1.2 [5] 设
是
中的一条曲线,其中s是曲线的弧长参数,令
是曲线C的单位切向量场,用
来表示向量
与
之间的夹角,如果极限
存在,则称其为曲线C在
点处的曲率。
定义1.3 [5] 称浸入子流形
为极小的,如果其平均曲率
。
定义1.4 [6] 如有一条逐段可微的曲线
,使得对任意紧集
,存在
,当
时,有
,则称
为M上的发散曲线。
定义1.5 [2] 对于
内任意一条分段光滑发散曲线
,在曲面S上对应的曲线
,
的长度是无限的,我们称曲面S是完备的。由定义1.2得,设
是以
为等温参数的定义在开平面
上的极小曲面,若对
中任意一条发散曲线
,均有
,则称极小曲面是完备的。
3. 相关定理
定理3.1若
是一个Hadamard缺项幂级数且满足下列条件:
1)
收敛;
2)
;
3)
发散;
则对于
内的任意发散曲线
有
.
由于定理3.1的条件(2)对于
的要求过强,这在一定程度上限制了
的可取范围,所以张建肖对此作出了改进,如下定理3.2。
定理3.2设
是一个Hadamard缺项幂级数,其中,
,
,且满足下列条件:
1)
,
;
2) 对于充分大的
,满足
且
,其中,
且
;
3)
发散;
则对于单位圆盘D内的任意发散曲线
有
我们发现,虽然定理3.2在一定程度上减弱了条件(2),但仍有不足之处,其中Ck的放缩方式有待进一步提高,因此定理3.3对这一点作出了进一步优化。
定理3.3若
是一个Hadamard缺项级数,其中
,
,
,记
为
,并且
满足下列条件:
1)
;
2) 对任意充分大的
,满足
;
3)
发散;
则对于单位圆盘
内的任意发散曲线
,有
.
4. 定理3.3的证明
对于任意的
,令
,
则每一个圆环的宽度均为
。
设
是一个Hadamard缺项幂级数,则有
(4)
对任意固定的k,不妨记
,
,
。
由(4)式有,
。 (5)
现假设k充分大,且当
时,有
,
又因为
,
所以存在
,当
时有下式成立,
. (6)
另一方面,由定理3的条件(5)可得,存在
,
,使得
(7)
最后当
时,有下式成立
(8)
即有
结合条件(1)中的
,有
而根据Cauchy-Schwarz不等式 [7] ,有
(9)
又因为函数
在
时为单调递减函数,故对于
有
根据上式,有
.
故有
,
其中
.
因此
.
所以
.
又根据条件(2)的
,则对于任意
有
(10)
由(5)、(6)、(7)和(8)得,存在
,
使得
,
取
内的发散曲线
,那么对于任意的
,
必定穿过
,结合条件(3)得
5. 例子说明
设
,其中
,
,则
。显然该例子不满足定理3.1的条件(2)。又由于
,故
不成立,所以该例子也不满足定理3.2的条件(2)。
令
,则
,其中
,故
。又由于
,所以
。故该例子对于本文条件均满足。
6. 推论
设
是由在单位圆盘D内的解析的函数构成的集合。
推论5.1存在
,使得
是
中完备极小曲面M的Gauss映射 [8] ,其中M位于
中的两个平行平面之间。
证明:令M为
中的极小曲面,我们通过选取特定的weierstrass [9] 表示对:取
,
,则只要h满足定理3的条件(1),便有
成立。由于
,由定理3的结论
,因而空间中的任何柯西序列都收敛于该空间之中,即该度量所属空间为完备度量空间,所以
是
中一个完备极小曲面M的Gauss映射。
又由于
,所以M位于
中的两个平行平面之间。
注5.1:证明过程与Brito的推论1相同。
注5.2:完备度量空间定义详见文献 [3] 。
注5.3:关于幂级数的更多知识可参考文献 [10]
致谢
首先感谢我的导师对于我的帮助,他在我不知道该如何优化定理证明过程的时候告诉我不要放弃,并为我提供了解决问题的方向。其次,我要感谢我的同学胡同学,他一直在帮助我思考解决问题的方法,并为我提供了众多的文献,让我学习,在此由衷地感谢他们。