严格α-对角占优M-矩阵A的||A^-1||_∞的上界估计

Upper Estimates of ||A^-1||_∞ for Strictly α-Diagonally Dominant M-Matrices

摘要: 利用严格α-对角占优M-矩阵的元素性质，特殊矩阵级数的收敛性，矩阵范数的性质，矩阵分裂技巧以及严格对角占优M-矩阵逆的无穷范数上界，得到了严格α-对角占优M-矩阵A的||A^-1||_∞一个新的上界估计式。数值例子说明新估计式是可行的、有效的。

Abstract: By using the properties of elements of strictly α-diagonally dominant M-matrices, the convergence of special matrix series, the properties of matrix norm, matrix splitting techniques, and the infinite norm upper bound for the inverse of strictly diagonally dominant M-matrices, a new upper bound estimation formula of ||A^-1||_∞ for strictly α-diagonally dominant M-matrices is obtained. Numerical examples show that the new estimation formula is feasible and effective.

1. 引言

线性互补问题是双矩阵规划问题、线性规划和二次规划的统一结合，是一类重要的优化问题，也是运筹学与计算数学相互交叉的一个研究领域，特殊矩阵线性互补问题解的误差界的研究是许多学者研究的热点。2006年，文献 [1] 将P-矩阵线性互补问题解的误差界的计算变成P-矩阵线性区间系统问题，得到P-矩阵线性互补问题解的误差界的一个新估计式，此后P-矩阵子类的线性互补问题解的误差界的研究大都基于上述结果。如弱链对角占优B-矩阵 [2] [3] 、B^S-矩阵 [4] 、Nekrosov-矩阵 [5] 等。许多特殊矩阵线性互补问题解的误差界都可利用逆矩阵的无穷范数来进行估计，将逆矩阵无穷范数的估计式应用在线性互补问题解的误差界估计上，也一直是一个热门的研究课题。B-矩阵、B^S-矩阵和弱链对角占优B-矩阵的线性互补问题解的误差界 [6] [7] [8] [9] 就是利用严格对角占优M-矩阵逆的无穷范数上界来进行估计的。

严格对角占优M-矩阵是一类应用背景非常丰富的特殊矩阵。1975年，文献 [10] 提出当矩阵A是严格

对角矩阵时，矩阵A的 ${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }$ 的估计式为：

${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le \frac{1}{\min \left\{\left|a_{ii}\right|-{\displaystyle {\sum }_{j\ne i}\left|a_{ij}\right|}\right\}},i\in N.$

1996年，文献 [11] 给出弱对角占优M-矩阵逆矩阵的无穷范数的上界估计式，并将弱对角占优M-矩阵的双边边界应用在电路动力学中，使得M-矩阵逆矩阵无穷范数的估计范围及在其应用问题中有了重大突破，引起了国内外众多学者们的广泛关注。2007年，文献 [12] 利用新的方法得到关于严格对角占优M-矩阵逆矩阵的新上界估计式，这将严格对角占优M-矩阵逆矩阵的无穷范数的研究推向了一个新的高度。

严格α-对角占优M-矩阵是一类由严格对角占优M-矩阵拓展而来的特殊矩阵，许多学科与研究领域都涉及到该类矩阵，例如在运筹学、物理学、科学计算和工程应用、控制论、经济数学等方面严格α-对角占优M-矩阵都有很大的实用价值。同时在矩阵扰动分析、矩阵方程组的求解时需要考虑系数矩阵的条件数问题，此时就需要对矩阵逆的无穷范数的上界进行估计，因此对其逆矩阵的无穷范数的上界进行估

计是很有必要的。2013年，文献 [13] 给出严格α-对角占优M-矩阵 ${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }$ 的上界：

${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le \frac{{\kappa }_1\left(B\right)}{1-{\kappa }_1\left(B\right)\underset{1\le i\le n}{\max }\alpha \left[R_i\left(A\right)-C_i\left(A\right)\right]},$ (1)

其中，

${\kappa }_1\left(B\right)=\frac{1}{\left|b_{11}\right|-{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{n}{\sum }}\left|b_{1k}\right|p_{k1}\left(B\right)}}+{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\sum }}\left[\frac{1}{\left|b_{ii}\right|-{\displaystyle \underset{k\ne i,i\le k\le n}{\overset{n}{\sum }}\left|b_{ik}\right|p_{ki}\left(B\right)}}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{i-1}{\prod }}\frac{1}{1-u_j\left(B\right)l_i\left(B\right)}}\right]}.$

此后，文献 [14] [15] [16] 等又给出了几个优于文献 [13] 结果的估计式。本文将对该问题做进一步研究，给出严格α-对角占M-矩阵逆的无穷范数的一个新的估计式，并用数值算例证明新结果的可行性与有效性。

2. 预备知识

为了方便讨论，本文引进下述记号：设 $A=\left(a_{ij}\right)\in {ℝ}^{n\times n}$ ，记 $N=\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ ，定义：

$R_i\left(A\right)={\displaystyle \underset{j\ne i}{\sum }\left|a_{ij}\right|},C_i\left(A\right)={\displaystyle \underset{j=1,j\ne i}{\overset{n}{\sum }}\left|a_{ji}\right|},r_i\left(A\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\left|a_{ij}\right|},$

$d_i\left(A\right)=\frac{{\displaystyle \underset{j\ne i}{\sum }\left|a_{ij}\right|}}{\left|a_{ii}\right|},J\left(A\right)=\left\{i\in N:d_i<1\right\},u_i\left(A\right)=\frac{{\displaystyle \underset{j=i+1}{\overset{n}{\sum }}\left|a_{ij}\right|}}{\left|a_{ii}\right|},$

$l_k\left(A\right)=\underset{k\le i\le n}{\max }\left\{\frac{{\displaystyle \underset{j\ne i,k\le j\le n}{\sum }\left|a_{ij}\right|}}{\left|a_{ii}\right|}\right\},l_n\left(A\right)=u_n\left(A\right)=0,$

$w_{ij}\left(A\right)=\frac{\left|a_{ij}\right|}{\left|a_{ii}\right|-{\displaystyle \underset{k\ne j,i}{\sum }\left|a_{ik}\right|}},i\ne j,j<k\le n,w_i\left(A\right)=\underset{j\ne i}{\max }\left\{w_{ij}\left(A\right)\right\},$

$p_{ij}\left(A\right)=\frac{\left|a_{ij}\right|+{\displaystyle \underset{k\ne i,j}{\sum }\left|a_{ik}\right|w_k\left(A\right)}}{\left|a_{ii}\right|},i\ne j,j<k\le n,$

$w_{ij}^{\left(m\right)}\left(A\right)=\frac{\left|a_{ij}\right|}{\left|a_{ii}\right|-{\displaystyle \underset{k\ne j,i}{\sum }\left|a_{ik}\right|}},j\ne i,m\le i\le n,m\le k\le n,m\le j\le n,m\in N,$

$w_i^{\left(m\right)}\left(A\right)=\underset{j\ne i}{\max }\left\{w_{ij}^m\left(A\right)\right\},j\ne i,m\le i\le n,m\le k\le n,m\le j\le n,m\in N,$

$m_{ij}\left(A\right)=\frac{\left|a_{ij}\right|+{\displaystyle \underset{k\ne i,j}{\sum }\left|a_{ik}\right|w_k^{\left(1\right)}\left(A\right)}}{\left|a_{ii}\right|},i\ne j,i<k\le n,$

$K^{\left(j\right)}\left(A\right)=\underset{m\le i\le n}{\max }\left\{\frac{\left|a_{ij}\right|+{\displaystyle \underset{\begin{array}{l}k\ne 1,i\\ i\le k\le n\end{array}}{\sum }\left|a_{ik}\right|w_k^{\left(m\right)}\left(A\right)}}{\left|a_{ii}\right|}\right\},j\ne i,m\le i\le n,m\le k\le n,m\le j\le n,m\in N.$

下面介绍一些本文需要用到的定义和引理。

定义1.1 [17] 令 $B=\left(b_{ij}\right)\in {ℝ}^{n\times n}$ ，I为一n阶单位矩阵，如果存在一个 $n\times n$ 非负矩阵C和一个实数k，使得 $B=kI-C$ 。若 $k\ge \rho \left(C\right)$ ，则称B为M-矩阵，若 $k>\rho \left(C\right)$ ，则称B为非奇异M-矩阵，其中 $\rho \left(C\right)$ 为矩阵C的谱半径。

定义1.2 [18] 若定义1.1中的B矩阵还满足条件： $\left|b_{ii}\right|>{\displaystyle \underset{j\ne i}{\sum }\left|b_{ij}\right|}$ ， $i\in \left\{1,\cdots ,n\right\}$ ，则称B为严格对角占优M-矩阵。

定义1.3 [19] 设 $A=\left(a_{ij}\right)\in {ℝ}^{n\times n}$ ， $R_i\left(A\right)=\underset{j\ne i}{{\displaystyle \sum }}\left|a_{ij}\right|$ ， $C_i\left(A\right)=\underset{j\ne i}{{\displaystyle \sum }}\left|a_{ji}\right|$ ，若存在 $\alpha \in \left[0,1\right)$ ，使得：

$\left|a_{ii}\right|>\left(1-\alpha \right)R_i\left(A\right)+\alpha C_i\left(A\right),i\in N,$

则称A为严格α-对角占优矩阵。当 $\alpha =0$ 时，A为严格对角占优矩阵。

若矩阵A是M-矩阵且同时满足定义1.3，那么称A为严格α-对角占优M-矩阵。

引理1.1 [20] 设 $A=\left(a_{ij}\right)\in {ℝ}^{n\times n}$ ，则 $I-A$ 非奇异且矩阵级数 ${\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{A}^K}$ 收敛，当且仅当谱半径 $\rho \left(A\right)<1$ 。此时， ${\left(I-A\right)}^{-1}={\displaystyle \underset{K=0}{\overset{\infty }{\sum }}{A}^K}$ 。此外，若对某个满足 $\Vert I\Vert =1$ 的矩阵范数 $\Vert \ast \Vert$ ，有 $\Vert A\Vert <1$ ，则 ${\displaystyle \underset{K=0}{\overset{\infty }{\sum }}{A}^K}$ 绝对收敛，且有 $\Vert {\left(I-A\right)}^{-1}\Vert \le \frac{1}{1-\Vert A\Vert }$ 。

引理1.2 [21] 设 $B=\left(b_{ij}\right)\in {ℝ}^{n\times n}$ 是严格对角占优M-矩阵，则

$\begin{array}{c}{\Vert B^{-1}\Vert }_{\infty }\le \lambda \left(B\right)\\ =\frac{1}{\left|b_{11}\right|-{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{n}{\sum }}\left|b_{1k}\right|m_{k1}\left(B\right)}}\\ +{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\sum }}\left[\frac{1}{\left|b_{ii}\right|-{\displaystyle \underset{k\ne i,i\le k\le n}{\overset{n}{\sum }}\left|b_{ik}\right|m_{ki}\left(B\right)}}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{i-1}{\prod }}\frac{\max \left\{u_j\left(B\right),1+u_j\left(B\right)\left(K^{\left(j\right)}\left(B\right)-l_j\left(B\right)\right)\right\}}{1-u_j\left(B\right)l_j\left(B\right)}}\right]}.\end{array}$

3. 主要结果

定理2.1 设 $A=\left(a_{ij}\right)\in {ℝ}^{n\times n}$ 是严格α-对角占优M-矩阵， $\alpha \in \left[0,1\right)$ ，若集合

$N_1=\left\{i\in N:R_i\left(A\right)>C_i\left(A\right)\right\}\ne \varnothing$ ，且满足

$\lambda \left(B\right)\underset{1\le i\le n}{\max }\alpha \left[R_i\left(A\right)-C_i\left(A\right)\right]<1,$

则有

${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le \frac{\lambda \left(B\right)}{1-\lambda \left(B\right)\underset{1\le i\le n}{\max }\alpha \left[R_i\left(A\right)-C_i\left(A\right)\right]},$ (2)

其中

$B=\left(b_{ij}\right)\in {ℝ}^{n\times n},b_{ij}=\{\begin{array}{l}{a}_{ii}+\alpha \left[R_i\left(A\right)-C_i\left(A\right)\right],i=j,i\in N_1\\ a_{ij},其他,\end{array}$

$\lambda \left(B\right)=\frac{1}{\left|b_{11}\right|-{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{n}{\sum }}\left|b_{1k}\right|m_{k1}\left(B\right)}}+{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\sum }}\left[\frac{1}{\left|b_{ii}\right|-{\displaystyle \underset{k\ne i,i\le k\le n}{\overset{n}{\sum }}\left|b_{ik}\right|m_{ki}\left(B\right)}}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{i-1}{\prod }}\frac{\max \left\{u_j\left(B\right),1+u_j\left(B\right)\left(K^{\left(j\right)}\left(B\right)-l_j\left(B\right)\right)\right\}}{1-u_j\left(B\right)l_j\left(B\right)}}\right]}.$

证明 由A是严格α-对角占优M-矩阵，知

$\left|a_{ii}\right|>\left(1-\alpha \right)R_i\left(A\right)+\alpha C_i\left(A\right)=R_i\left(A\right)-\alpha \left[R_i\left(A\right)-C_i\left(A\right)\right],\forall i\in N.$

当 $i\in N_1$ 时，有 $R_i\left(A\right)>C_i\left(A\right)$ ，由上式可得

$\left|b_{ii}\right|=a_{ii}+\alpha \left[R_i\left(A\right)-C_i\left(A\right)\right]>R_i\left(A\right)=R_i\left(B\right).$

当 $i\notin N_1$ 时，即 $R_i\left(A\right)\le C_i\left(A\right)$ ，同由上式可得

$\left|b_{ii}\right|=a_{ii}>R_i\left(A\right)-\alpha \left[R_i\left(A\right)-C_i\left(A\right)\right]\ge R_i\left(A\right)=R_i\left(B\right).$

因此可得

${\displaystyle \underset{i\ne j}{\sum }{b}_{ij}}<\left|b_{ii}\right|,$

那么矩阵B为一严格对角占优矩阵，且不难得出B的对角元素为正值，非对角元素非正值。

令 $B=D-P$ ，其中

$D=diag\left(b_{11},\cdots ,b_{nn}\right),P=\left(\begin{array}{cccc}0& \left|a_{12}\right|& \cdots & \left|a_{1n}\right|\\ \left|a_{21}\right|& 0& \cdots & \left|a_{2n}\right|\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \left|a_{n1}\right|& \left|a_{n2}\right|& \cdots & 0\end{array}\right),$

那么有 $D>0$ ， $P\ge 0$ ，且 $D^{-1}>0$ ，则

$D^{-1}P=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{b_{11}}& 0& \cdots & 0\\ 0& \frac{1}{b_{22}}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & \frac{1}{b_{nn}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}0& \left|a_{12}\right|& \cdots & \left|a_{1n}\right|\\ \left|a_{21}\right|& 0& \cdots & \left|a_{2n}\right|\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \left|a_{n1}\right|& \left|a_{n2}\right|& \cdots & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& \frac{\left|a_{12}\right|}{b_{11}}& \cdots & \frac{\left|a_{1n}\right|}{b_{11}}\\ \frac{\left|a_{21}\right|}{b_{22}}& 0& \cdots & \frac{\left|a_{2n}\right|}{b_{22}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\left|a_{n1}\right|}{b_{nn}}& \frac{\left|a_{n2}\right|}{b_{nn}}& \cdots & 0\end{array}\right)>0.$

由

$\rho \left(D^{-1}P\right)\le {\Vert D^{-1}P\Vert }_{\infty },$

且B为严格对角占优矩阵可得：

${\Vert D^{-1}P\Vert }_{\infty }=\max \left\{{\displaystyle \underset{j\ne i}{\sum }\frac{\left|b_{ij}\right|}{b_{ii}}}\right\}<1,$

即有 $\rho \left(D^{-1}P\right)\le {\Vert D^{-1}P\Vert }_{\infty }<1$ 。

由引理1.1，矩阵级数 ${\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{\left(D^{-1}P\right)}^K}$ 收敛，且有

$\begin{array}{l}{\left(I-D^{-1}H\right)}^{-1}={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{\left(D^{-1}P\right)}^K}=I+D^{-1}P+{\left(D^{-1}P\right)}^2+\cdots ,\\ B^{-1}={\left(D-P\right)}^{-1}={\left(I-D^{-1}P\right)}^{-1}{D}^{-1}=\left(I+D^{-1}P+{\left(D^{-1}P\right)}^2+\cdots \right)D^{-1}\ge 0,\end{array}$

因此，由M-矩阵的等价定义可以判断矩阵B为一严格对角占优M-矩阵。

再对B应用估计式 $\lambda \left(B\right)$ 得 ${\Vert B^{-1}\Vert }_{\infty }\le \lambda \left(B\right)$ 。

将矩阵A进行分裂，使得 $A=B-G$ ，其中 $B=\left(b_{ij}\right)$ ， $G=\left(g_{ij}\right)$ ，且

$b_{ij}=\{\begin{array}{l}{a}_{ii}+\alpha \left[R_i\left(A\right)-C_i\left(A\right)\right],i=j,R_i\left(A\right)>C_i\left(A\right)\\ a_{ij},其他;\end{array}$

$g_{ij}=\{\begin{array}{l}\alpha \left[R_i\left(A\right)-C_i\left(A\right)\right],i=j,R_i\left(A\right)>C_i\left(A\right)\\ 0,其他.\end{array}$

那么

${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }={\Vert {\left(B-G\right)}^{-1}\Vert }_{\infty }={\Vert {\left(I-B^{-1}G\right)}^{-1}{B}^{-1}\Vert }_{\infty }\le {\Vert {\left(I-B^{-1}G\right)}^{-1}\Vert }_{\infty }{\Vert B^{-1}\Vert }_{\infty }.$

下面对 ${\Vert {\left(I-B^{-1}G\right)}^{-1}\Vert }_{\infty }$ 进行估计，

$\rho \left(B^{-1}G\right)<{\Vert B^{-1}G\Vert }_{\infty }\le {\Vert B^{-1}\Vert }_{\infty }{\Vert G\Vert }_{\infty }\le \lambda \left(B\right)\underset{1\le i\le n}{\max }\alpha \left[R_i\left(A\right)-C_i\left(A\right)\right]<1,$

满足引理1.1的条件。那么就有

${\Vert {\left(I-B^{-1}G\right)}^{-1}\Vert }_{\infty }\le \frac{1}{1-{\Vert B^{-1}G\Vert }_{\infty }}\le \frac{1}{1-\lambda \left(B\right)\underset{1\le i\le n}{\max }\alpha \left[R_i\left(A\right)-C_i\left(A\right)\right]},$

整理可得

${\Vert A^{-1}\Vert }_{\infty }\le \frac{\lambda \left(B\right)}{1-\lambda \left(B\right)\underset{1\le i\le n}{\max }\alpha \left[R_i\left(A\right)-C_i\left(A\right)\right]}.$

4. 数值算例

例1设 $A_1=\left(\begin{array}{cc}2& -1.8\\ -3.1& 3\end{array}\right)$ ，当 $\alpha$ 取0.08时， $A_1$ 为一严格α-对角占优M-矩阵，求 ${\Vert A_1^{-1}\Vert }_{\infty }$ 。

解：

$A_1^{-1}=\left(\begin{array}{cc}7.14& 4.29\\ 7.38& 4.76\end{array}\right),{\Vert A_1^{-1}\Vert }_{\infty }\approx 12.142,$

将 $A_1$ 进行分解： $A_1=B_1-G_1$ ，其中

$B_1=\left(\begin{array}{cc}2& -1.8\\ -3.1& 3.104\end{array}\right),G_1=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0.104\end{array}\right).$

由(2)式给出的估计式可计算得出 ${\Vert A_1^{-1}\Vert }_{\infty }\le 12.848$ ，与 ${\Vert A_1^{-1}\Vert }_{\infty }$ 的真实值的误差较小。由该例可以证明，新估计式是可行的。

例2设 $A_2=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ -1& 2& -1\\ -0.5& 0& 2\end{array}\right)$ ，当取 $\alpha =0.5$ 时， $A_2$ 为一严格α-对角占优M-矩阵，求 ${\Vert A_2^{-1}\Vert }_{\infty }$ 。

解：

$A_2^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0.8889& 0.4444& 0.6667\\ 0.5556& 0.7778& 0.6667\\ 0.2222& 0.1111& 0.6667\end{array}\right),$

计算得出 ${\Vert A_2^{-1}\Vert }_{\infty }\approx 2$ 。

将 $A_2$ 进行分解， $A_2=B_2-G_2$ ，其中

$B_2=\left(\begin{array}{ccc}2.25& -1& -1\\ -1& 2.5& -1\\ -0.5& 0& 2\end{array}\right),G_2=\left(\begin{array}{ccc}0.25& 0& 0\\ 0& 0.5& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$

由(1)式给出的估计式可得 ${\Vert A_2^{-1}\Vert }_{\infty }\le 11.4259$ ，由(2)式得 ${\Vert A_2^{-1}\Vert }_{\infty }\le 10.2645$ 。

又 $10.2645<11.4259$ ，那么新估计式优于文献 [13] 给出的估计式，说明新估计式改进了已有的结果。

例3设

经计算当取 $\alpha =0.06$ 时， $A_3$ 为一严格α-对角占优M-矩阵，求 ${\Vert A_3^{-1}\Vert }_{\infty }$ 。

解：

$A_3^{-1}=\left(\begin{array}{rrrrrrrrrr}\hfill 0.0135& \hfill 0.0034& \hfill 0.0061& \hfill 0.0048& \hfill 0.0050& \hfill 0.0073& \hfill 0.0058& \hfill 0.0057& \hfill 0.0069& \hfill 0.0059\\ \hfill 0.0029& \hfill 0.0122& \hfill 0.0053& \hfill 0.0033& \hfill 0.0042& \hfill 0.0056& \hfill 0.0045& \hfill 0.0050& \hfill 0.0065& \hfill 0.0051\\ \hfill 0.0036& \hfill 0.0037& \hfill 0.0202& \hfill 0.0050& \hfill 0.0054& \hfill 0.0071& \hfill 0.0060& \hfill 0.0050& \hfill 0.0082& \hfill 0.0081\\ \hfill 0.0035& \hfill 0.0031& \hfill 0.0067& \hfill 0.0179& \hfill 0.0054& \hfill 0.0074& \hfill 0.0063& \hfill 0.0048& \hfill 0.0075& \hfill 0.0059\\ \hfill 0.0038& \hfill 0.0030& \hfill 0.0058& \hfill 0.0042& \hfill 0.0180& \hfill 0.0075& \hfill 0.0059& \hfill 0.0055& \hfill 0.0076& \hfill 0.0058\\ \hfill 0.0038& \hfill 0.0044& \hfill 0.0090& \hfill 0.0068& \hfill 0.0075& \hfill 0.0262& \hfill 0.0076& \hfill 0.0076& \hfill 0.0104& \hfill 0.0084\\ \hfill 0.0035& \hfill 0.0042& \hfill 0.0074& \hfill 0.0054& \hfill 0.0058& \hfill 0.0090& \hfill 0.0209& \hfill 0.0061& \hfill 0.0091& \hfill 0.0086\\ \hfill 0.0037& \hfill 0.0048& \hfill 0.0070& \hfill 0.0069& \hfill 0.0072& \hfill 0.0099& \hfill 0.0063& \hfill 0.0220& \hfill 0.0100& \hfill 0.0095\\ \hfill 0.0030& \hfill 0.0045& \hfill 0.0067& \hfill 0.0051& \hfill 0.0053& \hfill 0.0071& \hfill 0.0066& \hfill 0.0066& \hfill 0.0277& \hfill 0.0080\\ \hfill 0.0044& \hfill 0.0042& \hfill 0.0074& \hfill 0.0077& \hfill 0.0082& \hfill 0.0103& \hfill 0.0070& \hfill 0.0073& \hfill 0.0116& \hfill 0.0284\end{array}\right),$

通过计算 ${\Vert A_3^{-1}\Vert }_{\infty }$ 的真实值约为0.096316。

将 $A_3$ 进行分解，得 $A_3=B_3-G_3$ ，其中

$B_3=\left(\begin{array}{cccccccccc}91.14& -7& -9& -7& -6& -9& -9& -9& -4& -3\\ -9& 101.60& -10& -1& -6& -5& -6& -10& -8& -3\\ -6& -6& 66& -5& -5& -4& -6& -2& -6& -9\\ -7& -3& -9& 71.24& -7& -7& -9& -2& -5& -2\\ -10& -2& -5& -2& 72& -8& -8& -6& -6& -2\\ -2& -4& -10& -7& -8& 54& -6& -7& -6& -3\\ -3& -7& -8& -4& -4& -9& 64& -4& -6& -8\\ -2& -9& -3& -9& -8& -9& -2& 61.42& -6& -9\\ -1& -8& -5& -3& -2& -2& -6& -6& 48& -5\\ -4& -2& -2& -9& -9& -7& -2& -4& -8& 47.18\end{array}\right)$

$G_3=\left(\begin{array}{cccccccccc}1.14& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0.60& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0.24& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0.42& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0.18\end{array}\right),$

根据(1)式可计算得出 ${\Vert A_3^{-1}\Vert }_{\infty }\le 10.5439$ ，利用本文给的新估计式可得 ${\Vert A_3^{-1}\Vert }_{\infty }\le 9.3562$ 。

上述三个例子说明，本文给出的严格α-对角占优M-矩阵逆的无穷范数的新估计式是可行的，并且改进了原有的某些结果。

基金项目

吉首大学研究生科研创新项目(JGY2023067)。

NOTES

^*通讯作者。