分数阶时滞的BAM神经网络的有限时间稳定性

Finite-Time Stability of Fractional-Order BAM Neural Networks with Time Delays

摘要: 本文主要研究分数阶时滞双向联想记忆神经网络的有限时间稳定性。基于具有时滞的分数阶Gronwall不等式，得到了一个保证分数阶时滞双向联想记忆神经网络有限时间稳定的充分条件，降低了已有准则的保守性，并通过两个数值例子验证了主要结果的有效性和可行性。

Abstract: The finite-time stability of time-delayed fractional order bidirectional associative memory neural networks is studied in this paper. Based on the fractional Gronwall inequality with time delay, a suf-ficient condition for the finite-time stability of fractional bidirectional associative memory neural networks with time delays is obtained, which reduces the conservatism of the existing criteria. At last, two examples are given to confirm the validity and feasibility of the main results.

1. 引言

近年来，分数阶微积分已被广泛应用于各种领域(见 [1] [2] [3] [4] )。众所周知，神经网络在人工智能、模式识别、非线性优化等方面起了重要作用，因此将神经网络和分数阶微积分结合是十分必要且具有重要意义的，而且由于分数阶神经网络相较于整数阶能更准确地描述联想和记忆的特点，因此引起了大量学者的关注。而稳定性是神经网络一个重要的问题，因此，分数阶神经网络的稳定性分析也成为了学者们研究的一个热门问题，这当中涉及到了指数稳定 [5] 、一致稳定 [6] 、Mittag-Leffler稳定 [7] 、有限时间稳定 [8] 等。

在神经网络的许多类型中，分数阶双向联想记忆神经网络(FOBAMNNs)引起了广泛关注。时滞对于系统的稳定性将产生重大影响，在对神经网络的稳定性分析时应当把时滞因素考虑在内，因此，研究具有时滞的BAMNN的稳定性具有十分重要的现实意义。近年来，有许多关于FOBAMNNs的稳定性的研究成果 [9] [10] [11] [12] 。在 [13] 中，首先引入了分数阶时滞系统的有限时间稳定(FTS)概念。此后，FOBAMNNs的有限时间稳定出现了许多有意义的结果。在 [9] 中研究了FOBAMNNs的全局渐近稳定性。同时考虑了时滞和脉冲效应，基于Lyapunov稳定性定理、分数阶Barbalat引理和Razumikhin型稳定性定理，得到不依赖于特定时滞形式的稳定性条件。在 [10] 中研究了一类具有时滞的分数阶Cohen-Grossberg BAM神经网络的有限时间稳定性问题。利用一些不等式技术、微分均值定理和压缩映象原理，提出了保证该分数阶神经网络有限时间稳定性的充分条件。在 [11] 中利用Lyapunov函数和同态映射定理，推导了具有时变时滞的脉冲分数阶复值FOBAMNNs存在唯一平衡解和全局渐近稳定性的充分条件。在 [12] 中推导出了保证具有混合时变时滞的分数阶双向关联记忆神经网络的有限时间稳定性的充分条件。研究FOBAMNN的FTS所面临的一个困难是如何处理系统中的延迟项。分数阶Gronwall不等式中的分布式延迟为获得FTS标准带来了新的挑战。但，在 [13] 中所建立的FTS标准是依据没有时滞的Gronwall不等式。因此，对于分数阶Gronwall不等式的研究是非常有意义的。最近，在 [14] 中提出了一个新的分数阶Gronwall不等式，受此启发，基于上述讨论，本文利用新的Gronwall不等式，研究了具有时滞的FOBAMNNs的FTS。

本文的主要结构如下。在第2节中介绍了Caputo导数的定义、性质和一些重要不等式。在第3节中，研究了一类FOBAMNNs的FTS问题。基于新的分数阶Gronwall不等式，获得了一个实现系统有限时间稳定的充分条件。在第四节中，通过两个数值例子来验证主要结果的有效性。最后给出全文主要结论。

2. 模型描述及预备知识

2.1. 预备知识

本节介绍了一些基本不等式和Caputo分数阶导数的定义。此外，给出了一类FOBAMNNs的数学描述。

$\Vert B\Vert =\underset{1\le j\le n}{\max }{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }\left|b_{ij}\right|}$ 和 $\Vert \mu \left(t\right)\Vert ={\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }\left|{\mu }_i\left(t\right)\right|}$ 是矩阵范数和向量范数，其中 $b_{ij}$ 和 ${\mu }_i\left(t\right)$ 是矩阵 $A\in {ℝ}^{n\times n}$ 和向量 $\mu \left(t\right)\in {ℝ}^n$ 的元素。

定义2.1 [15] 设 $h\left(t\right)\in C^m\left(\left[0,+\infty \right],{ℝ}^n\right)$ ， $h\left(t\right)$ 的 $\mathcal{l}$ 阶Caputo导数定义为：

${}_0{}^{C}D{}_t^{\mathcal{l}}f\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(l-\mathcal{l}\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{l-\mathcal{l}-1}{f}^{\left(l\right)}\left(\rho \right)\text{d}\rho },$

其中 $\mathcal{l}>0$ ，l是一个正整数，使得 $l-1<\mathcal{l}<l$ ， $\Gamma (\cdot )$ 为Gamma函数，即： $\Gamma \left(\rho \right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{t}^{\rho -1}{\text{e}}^{-t}\text{d}t}$ .

引理1 [16] 如果 $\mu :\left[-\varsigma ,H\right]\to {ℝ}^m$ 是连续可微函数，则 $\mu \left(t\right)$ 是系统的解，当且仅当

$\mu \left(t\right)=\{\begin{array}{l}\omega \left(0\right)+\frac{1}{\Gamma \left(\mathcal{l}\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-\rho \right)}^{\mathcal{l}-1}\left[A_{0}x\left(\rho \right)+A_{1}x\left(\rho -\tau \right)+f\left(\rho ,x\left(\rho \right),x\left(\rho -\tau \right)\right)\right]\text{d}\rho },0\le t\le T,\\ \omega \left(t\right),-\varsigma \le t\le 0.\end{array}$ (1)

引理2 [14] 设 $\bar{\omega }\left(t\right),k\left(t\right),l\left(t\right)\in C\left(\left[0,T\right],{ℝ}^{+}\right)$ ， $\omega \left(t\right)\in C\left(\left[-\tau ,0\right],{ℝ}^{+}\right)$ ， $\bar{\omega }\left(t\right),\Im \left(t\right)$ 为非减函数， $\bar{\omega }\left(0\right)=\Im \left(0\right)$ 。若 $\mu \left(t\right)\in C\left(\left[-\varsigma ,T\right],{ℝ}^{+}\right)$ ，且

$\{\begin{array}{l}v\left(t\right)\le \bar{\omega }\left(t\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\frac{{\left(t-s\right)}^{\mathcal{l}-1}}{\Gamma \left(\mathcal{l}\right)}\left[k\left(s\right)v\left(s\right)+l\left(s\right)v\left(s-\tau \right)\right]\text{d}s},t\in \left[0,T\right],\\ v\left(t\right)\le \Im \left(t\right),t\in \left[-\tau ,0\right],\end{array}$

则

$\mu \left(t\right)\le {\left\{F\left(t\right)\exp \left({\displaystyle {\int }_0^t\left[K\left(s\right)+L\left(s\right)\right]\text{d}s}\right)\right\}}^{\lambda },$ (2)

其中 $L\left(t\right)=\frac{4^{\frac{1}{\lambda }-1}}{{\Gamma }^{\lambda }\left(\mathcal{l}\right)}{\left(B\left(\frac{\mathcal{l}-\lambda }{1-\lambda },\frac{1-\mathcal{l}}{1-\lambda }\right)\right)}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}{t}^{\frac{\mathcal{l}-\lambda }{\lambda }}{l}^{\frac{1}{\lambda }}\left(t\right)$ ， $K\left(t\right)=\frac{4^{\frac{1}{\lambda }-1}}{{\Gamma }^{\lambda }\left(\mathcal{l}\right)}{\left(B\left(\frac{\mathcal{l}-\lambda }{1-\lambda },\frac{1-\mathcal{l}}{1-\lambda }\right)\right)}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}{t}^{\frac{\mathcal{l}-\lambda }{\lambda }}{k}^{\frac{1}{\lambda }}\left(t\right)$ ， $F\left(t\right)=2^{\frac{1}{\lambda }-1}{\bar{\omega }}^{\frac{1}{\lambda }}\left(t\right)$ ， $0<\lambda <\mathcal{l}<1$ ， $B\left(\cdot ,\cdot \right)$ 是beta函数，定义为 $B\left(\mu ,v\right)={\displaystyle {\int }_0^1{t}^{\mu -1}{\left(1-t\right)}^{v-1}\text{d}t}\left(\mathrm{Re}\left(\mu \right)>0,\mathrm{Re}\left(v\right)>0\right)$ 。

引理3 [17] 假设 ${ℝ}^{+}=\left[0,+\infty \right)$ ， $T<+\infty$ ， $Q=\left[t_0,T\right]\in ℝ$ ， $\mu \left(t\right)\in C\left(\left[t_0-\varsigma ,T\right],{ℝ}^{+}\right)$ ， $\bar{\omega }\left(t\right),l\left(t\right),k\left(t\right)\in C\left(Q,{ℝ}^{+}\right)$ ， $\Im \left(t\right)\in C\left(\left[t_0-\varsigma ,t_0\right],{ℝ}^{+}\right)$ ， $\bar{\omega }\left(t_0\right)=\Im \left(t_0\right)$ ，

$\{\begin{array}{l}\mu \left(t\right)\le \bar{\omega }\left(t\right)+{\displaystyle {\int }_{t_0}^t\frac{{\left(t-\rho \right)}^{\mathcal{l}-1}}{\Gamma \left(\mathcal{l}\right)}\left[k\left(\rho \right)v\left(\rho \right)+l\left(\rho \right)v\left(\rho -\varsigma \right)\right]\text{d}\rho },t\in \left[t_0,T\right],\\ \mu \left(t\right)\le \Im \left(t\right),t\in \left[t_0-\tau ,t_0\right],\end{array}$

如果 $\bar{\omega }\left(t\right)$ 和 $\Im \left(t\right)$ 是非减 $C^1$ 函数，则

1) 当 $\mathcal{l}>\frac{1}{2}$ 时，

$\mu \left(t\right)\le \sqrt{M_3}\bar{\omega }\left(t\right)\exp \left\{t-t_0+\frac{3}{4^{\mathcal{l}}}\Gamma \left(2\mathcal{l}-1\right){\displaystyle {\int }_{t_0}^t\left[l^2\left(s\right)+{\text{e}}^{-2\varsigma }{k}^2\left(\rho \right)\right]\text{d}\rho }\right\},$ (3)

其中 $t\in \left[t_0,T\right]$ ， $M_3=\max \left\{3,{\text{e}}^{2\varsigma }\right\}$ ；

2) 当 $0<\mathcal{l}\le \frac{1}{2}$ 时，

$\mu \left(t\right)\le M_4^{\frac{1}{q}}\bar{\omega }\left(t\right)\exp \left\{t-t_0+\frac{3^{q-1}{R}_2^q}{q}{\displaystyle {\int }_{t_0}^t\left[l^q\left(s\right)+{\text{e}}^{-q\varsigma }{k}^q\left(\rho \right)\right]\text{d}\rho }\right\},$ (4)

其中 $t\in \left[t_0,T\right]$ ， $M_4=\max \left\{3^{q-1},{\text{e}}^{q\varsigma }\right\}$ ，且 $q=1+\frac{1}{\mathcal{l}}$ ， $R_2={\left[\frac{\Gamma \left(1-\left(1-\mathcal{l}\right)p\right)}{p^{1-p\left(1-\mathcal{l}\right)}}\right]}^{\frac{1}{p}}$ 。

2.2. 模型描述

考虑如下一类FOBAMNNs：

$\{\begin{array}{l}{}_0{}^{C}D{}_t^{\mathcal{l}}{\mu }_i\left(t\right)=-w_i{\mu }_i\left(t\right)+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{a}_{ij}{h}_{1j}\left(v_j\left(t\right)\right)}+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{b}_{ij}{g}_{1j}\left(v_j\left(t\right)-\varsigma \right)}+{\aleph }_i,\\ {}_0{}^{C}D{}_t^{\mathcal{l}}{v}_j\left(t\right)=-s_j{v}_j\left(t\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_{ji}{h}_{2i}\left({\mu }_i\left(t\right)\right)}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{d}_{ji}{g}_{2i}\left({\mu }_i\left(t\right)-\varsigma \right)}+{\Re }_j,\end{array}$ (5)

其中 $i=1,2,\cdots ,n$ ， $j=1,2,\cdots ,m$ ， $0<\mathcal{l}<1$ ， ${\mu }_i\left(t\right)$ 和 $v_j\left(t\right)$ 分别表示时刻t第i个神经元和第j个神经元的状态，常数 $w_i>0$ 和 $s_j>0$ 是神经元的自调节参数，常数 $\varsigma >0$ 是时滞， $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}$ ， $B={\left(b_{ij}\right)}_{m\times n}$ ， $C={\left(c_{ij}\right)}_{m\times n}$ ， $D={\left(d_{ij}\right)}_{m\times n}$ 是连接权重矩阵， ${\aleph }_i$ 和 ${\Re }_j$ 表示恒定的外部输入， $h_{1j},g_{1j},h_{2i},g_{2i}$ 表示激活函数。

假设1．对于任意 $\mu ,\nu \in ℝ$ ，其中 ${\xi }_1,{\eta }_1,{\xi }_2,{\eta }_2$ 是一些正常数，激活函数 $h_{1j},g_{1j},h_{2i},g_{2i}$ 满足：

$\left|h_{1j}\left(\mu \right)-h_{1j}\left(v\right)\right|\le {\xi }_1\left|\mu -v\right|$ ， $\left|g_{1j}\left(\mu \right)-g_{1j}\left(v\right)\right|\le {\eta }_1\left|\mu -v\right|$ ，

$\left|h_{2i}\left(\mu \right)-h_{2i}\left(v\right)\right|\le {\xi }_2\left|\mu -v\right|$ ， $\left|g_{2i}\left(\mu \right)-g_{2i}\left(v\right)\right|\le {\eta }_2\left|\mu -v\right|$ 。

设 $\left(\mu \left(t\right),v\left(t\right)\right)$ 和 $\left(\bar{\mu }\left(t\right),\bar{v}\left(t\right)\right)$ 是系统具有不同初始条件的任意两个解。令 $\hslash \left(t\right)=\mu \left(t\right)-\bar{\mu }\left(t\right)$ 和 $\wp \left(t\right)=v\left(t\right)-\bar{v}\left(t\right)$ 。假设 $\hslash \left(t\right)$ 和 $\wp \left(t\right)$ 满足以下初始条件： $\hslash \left(t\right)=\phi \left(t\right)$ ， $\wp \left(t\right)=\psi \left(t\right)$ ， $t\in \left[-\varsigma ,0\right]$ ，则有以下误差系统：

$\{\begin{array}{l}{}^{C}D{}_t^{\alpha }{\hslash }_i\left(t\right)=-w_i{\hslash }_i\left(t\right)+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{a}_{ij}{h}_{1j}\left(v_j\left(t\right)-{\bar{v}}_j\left(t\right)\right)}+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{b}_{ij}{g}_{1j}}\left(v_j\left(t-\varsigma \right)-{\bar{v}}_j\left(t-\varsigma \right)\right),\\ {}^{C}D{}_t^{\alpha }{\wp }_j\left(t\right)=-s_j{\wp }_j\left(t\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_{ji}{h}_{2i}\left({\mu }_i\left(t\right)-{\bar{\mu }}_i\left(t\right)\right)}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{d}_{ji}{g}_{2i}}\left({\mu }_i\left(t-\varsigma \right)-{\bar{\mu }}_i\left(t-\varsigma \right)\right).\end{array}$ (6)

定义2.2 [18] 设 $\delta ,\epsilon$ 为任意正常数，使得 $0<\delta <\epsilon$ 。如果 $\Vert \phi \Vert +\Vert \psi \Vert <\delta$ 可推得 $\Vert \hslash \left(t\right)\Vert +\Vert \wp \left(t\right)\Vert <\epsilon$ ，则称系统(5)是关于 $\left(\delta ,\epsilon ,T\right)$ 有限时间稳定的。其中 $\Vert \phi \Vert =\underset{s\in \left[-\varsigma ,0\right]}{\sup }\Vert \phi \left(s\right)\Vert ,\Vert \psi \Vert =\underset{s\in \left[-\varsigma ,0\right]}{\sup }\Vert \psi \left(s\right)\Vert ,t\in \left[0,T\right]$ 。

3. 主要结果

定理1：若

$\begin{array}{l}{2}^{1-\lambda }\exp \left(\frac{{\lambda }^2}{\mathcal{l}}\frac{4^{\frac{1}{\lambda }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\lambda }}\left(\mathcal{l}\right)}{\left(B\left(\frac{\alpha -\lambda }{1-\lambda },\frac{1-\mathcal{l}}{1-\lambda }\right)\right)}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}{T}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}\left({\left(W+{\xi }_2\Vert C\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}+{\left({\eta }_2\Vert D\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}\right)\right)\\ +2^{1-\lambda }\exp \left(\frac{{\lambda }^2}{\mathcal{l}}\frac{4^{\frac{1}{\lambda }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\lambda }}\left(\mathcal{l}\right)}{\left(B\left(\frac{\alpha -\lambda }{1-\lambda },\frac{1-\mathcal{l}}{1-\lambda }\right)\right)}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}{T}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}\left({\left(S+{\xi }_1\Vert A\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}+{\left({\eta }_1\Vert B\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}\right)\right)\le \frac{\epsilon }{\delta },\end{array}$ (7)

则系统(5)是有限时间稳定的。其中 $0<\lambda <\mathcal{l}<1$ ， $\left|A\right|={\left(\left|a_{ij}\right|\right)}_{n\times m}$ ， $\left|B\right|={\left(\left|b_{ij}\right|\right)}_{n\times m}$ ， $\left|C\right|={\left(\left|c_{ji}\right|\right)}_{m\times n}$ ， $\left|D\right|={\left(\left|d_{ji}\right|\right)}_{m\times n}$ ， $W=\text{diag}\left(w_1,w_2,\cdots ,w_n\right)$ ， $S=\text{diag}\left(s_1,s_2,\cdots ,s_m\right)$ 。

证明：考虑如下函数 $V\left(t\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left|{\hslash }_i\left(t\right)\right|}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left|{\wp }_i\left(t\right)\right|}$ 。

由引理1有

$\begin{array}{l}{\hslash }_i\left(t\right)={\phi }_i\left(0\right)+\frac{1}{\Gamma \left(\mathcal{l}\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-\rho \right)}^{\mathcal{l}-1}\{-w_i{\hslash }_i\left(\rho \right)+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{a}_{ij}{h}_{1j}\left(v_j\left(\rho \right)-{\bar{v}}_j\left(\rho \right)\right)}}\\ +{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{b}_{ij}{g}_{1j}\left(v_j\left(\rho -\varsigma \right)-{\bar{v}}_j\left(\rho -\varsigma \right)\right)}\}\text{d}\rho ,\end{array}$

$\begin{array}{l}{\wp }_i\left(t\right)={\psi }_i\left(0\right)+\frac{1}{\Gamma \left(\mathcal{l}\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-\rho \right)}^{\mathcal{l}-1}\{-k_j{\wp }_j\left(\rho \right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_{ji}{h}_{2i}\left({\mu }_i\left(\rho \right)-{\bar{\mu }}_i\left(\rho \right)\right)}}\\ +{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{d}_{ji}{g}_{2i}\left({\mu }_i\left(\rho -\varsigma \right)-{\bar{\mu }}_i\left(\rho -\varsigma \right)\right)}\}\text{d}\rho ,\end{array}$

由假设有

$\left|{\hslash }_i\left(t\right)\right|\le \left|{\phi }_i\left(0\right)\right|+\frac{1}{\Gamma \left(\mathcal{l}\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-\rho \right)}^{\mathcal{l}-1}\left\{w_i\left|{\hslash }_i\left(\rho \right)\right|+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{\xi }_1\left|a_{ij}\right|\left|{\wp }_j\left(\rho \right)\right|}+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{\eta }_1\left|b_{ij}\right|\left|{\wp }_j\left(\rho -\varsigma \right)\right|}\right\}\text{d}\rho },$

$\left|{\wp }_i\left(t\right)\right|\le \left|{\psi }_i\left(0\right)\right|+\frac{1}{\Gamma \left(\mathcal{l}\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-\rho \right)}^{\mathcal{l}-1}\left\{s_j\left|{\wp }_j\left(\rho \right)\right|+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\xi }_2\left|c_{ji}\right|\left|{\hslash }_i\left(\rho \right)\right|}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_2\left|d_{ji}\right|\left|{\hslash }_i\left(\rho -\varsigma \right)\right|}\right\}\text{d}\rho },$

则

$\Vert \hslash \left(t\right)\Vert \le \Vert \phi \left(0\right)\Vert +\frac{1}{\Gamma \left(\mathcal{l}\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-\rho \right)}^{\mathcal{l}-1}\left\{W\Vert \hslash \left(\rho \right)\Vert +{\xi }_1\Vert A\Vert \Vert \wp \left(\rho \right)\Vert +{\eta }_1\Vert B\Vert \Vert \wp \left(\rho -\varsigma \right)\Vert \right\}\text{d}\rho },$

$\Vert \wp \left(t\right)\Vert \le \Vert \psi \left(0\right)\Vert +\frac{1}{\Gamma \left(\mathcal{l}\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-\rho \right)}^{\mathcal{l}-1}\left\{S\Vert \wp \left(\rho \right)\Vert +{\xi }_2\Vert C\Vert \Vert \hslash \left(\rho \right)\Vert +{\eta }_2\Vert D\Vert \Vert \hslash \left(\rho -\varsigma \right)\Vert \right\}\text{d}\rho }.$

$\begin{array}{c}V(t)\le \Vert \hslash \left(t\right)\Vert +\Vert \wp \left(t\right)\Vert \\ \le \Vert \phi \left(0\right)\Vert +\Vert \psi \left(0\right)\Vert +\frac{1}{\Gamma \left(\mathcal{l}\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-\rho \right)}^{\mathcal{l}-1}\{W\Vert \hslash \left(\rho \right)\Vert }+{\xi }_1\Vert A\Vert \Vert \wp \left(\rho \right)\Vert +{\eta }_1\Vert B\Vert \Vert \wp \left(\rho -\varsigma \right)\Vert \\ +S\Vert \wp \left(\rho \right)\Vert +{\xi }_2\Vert C\Vert \Vert \hslash \left(\rho \right)\Vert +{\eta }_2\Vert D\Vert \Vert \hslash \left(\rho -\varsigma \right)\Vert \}\text{d}\rho \\ \le \Vert \phi \left(0\right)\Vert +\frac{1}{\Gamma \left(\mathcal{l}\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-\rho \right)}^{\mathcal{l}-1}\left\{W\Vert \hslash \left(\rho \right)\Vert +{\xi }_2\Vert C\Vert \Vert \hslash \left(\rho \right)\Vert +{\eta }_2\Vert D\Vert \Vert \hslash \left(\rho -\varsigma \right)\Vert \right\}\text{d}\rho }\\ +\Vert \psi \left(0\right)\Vert +\frac{1}{\Gamma \left(\mathcal{l}\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-\rho \right)}^{\mathcal{l}-1}\left\{S\Vert \wp \left(\rho \right)\Vert +{\xi }_1\Vert A\Vert \Vert \wp \left(\rho \right)\Vert +{\eta }_1\Vert B\Vert \Vert \wp \left(\rho -\varsigma \right)\Vert \right\}\text{d}\rho }.\end{array}$

对于 $t\in \left[-\varsigma ,0\right]$ ， $\Vert \hslash \left(t\right)\Vert =\Vert \phi \left(t\right)\Vert \le \underset{t\in \left[-\varsigma ,0\right]}{\sup }\Vert \phi \left(t\right)\Vert =\Vert \phi \Vert$ ， $\Vert \wp \left(t\right)\Vert =\Vert \psi \left(t\right)\Vert \le \underset{t\in \left[-\varsigma ,0\right]}{\sup }\Vert \psi \left(t\right)\Vert =\Vert \psi \Vert$ ，

$\begin{array}{l}V\left(t\right)\le \Vert \phi \Vert +\frac{1}{\Gamma \left(\mathcal{l}\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-\rho \right)}^{\mathcal{l}-1}\left\{\left(W+{\xi }_2\Vert C\Vert \right)\Vert \hslash \left(\rho \right)\Vert +{\eta }_2\Vert D\Vert \Vert \hslash \left(\rho -\varsigma \right)\Vert \right\}\text{d}\rho }\\ +\Vert \psi \Vert +\frac{1}{\Gamma \left(\mathcal{l}\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-\rho \right)}^{\mathcal{l}-1}\left\{\left(S+{\xi }_1\Vert A\Vert \right)\Vert \wp \left(\rho \right)\Vert +{\eta }_1\Vert B\Vert \Vert \wp \left(\rho -\varsigma \right)\Vert \right\}\text{d}\rho },\end{array}$ (8)

由引理2有

$\begin{array}{c}V\left(t\right)\le {\left\{2^{\frac{1}{\lambda }-1}{\Vert \phi \Vert }^{\frac{1}{\lambda }}\exp \left({{\displaystyle {\int }_0^t\frac{4^{\frac{1}{\lambda }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\lambda }}\left(\mathcal{l}\right)}\left(B\left(\frac{\mathcal{l}-\lambda }{1-\lambda },\frac{1-\mathcal{l}}{1-\lambda }\right)\right)}}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}{t}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}\left(K_1^{\frac{1}{\lambda }}\left(\rho \right)+L_1^{\frac{1}{\lambda }}\left(\rho \right)\right)\right)\right\}}^{\lambda }\\ +{\left\{2^{\frac{1}{\lambda }-1}{\Vert \psi \Vert }^{\frac{1}{\lambda }}\exp \left({\displaystyle {\int }_0^t\frac{4^{\frac{1}{\lambda }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\lambda }}\left(\mathcal{l}\right)}{\left(B\left(\frac{\mathcal{l}-\lambda }{1-\lambda },\frac{1-\mathcal{l}}{1-\lambda }\right)\right)}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}}{t}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}\left(K_2^{\frac{1}{\lambda }}\left(\rho \right)+L_2^{\frac{1}{\lambda }}\left(\rho \right)\right)\right)\right\}}^{\lambda }\\ ={\left\{2^{\frac{1}{\lambda }-1}{\Vert \phi \Vert }^{\frac{1}{\lambda }}\exp \left({\displaystyle {\int }_0^t\frac{4^{\frac{1}{\lambda }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\lambda }}\left(\mathcal{l}\right)}{\left(B\left(\frac{\mathcal{l}-\lambda }{1-\lambda },\frac{1-\mathcal{l}}{1-\lambda }\right)\right)}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}}{t}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}\left({\left(W+{\xi }_2\Vert C\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}+{\left({\eta }_2\Vert D\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}\right)\right)\right\}}^{\lambda }\\ +{\left\{2^{\frac{1}{\lambda }-1}{\Vert \psi \Vert }^{\frac{1}{\lambda }}\exp \left({\displaystyle {\int }_0^t\frac{4^{\frac{1}{\lambda }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\lambda }}\left(\mathcal{l}\right)}{\left(B\left(\frac{\mathcal{l}-\lambda }{1-\lambda },\frac{1-\mathcal{l}}{1-\lambda }\right)\right)}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}}{t}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}\left({\left(S+{\xi }_1\Vert A\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}+{\left({\eta }_1\Vert B\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}\right)\right)\right\}}^{\lambda }\end{array}$ (9)

$\begin{array}{c}=2^{1-\lambda }\Vert \phi \Vert \exp \left(\frac{{\lambda }^2}{\mathcal{l}}\frac{4^{\frac{1}{\lambda }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\lambda }}\left(\mathcal{l}\right)}{\left(B\left(\frac{\mathcal{l}-\lambda }{1-\lambda },\frac{1-\mathcal{l}}{1-\lambda }\right)\right)}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}{t}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}\left({\left(W+{\xi }_2\Vert C\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}+{\left({\eta }_2\Vert D\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}\right)\right)\\ +2^{1-\lambda }\Vert \psi \Vert \exp \left(\frac{{\lambda }^2}{\mathcal{l}}\frac{4^{\frac{1}{\lambda }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\lambda }}\left(\mathcal{l}\right)}{\left(B\left(\frac{\mathcal{l}-\lambda }{1-\lambda },\frac{1-\mathcal{l}}{1-\lambda }\right)\right)}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}{t}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}\left({\left(S+{\xi }_1\Vert A\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}+{\left({\eta }_1\Vert B\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}\right)\right)\\ \le 2^{1-\lambda }\Vert \phi \Vert \exp \left(\frac{{\lambda }^2}{\mathcal{l}}\frac{4^{\frac{1}{\lambda }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\lambda }}\left(\mathcal{l}\right)}{\left(B\left(\frac{\mathcal{l}-\lambda }{1-\lambda },\frac{1-\mathcal{l}}{1-\lambda }\right)\right)}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}{T}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}\left({\left(W+{\xi }_2\Vert C\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}+{\left({\eta }_2\Vert D\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}\right)\right)\\ +2^{1-\lambda }\Vert \psi \Vert \exp \left(\frac{{\lambda }^2}{\mathcal{l}}\frac{4^{\frac{1}{\lambda }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\lambda }}\left(\mathcal{l}\right)}{\left(B\left(\frac{\mathcal{l}-\lambda }{1-\lambda },\frac{1-\mathcal{l}}{1-\lambda }\right)\right)}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}{T}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}\left({\left(S+{\xi }_1\Vert A\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}+{\left({\eta }_1\Vert B\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}\right)\right).\end{array}$

由上式，当 $\Vert \phi \Vert +\Vert \psi \Vert <\delta$ 时，可推得 $\Vert \hslash \left(t\right)\Vert +\Vert \wp \left(t\right)\Vert <\epsilon$ 。

根据定义2，系统(5)是有限时间稳定的。

注1：对于不等式(8)，令 ${\bar{\omega }}_1\left(t\right)=\Vert \phi \Vert$ ， ${\iota }_1\left(t\right)=W+{\xi }_2\Vert C\Vert$ ， ${\kappa }_1\left(t\right)={\eta }_2\Vert D\Vert$ ， ${\bar{\omega }}_2\left(t\right)=\Vert \psi \Vert$ ， ${\iota }_2\left(t\right)=S+{\xi }_1\Vert A\Vert$ ， ${\kappa }_2\left(t\right)={\eta }_1\Vert B\Vert$ ，由引理3的(3)，对于 $\frac{1}{2}<\mathcal{l}<1$ ，

$\begin{array}{l}V\left(t\right)\le \sqrt{M_3}\Vert \phi \Vert \exp \left\{T+\frac{3}{4^{\mathcal{l}}}\Gamma \left(2\mathcal{l}-1\right)\left[{\left(W+{\xi }_2\Vert C\Vert \right)}^2+{\text{e}}^{-2\varsigma }{\left({\eta }_2\Vert D\Vert \right)}^2\right]T\right\}\\ +\sqrt{M_3}\Vert \psi \Vert \exp \left\{T+\frac{3}{4^{\mathcal{l}}}\Gamma \left(2\mathcal{l}-1\right)\left[{\left(S+{\xi }_1\Vert A\Vert \right)}^2+{\text{e}}^{-2\varsigma }{\left({\eta }_1\Vert B\Vert \right)}^2\right]T\right\},\end{array}$ (10)

其中 $M_3=\max \left\{3,{\text{e}}^{2\varsigma }\right\}$ ；

由引理3的(4)，对于 $0<\mathcal{l}<\frac{1}{2}$ ，

$\begin{array}{l}V\left(t\right)\le M_4^{\frac{1}{q}}\Vert \phi \Vert \exp \left\{T+\frac{3^{q-1}{R}_2^q}{q}\left[{\left(W+{\xi }_2\Vert C\Vert \right)}^q+{\text{e}}^{-q\varsigma }{\left({\eta }_2\Vert D\Vert \right)}^q\right]T\right\}\\ +C_4^{\frac{1}{q}}\Vert \psi \Vert \exp \left\{T+\frac{3^{q-1}{R}_2^q}{q}\left[{\left(S+{\xi }_1\Vert A\Vert \right)}^q+{\text{e}}^{-q\varsigma }{\left({\eta }_1\Vert B\Vert \right)}^q\right]T\right\},\end{array}$ (11)

其中 $M_4=\max \left\{3^{q-1},{\text{e}}^{q\varsigma }\right\}$ ，且 $q=1+\frac{1}{\mathcal{l}}$ ， $R_2={\left[\frac{\Gamma \left(1-\left(1-\mathcal{l}\right)p\right)}{p^{1-p\left(1-\mathcal{l}\right)}}\right]}^{\frac{1}{p}}$ 。

因此，对于 $\frac{1}{2}<\mathcal{l}<1$ ，若

$\begin{array}{l}\sqrt{M_3}\Vert \phi \Vert \exp \left\{T+\frac{3}{4^{\mathcal{l}}}\Gamma \left(2\mathcal{l}-1\right)\left[{\left(W+{\xi }_2\Vert C\Vert \right)}^2+{\text{e}}^{-2\varsigma }{\left({\eta }_2\Vert D\Vert \right)}^2\right]T\right\}\\ +\sqrt{M_3}\Vert \psi \Vert \exp \left\{T+\frac{3}{4^{\mathcal{l}}}\Gamma \left(2\mathcal{l}-1\right)\left[{\left(S+{\xi }_1\Vert A\Vert \right)}^2+{\text{e}}^{-2\varsigma }{\left({\eta }_1\Vert B\Vert \right)}^2\right]T\right\}\le \frac{\epsilon }{\delta },\end{array}$ (12)

则系统(5)是有限时间稳定的。

对于 $0<\mathcal{l}<\frac{1}{2}$ ，若

$\begin{array}{l}{M}_4^{\frac{1}{q}}\Vert \phi \Vert \exp \left\{T+\frac{3^{q-1}{R}_2^q}{q}\left[{\left(W+{\xi }_2\Vert C\Vert \right)}^q+{\text{e}}^{-q\varsigma }{\left({\eta }_2\Vert D\Vert \right)}^q\right]T\right\}\\ +M_4^{\frac{1}{q}}\Vert \psi \Vert \exp \left\{T+\frac{3^{q-1}{R}_2^q}{q}\left[{\left(S+{\xi }_1\Vert A\Vert \right)}^q+{\text{e}}^{-q\varsigma }{\left({\eta }_1\Vert B\Vert \right)}^q\right]T\right\}\le \frac{\epsilon }{\delta },\end{array}$ (13)

则系统(5)是有限时间稳定的。

注2：本文中的FTS准则(7)是通过一个新的分数阶延迟Gronwall不等式(见引理2)获得的，该不等式不需要不等式缩放技巧来处理延迟项。这可以帮助我们获得保守性更低和更简单的标准。

注3：对于 $0<\mathcal{l}<1$ ，近年来得到了各种具有时滞的分数阶神经网络的FTS准则。这些FTS准则是通过Hölder不等式和Gronwall不等式得到的。这些准则中的分数阶是分为 $0<\mathcal{l}<\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{2}<\mathcal{l}<1$ 讨论得到的。本文在新的分数阶延迟Gronwall不等式(见引理2)的基础上，不需要分这两种情况讨论而得到一个新的统一的判据。

4. 数值例子

在本节中，通过以下两个例子来说明第3节所得到结果的可行性。

例1考虑下面的FOBAMNNs，它可以写为

$\{\begin{array}{l}{}_0{}^{C}D{}_t^{\mathcal{l}}{\mu }_i\left(t\right)=-w_i{\mu }_i\left(t\right)+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{2}{\sum }}{a}_{ij}{h}_{1j}\left(v_j\left(t\right)\right)}+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{2}{\sum }}{b}_{ij}{g}_{1j}\left(v_j\left(t\right)-\varsigma \right)}+{\aleph }_i,\\ {}_0{}^{C}D{}_t^{\mathcal{l}}{\nu }_j\left(t\right)=-s_j{v}_j\left(t\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\sum }}{c}_{ji}{h}_{2i}\left({\mu }_i\left(t\right)\right)}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\sum }}{d}_{ji}{g}_{2i}\left({\mu }_i\left(t\right)-\varsigma \right)}+{\Re }_j,i,j=1,2,\end{array}$ (14)

其中 $\mathcal{l}=0.8$ ， $\mu ={\left({\mu }_1,{\mu }_2\right)}^{\text{T}}$ ， $v={\left(v_1,v_2\right)}^{\text{T}}$ ， $A=\left[\begin{array}{cc}-0.15& -0.24\\ 0.24& -0.25\end{array}\right]$ ， $B=\left[\begin{array}{cc}-0.15& 0.35\\ 0.15& 0.25\end{array}\right]$ ， $C=\left[\begin{array}{cc}0.15& -0.5\\ 0.23& -0.32\end{array}\right]$ ， $D=\left[\begin{array}{cc}0.25& 0.05\\ 0.25& -0.22\end{array}\right]$ ， $\aleph =\left[\begin{array}{c}0.35\\ 0.25\end{array}\right]$ ， $\Re =\left[\begin{array}{c}-0.15\\ 0.15\end{array}\right]$ ， $W=\text{diag}\left(0.22,0.25\right)$ ， $S=\text{diag}\left(0.18,0.12\right)$ ， $\varsigma =0.2$ ，

$h_1\left(\mu \right)=h_2\left(\mu \right)=g_1\left(\mu \right)=g_2\left(\mu \right)=\frac{1}{4}\cos \mu$ .

显然， $h_1(·)=h_2(·)=g_1(·)=g_2(·)$ 满足假设1，且 ${\xi }_1={\xi }_2={\eta }_1={\eta }_2=\frac{1}{4}$ 。

假设系统(14)的两个解 $\mu \left(t\right)$ 、 $v\left(t\right)$ 具有如下的初始条件：

$\psi \left(t\right)={\left(0.02,-0.03\right)}^{\text{T}},\theta \left(t\right)={\left(0.02,-0.01\right)}^{\text{T}};$

$\bar{\psi }\left(t\right)={\left(0.03,-0.04\right)}^{\text{T}},\bar{\theta }\left(t\right)={\left(-0.03,-0.02\right)}^{\text{T}}.$

当 $T=0.5$ ， $\delta =0.08$ ， $\lambda =0.6$ ，对于 $\Vert \psi -\theta \Vert =0.08\le \delta$ ，解的实际误差范数 $\Vert \hslash \left(t\right)\Vert +\Vert \wp \left(t\right)\Vert$ ，在有限时间间隔 $\left[0,0.5\right]$ 内不超过估计的界限 $\epsilon =0.4154$ 。因此，准则(7)是有效的。

对于 $\mathcal{l}=0.8\in \left(\frac{1}{2},1\right)$ ，评估函数 $H_1\left(T\right)$ 和 $H_2\left(T\right)$ 对于不同的T，在表1中列出了一些值。其中

$\begin{array}{l}{H}_1\left(T\right)=\delta 2^{1-\lambda }\exp \left(\frac{{\lambda }^2}{\mathcal{l}}\frac{4^{\frac{1}{\lambda }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\zeta }}\left(\mathcal{l}\right)}{\left(B\left(\frac{\mathcal{l}-\lambda }{1-\lambda },\frac{1-\mathcal{l}}{1-\lambda }\right)\right)}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}{T}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}\left({\left(W+{\xi }_2\Vert C\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}+{\left({\eta }_2\Vert D\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}\right)\right)\\ +\delta 2^{1-\lambda }\exp \left(\frac{{\lambda }^2}{\mathcal{l}}\frac{4^{\frac{1}{\lambda }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\lambda }}\left(\mathcal{l}\right)}{\left(B\left(\frac{\mathcal{l}-\lambda }{1-\lambda },\frac{1-\mathcal{l}}{1-\lambda }\right)\right)}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}{T}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}\left({\left(S+{\xi }_1\Vert A\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}+{\left({\eta }_1\Vert B\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}\right)\right),\end{array}$

$\begin{array}{l}{H}_2\left(T\right)=\sqrt{\max \left(3,{\text{e}}^{2\varsigma }\right)}\delta \exp \left\{T+\frac{3}{4^{\mathcal{l}}}\Gamma \left(2\mathcal{l}-1\right)\left[{\left(W+{\xi }_2\Vert C\Vert \right)}^2+{\text{e}}^{-2\varsigma }{\left({\eta }_2\Vert D\Vert \right)}^2\right]T\right\}\\ +\sqrt{\max \left(3,{\text{e}}^{2\varsigma }\right)}\delta \exp \left\{T+\frac{3}{4^{\mathcal{l}}}\Gamma \left(2\mathcal{l}-1\right)\left[{\left(S+{\xi }_1\Vert A\Vert \right)}^2+{\text{e}}^{-2\varsigma }{\left({\eta }_1\Vert B\Vert \right)}^2\right]T\right\}.\end{array}$

Table 1. The δ = 0.08 ， l = 0.8 and different T in Example 1

表1. 例1中 $\delta =0.08$ , $\mathcal{l}=0.8$ 及不同的T

Figure 1. $H_1\left(T\right)$ and $H_2\left(T\right)$ in Example 1

图1. 例1中的 $H_1\left(T\right)$ 和 $H_2(\; T\; )$

其中 $H_1\left(T\right)$ 和 $H_2\left(T\right)$ 分别由定理1中的(7)和注释中的(12)得到。由图1可知，当固定 $0<T<0.5$ 时， $H_1\left(T\right)\le H_2\left(T\right)$ ，表明在有限时间区间 $\left[0,T\right],T\in \left(0,0.5\right]$ 内，准则(7)的保守性小于准则(12)。

例2考虑下面的FOBAMNNs，它可以写为

$\{\begin{array}{l}{}_0{}^{C}D{}_t^{\mathcal{l}}{\mu }_i\left(t\right)=-w_i{\mu }_i\left(t\right)+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{3}{\sum }}{a}_{ij}{h}_{1j}\left(v_j\left(t\right)\right)}+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{3}{\sum }}{b}_{ij}{g}_{1j}\left(v_j\left(t\right)-\varsigma \right)}+{\aleph }_i,\\ {}_0{}^{C}D{}_t^{\mathcal{l}}{\nu }_j\left(t\right)=-s_j{v}_j\left(t\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}{c}_{ji}{h}_{2i}\left({\mu }_i\left(t\right)\right)}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}{d}_{ji}{g}_{2i}\left({\mu }_i\left(t\right)-\varsigma \right)}+{\Re }_j,i,j=1,2,3,\end{array}$ (15)

其中 $\varsigma =0.4$ ， $\mu ={\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3\right)}^{\text{T}}$ ， $v={\left(v_1,v_2,v_3\right)}^{\text{T}}$ ， $A=\left[\begin{array}{ccc}-0.05& 0.35& -0.35\\ 0.45& -0.02& 0.25\\ 0.45& -0.08& 0.25\end{array}\right]$ ， $B=\left[\begin{array}{ccc}-0.15& -0.25& 0.45\\ -0.15& 0.25& -0.5\\ -0.15& 0.25& -0.25\end{array}\right]$ ， $C=\left[\begin{array}{ccc}0.35& 0.15& -0.5\\ 0.3& -0.2& -0.35\\ 0.23& -0.24& -0.35\end{array}\right]$ ， $D=\left[\begin{array}{ccc}0.25& 0.05& -0.3\\ 0.25& -0.15& -0.5\\ 0.35& -0.22& -0.35\end{array}\right]$ ， $\aleph =\left[\begin{array}{c}0.05\\ 0.06\\ 0.01\end{array}\right]$ ， $\Re =\left[\begin{array}{l}0.05\hfill \\ 0.06\hfill \\ 0.01\hfill \end{array}\right]$ ， $W=\text{diag}\left(0.22,0.25,0.15\right)$ ， $S=\text{diag}\left(0.18,0.24,0.12\right)$ ， $h_1\left(\mu \right)=h_2\left(\mu \right)=g_1\left(\mu \right)=g_2\left(\mu \right)=\frac{1}{4}\sin \mu$ ， $\varsigma =0.2$ 。

显然， $f_1(·)=f_2(·)=g_1(·)=g_2(·)$ 满足假设1，且 ${\xi }_1={\xi }_2={\eta }_1={\eta }_2=\frac{1}{4}$ 。

假设系统(15)的两个解 $\mu \left(t\right)$ 、 $v\left(t\right)$ 具有如下的初始条件：

$\psi \left(t\right)={\left(0.02,-0.03,0.04\right)}^{\text{T}},\theta \left(t\right)={\left(0.03,-0.01,-0.02\right)}^{\text{T}}$

$\bar{\psi }\left(t\right)={\left(0.03,0.04,0.05\right)}^{\text{T}},\bar{\theta }\left(t\right)={\left(0.03,0.05,-0.04\right)}^{\text{T}}.$

当 $T=0.2$ ， $\delta =0.1$ ， $\lambda =0.2$ ，对于 $\Vert \psi -\theta \Vert =0.08\le \delta$ ，解的实际误差范数 $\Vert \hslash \left(t\right)\Vert +\Vert \wp \left(t\right)\Vert$ ，在有限时间间隔 $\left[0,0.2\right]$ 内不超过估计的界限 $\epsilon =0.5920$ 。因此，准则(7)是有效的。

对于 $\mathcal{l}=0.4\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$ ，评估函数 $G_1\left(T\right)$ 和 $G_2\left(T\right)$ 对于不同的T，在表2中列出了一些值。其中

$\begin{array}{l}{G}_1\left(T\right)=\delta 2^{1-\lambda }\exp \left(\frac{{\lambda }^2}{\alpha }\frac{4^{\frac{1}{\lambda }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\lambda }}\left(\mathcal{l}\right)}{\left(B\left(\frac{\mathcal{l}-\lambda }{1-\lambda },\frac{1-\mathcal{l}}{1-\lambda }\right)\right)}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}{T}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}\left({\left(W+{\xi }_2\Vert C\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}+{\left({\eta }_2\Vert D\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}\right)\right)\\ +\delta 2^{1-\lambda }\exp \left(\frac{{\lambda }^2}{\alpha }\frac{4^{\frac{1}{\lambda }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\lambda }}\left(\mathcal{l}\right)}{\left(B\left(\frac{\mathcal{l}-\lambda }{1-\lambda },\frac{1-\mathcal{l}}{1-\lambda }\right)\right)}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}{T}^{\frac{1-\lambda }{\lambda }}\left({\left(S+{\xi }_1\Vert A\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}+{\left({\eta }_1\Vert B\Vert \right)}^{\frac{1}{\lambda }}\right)\right),\end{array}$

$\begin{array}{l}{G}_2\left(T\right)={\left(\max \left\{3^{q-1},{\text{e}}^{q\varsigma }\right\}\right)}^{\frac{1}{q}}\delta \exp \left\{T+\frac{3^{q-1}{R}_2^q}{q}\left[{\left(W+{\xi }_2\Vert C\Vert \right)}^q+{\text{e}}^{-q\varsigma }{\left({\eta }_2\Vert D\Vert \right)}^q\right]T\right\}\\ +{\left(\max \left\{3^{q-1},{\text{e}}^{q\varsigma }\right\}\right)}^{\frac{1}{q}}\delta \exp \left\{T+\frac{3^{q-1}{R}_2^q}{q}\left[{\left(S+{\xi }_1\Vert A\Vert \right)}^q+{\text{e}}^{-q\varsigma }{\left({\eta }_1\Vert B\Vert \right)}^q\right]T\right\}.\end{array}$

Table 2. The δ = 0. 1 ， l = 0.4 and different T in Example 1

表2. 例2中 $\delta =0.\text{1}$ , $\mathcal{l}=0.4$ 及不同的T

Figure 2. $G_1\left(T\right)$ and $G_2\left(T\right)$ in Example 2

图2. 例2中的 $G_1\left(T\right)$ 和 $G_2(\; T\; )$

其中 $G_1\left(T\right)$ 和 $G_2\left(T\right)$ 分别由定理1中的(7)和注释中的(13)得到。由图2可知，当固定 $0<T<0.2$ 时， $G_1\left(T\right)\le G_2\left(T\right)$ ，表明在有限时间区间 $\left[0,T\right],T\in \left(0,0.2\right]$ 内，准则(7)的保守性小于准则(13)。

5. 结论

本文讨论了具有时滞的FOBAMNNs的有限时间稳定性。利用新的分数阶Gronwall不等式，证明得到FOBAMNN的有限时间稳定性的一个充分条件。数值例子表明，与某些现有结果相比，本文获得的有限时间稳定性条件保守性更低。

众所周知，复值神经网络有着重要的应用，因此将BAMNNs推广到复值情形也是十分有意义的，这项工作可以作为今后的进一步研究内容。

基金项目

四川省中央引导地方科技发展专项项目(2022ZYD0008)。