1. 引言
不等式被应用于经济学、变分理论、运筹学、概率论等诸多学科,矩阵作为一个重要的数学工具,被广泛应用于概率论、数值分析、运筹学、统计学等领域,而矩阵不等式(矩阵特征值不等式、矩阵奇异值不等式、矩阵范数不等式)在矩阵论的研究中不可或缺,其在理论研究和实际应用中都有非常重要的作用,近年来,实数不等式与矩阵不等式的联系引起许多学者的研究,很大一部分学者都是将数值不等式推广到矩阵不等式上,詹兴致 [1] 将算术几何均值不等式推广为矩阵酉不变范数不等式,R. Bhatia [2] 对詹兴致的结论添加任意矩阵X进行推广。T. Ando [3] 将经典Young不等式推广为矩阵的酉不变范数不等式,M. Sababheh [4] 对T. Ando的结论进一步细化,此外还有许多学者对算术几何均值不等式与Young不等式进一步细化改进 [5] [6] [7] [8] [9] 。基于Frobenius范数 [10] [11] [12] 可以用来衡量矩阵的超越性能,如机器学习的运算时间、度量神经网络的拟合性能等,因此本文考虑将实数不等式推广为矩阵论中的Frobenius范数不等式,并且进一步得到Frobenius范数不等式的推广形式。本文基于实数不等式和矩阵不等式的相关知识,在结论1中对文献 [13] 中的结论进一步总结细化,在结论2中,基于伯努利不等式 [14] 常被用于证明其他不等式的关键步骤,考虑将其推广为矩阵范数不等式,使其成为证明其他范数不等式的关键步骤。
2. 预备知识
定义2.1:对任何一个矩阵
,用
表示按照某个法则确定的与矩阵A对应的实数,满足
1) 非负性:当
,则
;若
,则
。
2) 齐次性:
,k为任意复数。
3) 三角不等式:对于任何两个同类型的矩阵
都有
。
4) 矩阵乘法的相容性:若
可乘,则有
。
则称对应于A的这个实数
是矩阵A的矩阵范数。本文主要用到矩阵的Frobenius范数。
定义2.2:令矩阵
,
,矩阵的Frobenius范数如下:
。
引理2.1:令
,验证
满足矩阵范数的定义。
证明:非负性齐次性易证,下证三角不等式的和相容性,设矩阵
,
则
。
设
,
,则
,
根据Holder不等式可得
,
即证
。
3. 结论1
本节的研究主要针对引理3.1展开。
引理3.1:对任意实数x,当
时,有
成立。
证明:当
,有
,即证。
定理3.1:令A为n阶正规矩阵,
,则有
成立。
证明:设A的特征值为
,则
的特征值为
。由引理2.1可知
,即
。
定理3.2:令A为n阶正规矩阵,
,则有
成立。
证明:设A的特征值为
,则kA的特征值为
,
的特征值为
。存在酉矩阵U和V,使得
,这里
,
。已知矩阵的Frobenius范数为酉不变范数,从而有
由引理3.1可知
。
定理3.3:令
为n阶正规矩阵,
,则有
成立。
证明:存在酉矩阵U和V,使得
,
,这里有
,
。
可以通过酉变换写作如下形式:
,
所以
,
设
,从而有
,
同理可以得到
。
由引理3.1可知
。
证毕。
例子3.1:设
,给出正规矩阵
,
,
当
,
;
当
,
,
,
,
;
当
,
,
,
,
;
当
,
,
,
,
;
当
,
,
,
,
;
即证定理3.2和定理3.3成立,即
,
。
4. 结论2
本节的研究主要针对引理4.1展开。
引理4.1 (伯努利不等式):对任意整数
和任意实数
,有
成立。
证明:证明过程较简单,略。
定理4.1:令A为n阶正规矩阵,满足
,有
,这里
。
证明:设A的特征值为
,则
的特征值为
,
的特征值为
。由引理4.1可知
,即证
。
定理4.2:令A为n阶正规矩阵,满足
,有
,这里
。
证明:设A的特征值为
,则
的特征值为
,
的特征值为
。存在酉矩阵U和V,使得
,
,这里
,
。从而有
,
,
由引理4.1可知,
,即得
。证毕。
定理4.3:令
为n阶正规矩阵,满足
,
,有
,这里
。
证明:存在酉矩阵U和V,使得
,
,这里有
,
。则
,
。
所以
,
。
设
,从而有
,
。
由引理4.1可知,
,即得
,令
,此时,
在
时成立。
例子4.1:给出正规矩阵
,
,
当
时,
,
;
当
时,
,
;
时,定理4.3显然成立,即证定理4.2和定理4.3成立。
5. 结语
本文将实数不等式推广为Frobenius范数不等式,在之后的研究中也可以将本文的不等式推广为矩阵核范数不等式。但是因为矩阵乘法一般不具有乘法交换性,将数值不等式推广到矩阵领域有一定的难度,因此,将数值不等式推广为矩阵不等式的探索仍具有研究性。更进一步,因为矩阵是特殊的张量,因此可以考虑将矩阵不等式的研究结论推广为张量范数不等式。