关于非线性矩阵方程X^s-A₁^*X^-t₁A₁-A₂^*X^-t₂A₂=Q的若干结果

Some Results on the Nonlinear Matrix Equation X^s-A₁^*X^-t₁A₁-A₂^*X^-t₂A₂=Q

摘要: 本文主要研究非线性矩阵方程X^s− A₁^∗X^−t₁A₁−A₂^∗X^−t₂A₂=Q的正定解，其中A₁、A₂为n×n复矩阵，s、t₁、t₂为正整数，Q为n×n正定矩阵。文中将矩阵方程等价变形后，基于线性方程组在系数矩阵非列满秩时有非零解和矩阵特征值、特征向量的定义，研究了该矩阵方程正定解的最大和最小特征值的性质。通过正定矩阵的Cholesky分解给出了该非线性矩阵方程存在Hermitian正定解的新的充分必要条件。

Abstract: In this paper, we mainly investigate the Hermitian positive definite solution of the nonlinear matrix equation X^s− A₁^∗X^−t₁A₁−A₂^∗X^−t₂A₂=Q, where A₁,A₂ are n×n complex matrices, s、t₁、t₂ are positive integers and Q is an n×n positive definite matrix. Firstly, by equivalent deformation of the matrix equation, with the help of the theory that linear equations have non-zero solutions when the coefficient matrix is not full columnrank, and the definition of matrix eigenvalue and ei-genvector, the property of the maximum and minimum eigenvalues of positive definite solutionsis studied. Next, by Cholesky decomposition of positive definite matrix, a new sufficient and necessary condition for the equation to have a positive definite solution is proposed.

1. 引言

非线性矩阵方程在运输理论、控制理论、量子力学、动态规划、统计学、梯形网络等学科和工程计算中都有着广泛的应用，其中的很多实际问题都会转化为矩阵方程的求解问题。比如，在控制系统的设计中，确定系统的稳定性和系统的最优控制过程中的有些问题，会转化为非线性矩阵方程的求解的问题。在工程计算中，化简大型线性方程组的过程中，求解矩阵方程是关键。因此，对非线性矩阵方程解的存在性和求解问题的研究，是近些年来数值代数和非线性分析领域中研究及探讨的重要课题之一。

早在二十世纪九十年代初，人们就开始对矩阵方程 $X+A^{*}{X}^{-1}A=Q$ 进行研究，随着研究的深入，人们开始研究该方程的扩展形式 $X^s+A^{*}{X}^{-t}A=Q$ ，对该矩阵方程正定解的存在性、正定解的性质、正定解的扰动、正定解的迭代算法等理论进行了系统地研究 [1] [2] [3] [4] [5] 。对于更一般形式的非线性矩阵方程

$X^s-A_1^{\ast }{X}^{-t_1}{A}_1-A_2^{\ast }{X}^{-t_2}{A}_2=Q$ (1)

Al-Dubiban和El-Sayed推导出当 $s,t\in \left(0,1\right]$ 时非线性方程 $X-A^{*}{X}^{-s}A-B^{*}{X}^{-t}B=I$ 正定解存在的必要条件和充分条件 [6] 。段雪峰，廖安平等利用正规锥上的混合单调算子的不动点定理证明了矩阵方程 $X-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{A}_i^{\ast }{X}^{-{\sigma }_i}{A}_i}=Q\left(0<\left|{\sigma }_i\right|<1\right)$ 存在唯一正定解，并给出了求得此唯一正定解的数值解法 [7] 。Lim利用Thompson度量下的压缩映像原理证明了矩阵方程存在唯一正定解 [8] 。段雪峰等利用范数不等式和Thompson度量，推导出关于矩阵方程 $X-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{A}_i^{\ast }{X}^{-{\sigma }_i}{A}_i}=Q\left(0<\left|{\sigma }_i\right|<1\right)$ 的两个扰动界 [9] 。但对于更一般的情况， $s、t_1、t_2$ 为正整数时，学者研究得还比较少，还有许多问题需要进一步研究。

本文在 $s、t_1、t_2$ 为正整数的条件下，研究了矩阵方程(1)正定解的最大和最小特征值的性质以及存在正定解的充分和必要条件，将对矩阵方程 $X^s+A^{*}{X}^{-t}A=Q$ 的研究成果，推广到了更一般形式的矩阵方程上。

对于Hermitian正定矩阵文中用 $A>O\left(A\ge O\right)$ 表示A是正定矩阵(半正定矩阵)；对矩阵A， $A^{\text{*}}$ 表示A的共轭转置， ${\lambda }_1\left(A\right)、{\lambda }_n\left(A\right)$ 表示矩阵A的最大和最小特征值， ${\lambda }_i\left(A\right)$ 表示矩阵A的第i个特征值， $r\left(A\right)$ 表示矩阵A的秩。

2. 主要结论

引理1 [10] (矩阵的Cholesky分解定理)设A为Hermitian正定矩阵，则存在一个对角元为正数的下三角矩阵L，使得 $A=L^{*}L$ 成立。

引理2 [11] 对于 $n\times n$ Hermitian正定矩阵P和Q， $1\le i,j\le n$ ，下面不等式成立：

${\lambda }_{i+j-1}\left(PQ\right)\le {\lambda }_i\left(P\right){\lambda }_j\left(Q\right)$ ， $i+j\le n+1$ ，

${\lambda }_{i+j-n}\left(PQ\right)\ge {\lambda }_i\left(P\right){\lambda }_j\left(Q\right)$ ， $i+j\ge n+1$ 。

引理3 [12] 若 $A>B>O\left(A\ge B>O\right)$ ，则当 $\alpha \in \left(0,1\right]$ 时有 $A^{\alpha }>B^{\alpha }>0\left(A^{\alpha }\ge B^{\alpha }>O\right)$ ；则当 $\alpha \in \left[-1,0\right)$ 时有 $0<A^{\alpha }<B^{\alpha }\left(0<A^{\alpha }\le B^{\alpha }\right)$ 。

定理1 当 $A_1、A_2$ 为奇异矩阵且满足 $r\left(\begin{array}{l}{A}_1\\ A_2\end{array}\right)<n$ 时，如果矩阵方程(1)有正定解X，则

${\lambda }_n\left(Q^{-\frac{1}{2}}{X}^s{Q}^{-\frac{1}{2}}\right)=1$ .

证明：矩阵方程(1)等价于

$Q^{-\frac{1}{2}}{X}^s{Q}^{-\frac{1}{2}}-Q^{-\frac{1}{2}}{A}_1^{\ast }{X}^{-t_1}{A}_1{Q}^{-\frac{1}{2}}-Q^{-\frac{1}{2}}{A}_2^{\ast }{X}^{-t_2}{A}_2{Q}^{-\frac{1}{2}}=I$ . (2)

若矩阵 $A_1、A_2$ 为奇异矩阵且 $r\left(\begin{array}{l}{A}_1\\ A_2\end{array}\right)<n$ ，则线性方程组 $\left(\begin{array}{l}{A}_1\\ A_2\end{array}\right)x=0$ 有非零解，存即在非零向量 $x_0$ 使得 $A_1{x}_0=A_2{x}_0=0$ 。从而， $A_1{Q}^{-\frac{1}{2}}{Q}^{\frac{1}{2}}{x}_0=A_2{Q}^{-\frac{1}{2}}{Q}^{\frac{1}{2}}{x}_0=0$ 。因为 $x_0\ne 0$ ，Q为正定矩阵，所以 $Q^{\frac{1}{2}}{x}_0\ne 0$ 。令 $Q^{\frac{1}{2}}{x}_0=y$ ，则 $A_1{Q}^{-\frac{1}{2}}y=A_2{Q}^{-\frac{1}{2}}y=0$ 且 $y\ne 0$ 。由等式(2)得

$Q^{-\frac{1}{2}}{X}^s{Q}^{-\frac{1}{2}}y-Q^{-\frac{1}{2}}{A}_1^{\ast }{X}^{-t_1}{A}_1{Q}^{-\frac{1}{2}}y-Q^{-\frac{1}{2}}{A}_2^{\ast }{X}^{-t_2}{A}_2{Q}^{-\frac{1}{2}}y=y$ .

结合前面有

$Q^{-\frac{1}{2}}{X}^s{Q}^{-\frac{1}{2}}y=y$ .

所以，1为矩阵 $Q^{-\frac{1}{2}}{X}^s{Q}^{-\frac{1}{2}}$ 的一个特征值。

另一方面，由(2)式易知 $Q^{-\frac{1}{2}}{X}^s{Q}^{-\frac{1}{2}}\ge I$ ，所以 ${\lambda }_n\left(Q^{-\frac{1}{2}}{X}^s{Q}^{-\frac{1}{2}}\right)\ge 1$ 。综上 ${\lambda }_n\left(Q^{-\frac{1}{2}}{X}^s{Q}^{-\frac{1}{2}}\right)=1$ ，证毕。

定理2 当 $A_1、A_2$ 为奇异矩阵且满足 $r\left(\begin{array}{l}{A}_1\\ A_2\end{array}\right)<n$ 时，如果矩阵方程(1)有正定解X，则有下列不等式成立

${\lambda }_n^{\frac{1}{s}}\left(Q\right)\le {\lambda }_n\left(X\right)\le {\lambda }_1^{\frac{1}{s}}\left(Q\right)$ . (3)

证明：由定理1和引理2，我们有

$1={\lambda }_n\left(Q^{-\frac{1}{2}}{X}^s{Q}^{-\frac{1}{2}}\right)\ge {\lambda }_n^s\left(X\right){\lambda }_n\left(Q^{-1}\right)=\frac{{\lambda }_n^s\left(X\right)}{{\lambda }_1\left(Q\right)}$ .

由此， ${\lambda }_n\left(X\right)\le {\lambda }_1^{\frac{1}{s}}\left(Q\right)$ 。

另一方面，由矩阵方程(1)有 $X^s\ge Q$ ，所以 ${\lambda }_n^s\left(X\right)\ge {\lambda }_n\left(Q\right)$ ，即 ${\lambda }_n\left(X\right)\ge {\lambda }_n^{\frac{1}{s}}\left(Q\right)$ 。综上， ${\lambda }_n^{\frac{1}{s}}\left(Q\right)\le {\lambda }_n\left(X\right)\le {\lambda }_1^{\frac{1}{s}}\left(Q\right)$ 成立。

定理3 矩阵方程(1)有解当且仅当 $A_1、A_2$ 分别可以分解成下列形式：

$A_1={\left(L^{*}L\right)}^{\frac{t_1}{2s}}{N}_1$ ， $A_2={\left(L^{*}L\right)}^{\frac{t_2}{2s}}{N}_2$ ，

其中L为正定下三角矩阵，并且 $Q^{-\frac{1}{2}}{L}^{\ast }L{Q}^{-\frac{1}{2}}-Q^{-\frac{1}{2}}{N}_1^{\ast }{N}_1{Q}^{-\frac{1}{2}}-Q^{-\frac{1}{2}}{N}_2^{\ast }{N}_2{Q}^{-\frac{1}{2}}=I$ 。在这种情况下， $X={\left(L^{*}L\right)}^{\frac{1}{s}}$ 是矩阵方程(1)的解。

证明：若矩阵方程(1)有正定解X，则 $X^s>O$ 。由引理1，把 $X^s$ 分解为 $X^s=L^{*}L$ ，其中L为正定下三角矩阵。那么方程(1)等价于

$Q^{-\frac{1}{2}}{L}^{*}L{Q}^{-\frac{1}{2}}-Q^{-\frac{1}{2}}{A}_1^{*}{\left(L^{*}L\right)}^{-\frac{t_1}{2s}}{\left(L^{*}L\right)}^{-\frac{t_1}{2s}}{A}_1{Q}^{-\frac{1}{2}}-Q^{-\frac{1}{2}}{A}_2^{*}{\left(L^{*}L\right)}^{-\frac{t_2}{2s}}{\left(L^{*}L\right)}^{-\frac{t_2}{2s}}{A}_2{Q}^{-\frac{1}{2}}=I$ .

设 $N_1={\left(L^{*}L\right)}^{-\frac{t_1}{2s}}{A}_1$ ， $N_2={\left(L^{*}L\right)}^{-\frac{t_2}{2s}}{A}_2$ ，那么 $A_1={\left(L^{*}L\right)}^{\frac{t_1}{2s}}{N}_1$ ， $A_2={\left(L^{*}L\right)}^{\frac{t_2}{2s}}{N}_2$ 。整理上述方程得 $Q^{-\frac{1}{2}}{L}^{*}L{Q}^{-\frac{1}{2}}-Q^{-\frac{1}{2}}{N}_1^{*}{N}_1{Q}^{-\frac{1}{2}}-Q^{-\frac{1}{2}}{N}_2^{*}{N}_2{Q}^{-\frac{1}{2}}=I$ 。必要性得证。

反之，若 $A_1、A_2$ 分别可以分解成 $A_1={\left(L^{*}L\right)}^{\frac{t_1}{2s}}{N}_1$ ， $A_2={\left(L^{*}L\right)}^{\frac{t_2}{2s}}{N}_2$ ，令 $X={\left(L^{*}L\right)}^{\frac{1}{s}}$ 代入矩阵方程(1)得

$\begin{array}{l}{X}^s-A_1^{*}{X}^{-t_1}{A}_1-A_2^{*}{X}^{-t_2}{A}_2\\ =L^{*}L-N_1^{*}{\left(L^{*}L\right)}^{\frac{t_1}{2s}}{\left(L^{*}L\right)}^{-\frac{t_1}{s}}{\left(L^{*}L\right)}^{\frac{t_1}{2s}}{N}_1-N_2^{*}{\left(L^{*}L\right)}^{\frac{t_2}{2s}}{\left(L^{*}L\right)}^{-\frac{t_2}{s}}{\left(L^{*}L\right)}^{\frac{t_2}{2s}}{N}_2\\ =L^{*}L-N_1^{*}{N}_1-N_2^{*}{N}_2\\ =Q^{\frac{1}{2}}\left(Q^{-\frac{1}{2}}{L}^{*}L{Q}^{-\frac{1}{2}}-Q^{-\frac{1}{2}}{N}_1^{*}{N}_1{Q}^{-\frac{1}{2}}-Q^{-\frac{1}{2}}{N}_2^{*}{N}_2{Q}^{-\frac{1}{2}}\right)Q^{\frac{1}{2}}\\ =Q.\end{array}$

于是，此时矩阵方程(1)有正定解，且 $X={\left(L^{*}L\right)}^{\frac{1}{s}}$ 是矩阵方程(1)的正定解。必要性得证。