复杂网络下地铁–公交路网级联失效研究

Study of Subway-Bus Network Cascade Failure under Complex Network

摘要: 为研究城市公共交通网络的性能，以复杂网络理论为基础，对武汉市公交网络和地铁网络进行系统性分析，利用改进的Space-l方法构建双层复合网络，并进行网络受到自然灾害后的性能影响分析，以网络效率、网络连通率和故障站点比率作为网络性能的度量指标，对负载重分配下节点的非线性容量转移模型中的参数进行分析，并对有无级联失效下蓄意和随意两种攻击方式对复合网络破坏程度及单一网络与复合网络受到攻击后造成的影响的程度进行对比并得出了结论。

Abstract: In order to study the performance of the urban public transport network, based on the complex network theory, this paper systematically analyzes the bus network and subway network in Wuhan, uses the improved Space-L method to construct a double-layer composite network, and analyzes the performance impact of the network after natural disasters. This paper compares the degree of damage to the composite network and the impact of the single network and the composite network under the risk of cascading failure, deliberate and arbitrary, and draws conclusions.

1. 引言

复杂网络研究体系的日趋成熟，使得其分析方法在交通领域有越来越深入的应用。复杂网络的结构复杂性也带来了一些问题，其中之一便是级联失效现象。级联失效是指当一个节点或者边在网络中失效时，会引发其他节点或者边的失效，从而导致整个网络的崩溃。这种现象在现实生活中也经常出现，比如电力系统中一个电力站的故障可能会引发整个电网的崩溃，或者交通系统中一条道路的封闭可能会引发整个交通网络的瘫痪。

Albert等最早开始研究复杂网络在节点失效情况下的性能 [1] ，采用随机与选择性攻击来对不同网络进行攻击测试。在性能指标测度方面，孙成雨 [2] 等对粒子群算法进行改进，创造出一种点韧性的评价体系。赵一帆 [3] 等根据不同网络结构特点研究不同交通流分配方式对系统总阻抗的影响。吴建军 [4] 根据城市交通网络的特点，研究了网络结构复杂性。马景富 [5] 等对贵阳市公交停靠站点网络的一部分上的级联失效进行了仿真分析。结果表明，随着容许系数α增大，该网络的鲁棒性有了较明显的提高。刘朝阳 [6] 等和王正武 [7] 等考虑节点负载对网络性能的影响，研究级联失效下网络性能的变化。李成兵 [8] 等用实际客流加权，采用改进的剩余容量分配策略，构建复合交通网络级联失效模型。熊志华 [9] 等基于轨道交通拥挤传播机理分析，将物理结构、网络初始交通状态、客流量融合进耦合映像格子模型中，通过历史客流数据量化参数，构建轨道交通拥挤传播模型。ZHANG [10] 等在线路密度与相对发车频率方面改进Space-l方法，分析了网络的级联失效行为。LIU [11] 等测试了车站容量对动态韧性结果的影响，并分析了韧性演变过程。高洁 [12] 等基于客流出行的起终点建立了城市轨道交通网络的抗毁可靠性测度指标体系。

上述国内外研究和仿真分析对象主要是单一地铁或公交网络；认为站点负荷与容量存在线性关系，未考虑网络中存在着负荷较小却具有较大额外容量的站点；未对容量参数的最佳取值定量化分析，局限于定性分析容量参数对级联失效的影响。因此，本文将以公交–地铁双层网络为研究对象，分析其在级联失效下受到的影响，探讨最优负载分配策略，以提高路网适应能力和可靠性，为保障城市公共交通安全运行提供理论帮助。

2. 理论基础

公共交通网络在受到自然灾害下后，某些网络节点或连边失效，构建无向非加权网络，将地铁站点与常规公交站点作为复合网络节点，如图1。考虑部分近邻公交站点的重复性，对相距50 m内的重名站点进行合并处理；其次，考虑线路站点的对称性，对上下行的线路与站点进行合并处理。当地铁车站周边300 m范围内有公交站台时，则视作此地铁节点与此部分公交节点间均有连接边。

以武汉市为例，依据武汉市城市轨道交通近期建设规划及武汉市市区公交线网(通过武汉市公交集团线路信息系统采集)，如图2。构建地铁–公交复合网络，其中地铁网络由14条地铁线路共305个地铁站点构成，常规公交网络由514条常规公交线路共4374个公交站点构成，地铁–公交复合网络共由528条线路共4679个站点构成，网络间连边257条，部分连边站点如表1所示。

Figure 1. Schematic representation of the bilayer network

图1. 双层网络示意图

Figure 2. Wuhan city traffic network topology map. (a) Topology of Wuhan bus; (b) Topology of Wuhan subway

图2. 武汉市交通网络拓扑图。(a) 武汉市公交拓扑图；(b) 武汉市地铁拓扑图

Table 1. The network part connects to the edge site

表1. 网络部分连边站点

3. 研究方法

文章采用改进的Space-l方法构建无向加权网络：将站点映射为网络的节点，相邻站点间的线路映射为网络的边；统一将上行线路作为该线路的标准行驶线路；边权重为通过站点间各公交线路数相对发车频率之和，进而构建加权网络。

边权重由式(1)和(2)表示为：

$R{f}_i=\frac{f_i}{\min \left(f_1,f_2,\cdots ,f_n\right)}$ (1)

$W_{i,j}={\displaystyle \sum {}_{n=1}^p{A}_{ij}^{n}R{f}_n}$ (2)

式中 $R{f}_i$ 为线路i的相对发车频率； $f_i$ 为线路i的实际发车频率，趟/h；p为网络的总线路数量，个； $W_{i,j}$ 为边 $e_{i,j}$ 的权重； $A_{ij}^n$ 的值取决于线路n是否经过边 $e_{i,j}$ 若线路n经过边 $e_{i,j}$ ，则 $A_{ni,j}=1$ ，若线路n未经过边 $e_{i,j}$ 则 $A_{ij}^n=0$ ； $R{f}_n$ 为线路n的相对发车频率。

3.1. 站点初始负荷与容量

站点强度能更好地反映站点的负荷情况，因此文章将站点强度映射于区间(0, 1)后的特殊归一化值作为站点的初始负荷 [13] ，由式(3)和(4)表示为：

$S_i={\displaystyle \sum {}_{j\in {\Gamma }_i}{W}_{i,j}}$ (3)

$S{L}_i\left(0\right)=0.1+0.8\times \frac{S_i-\min \left(S_i\right)}{\max \left(S_i\right)-\min \left(S_i\right)}$ (4)

式中 $S_i$ 为站点i的强度； ${\Gamma }_i$ 为站点i的相邻站点集合； $S{L}_i\left(0\right)$ 为站点的初始负荷。经典的负荷–容量模型(Motter-Lai，简称M-L)认为节点容量与负荷呈正相关的线性关系，但在实际网络中站点容量与负荷并非简单线性关系，存在着负荷较小的站点有着较大的未使用容量，如新建或偏远的公交站点。文章采用改进的M-L模型，通过容量参数α调节不同负荷站点的额外容量，使其负荷越接近于容量。站点容量设置由式(5)表示为：

$S{C}_i=S{L}_i\left(0\right)+\beta S{L}_i{\left(0\right)}^{\alpha }$ (5)

式中 $S{C}_i$ 为站点i的容量；α，β为2个容量参数，均位于区间 $\left(0,1\right]$ 。

3.2. 负荷重分配

网络中的站点存在正常和故障2种状态，当网络中某站点遭受攻击或其负荷超过其承载能力而转变为故障站点，丧失正常运转能力，相邻站点容量越大，所分配得的负荷量越大，负荷重分配公式由式(6)表示为：

$\Delta S{L}_{i\to j}=S{L}_i\frac{S{C}_j}{{\displaystyle \sum {}_{n\in {\Gamma }_i}S{C}_n}}$ (6)

式中 $\Delta S{L}_{i\to j}$ 为站点i分配给站点j的负荷； $S{L}_i$ 为站点i的负荷； $S{C}_j$ 为站点j的容量； $S{C}_n$ 为站点n的容量。网络级联失效传播在T时刻，站点j接收站点i的部分负荷，在 $T+1$ 时刻，站点j更新其承载的负荷，由式(7)表示为：

$S{L}_j\left(T+1\right)=S{L}_j\left(T\right)+\Delta S{L}_{i\to j}$ (7)

式中 $S{L}_j\left(T+1\right)$ 为站点j在 $T+1$ 时刻的实时负荷； $S{L}_j\left(T\right)$ 为站点j在T时刻的实时负荷。若站点j更新后的 $S{L}_j\left(T+1\right)＞S{C}_i$ ，则级联失效继续；若 $S{L}_j\left(T+1\right)\le S{C}_i$ ，则级联失效终止。

3.3. 评价指标

网络效率Ｅ

网络效率作为衡量站点间的传输效率，当站点间的最短路径长度越小，站点间的传输效率越高，定义为总最短路径长度的倒数之和与总最短路径数量的比值，由式(8)表示为

$E=\frac{1}{N\left(N-1\right)}{\displaystyle \sum {}_{i,j\in N(i\ne j)}\frac{1}{d_{i,j}}}$ (8)

式中N为网络的总站点数，个； $d_{i,j}$ 为站点i与站点j的最短路径长度。

连通子图G

在连通子图中，从任意节点出发可以通过连边到达连通子图中的其他节点。最大连通子图是指其含有节点数量最多的网络连通子图，也称为最大连通图。在最大连通子图中加入或删除节点(边)可能会破坏其连通性，而连通的意义在于结构的稳定性。网络最大连通率是指最大连通子图中的节点数量与整个网络中的节点总数量之比，即：

$G=\frac{N^{\prime }}{N}$ (9)

其中，N为最大连通子图中的节点数量，N为网络节点总数。若G值越大，表示网络的连通可靠性越强。网络处于初始状态时G = 1，即表示整个复杂网络就是最大连通子图。在网络受到攻击后，随着级联失效的发展，最大连通子图规模逐渐减小，G值逐渐减小。

故障站点比率R

故障站点比率是衡量网络中站点损失程度的有效指标，定义为网络遭受攻击或发生级联失效后，当前网络故障站点总数与初始网络总站点数之比，由式(10)表示为：

$R=\frac{R^{\prime }}{N}$ (10)

式中R为网络遭受攻击或发生级联失效后网络故障站点总数，个。

3.4. 评价方法

为研究网络静态性能即拓扑结构受到影响的程度，网络在受到自然灾害等事件影响后，某站点故障失效，此时移除该站点，站点在受到移除后其所有相连线路均消失，此时站点视为孤立站点，如图3。

Figure 3. Schematic diagram of the attack strategy

图3. 攻击策略示意图

循环攻击模式为：

① 蓄意攻击：每次受攻击站点级联失效终止后，重新计算强度排名，选取当前介数最高的站点进行攻击，直至站点全为故障状态。

② 随机攻击：通过python中random库生成随机序列，依据随机序列依次选取站点攻击，若随机数选中的站点已为故障站点，则跳转到下1个随机数，直至站点全为故障状态。

Step1：导入公交网络、地铁网络或公交–地铁双层网络；

Step2：计算初始网络的网络效率和网络最大连通率；

Step3：通过python生成由高到低介数站点序列；

Step4：按站点序列顺序选取单个站点进行攻击，并更新网络；

Step5：计算更新网络的网络效率和网络最大连通率；

Step6：判断网络中是否存在正常站点，若存在，则转至Step4，否则，转Step7；

Step7：输出结果。

4. 实验分析

4.1. 参数α、β取值分析

网络中站点的容量越大，抵抗突发事件的能力越强，然而站点容量的提升，必定带上成本的上升。因此，如何较为合理地设置站点的容量，有效地提高网络的抗风险能力显得尤为重要。网络性能测度基于强度的循环攻击模式，以网络效率、网络最大连通率、故障站点比率作为判断依据，采用控制变量法，定量分析容量参数α、β的最佳取值。

容量参数α赋值为0.2，容量参数β赋值范围为0.2~0.7，其增量为0.1，探讨最佳容量参数β，仿真结果如图4所示。

1) β = 0.2，当攻击站点数为2时，网络仍具有较高性能(E = 0.045, N = 0.9979, R = 0.0006)，而当攻击站点数提升至3时，网络性能出现骤降现象(E = 0.0083, N = 0.0004, R = 0.8783)，攻击次数为8时(E = 0.0062, N = 0.0004, R = 0.8917)，网络接近完全瘫痪，这表明故障站点经一定数量的累计之后会出现突发性多站点失效。

2) β = 0.2，网络结构突变发生于攻击站点数2 → 3，β = 0.3时，网络结构突变发生于攻击站点数9 → 11，当β = 0.4至0.7时，网络无明显的结构突变。这表明随着β的增加，网络可以更好地抑制和延缓网络结构突变现象，从而提高网络性能，β = 0.3时，小幅增加β，网络性能有着显著的提升。

3) 对比β = 0.6和0.7，两者在各项指标下曲线近似重合，网络均未有明显的结构突变。这表明当β = 0.6时，继续增加β，网络抵抗级联失效能力无法得到显著的提升，考虑经济成本时，最佳参数β可取0.6。

容量参数β赋值为0.6、容量参数α赋值范围为0.6~0.1，其减量为0.1，探讨最佳容量参数α，仿真结果如图5所示。

1) α = 0.6，当攻击站点数为12时，网络仍具有较高性能(E = 0.0433, N = 0.9958, R = 0.0023)，而当攻击站点数提升至13时，网络性能出现骤降现象(E = 0.0087, N = 0.0025, R = 0.7715)，攻击次数为15时(E = 0.0074, N = 0.0025, R = 0.7872)，网络接近完全瘫痪，这表明故障站点经一定数量的累计之后会出现突发性多站点失效。

2) α = 0.6，网络结构突变发生于攻击站点数12 → 15，α = 0.5时，网络无明显的结构突变。这表明随着α的降低，网络可以更好地抑制和延缓网络结构突变现象，从而提高网络性能，此时小幅降低α，网络性能有着显著的提升。

3) 对比α = 0.2至0.1，在各项指标下曲线近似重合，网络均未有明显的结构突变。当α = 0.2时，继续减小α，不能显著地提高网络性能。考虑到α处于站点容量设置公式(5)的指数部分，其扩容成本提升远大于β的扩容成本提升，因此最佳容量参数α为0.2。由上述可知，在循环攻击模式下，容量参数α的减小或β的增加，可显著地提高网络性能。对比不同容量参数组合下级联失效度量指标的变化情况，当α = 0.2、β = 0.6时，为最佳容量参数组合，网络在成本资源消耗较低的同时实现了较高性能，在50次蓄意攻击内有良好性能且相较其他参数有更佳性能表现。

Figure 4. Capacity parameter β influences the parameter results. (a) Network efficiency; (b) Network connectivity rate; (c) Fault site ratio

图4. 容量参数β影响下指标结果。(a) 网络效率；(b) 网络连通率；(c) 故障站点比率

4.2. 级联失效与非级联失效对网络影响分析

基于级联失效与非级联失效2种攻击模式，采用随机攻击和蓄意攻击作为两者的攻击策略(蓄意攻击为基于强度攻击)，以网络效率和网络最大连通率作为判断依据，研究对比网络在级联失效与非级联失效情况下性能的差异。选取最佳容量参数组合(α = 0.2, β = 0.6)进行级联失效仿真。非级联失效下的蓄意攻击：每次攻击单个站点后(不考虑站点间的负荷重分配)，重新计算强度排名，选取当前强度最高的站点进行攻击，直至网络完全瘫痪。非级联失效下的随机攻击：依据Random库生成随机序列，依次选取单个站点攻击，直至网络完全瘫痪后终止。仿真结果如图6。

Figure 5. Capacity parameter α influences the parameter results. (a) Network efficiency; (b) Network connectivity rate; (c) Fault site ratio

图5. 容量参数α影响下指标结果。(a) 网络效率；(b) 网络连通率；(c) 故障站点比率

1) 在非级联失效下：

随机攻击E和S下降较为缓慢，当随机故障站点数目较少时，对网络整体的运行能力影响较小，但当随机故障站点数目增加，其仍会对网络产生较大的影响。相对于随机攻击，蓄意攻击E和S迅速地下降，呈现出先急剧下降后趋于平缓的趋势，在攻击初期，移除的站点多为网络中的强度高站点或换乘站点等关键站点，对网络的整体连通性和传输效率有致命性的破坏，在攻击后期，移除的站点多为强度低的边缘站点，对网络的稳定性不会有较大的影响。这表明在非级联失效下，网络对随机攻击具有较强的稳定性，对蓄意攻击具有脆弱性。

2) 在级联失效下：

随机攻击与非级联失效随机攻击变化趋势相似，但其存在多个陡降现象，这可解释为随机攻击的站点为网络中的关键站点，从而引发多轮的负荷重分配，导致多个站点故障。相对于其他攻击方式，蓄意攻击下E和S下降最为急剧。这表明在考虑站点间的传播动力学下，级联失效对网络整体连通性和传输效率破坏更为显著。

Figure 6. Index results under different attack methods. (a) Network efficiency; (b) Network connectivity rate

图6. 不同攻击方式下指标结果。(a) 网络效率；(b) 网络连通率

4.3. 复合网络与子网络对比分析

在分别针对复合网络及其两子网络在受到针对节点或连边的完全信息连续蓄意袭击时其最大连通度与网络效率的持续性变化进行分析。由图7，在蓄意袭击下，复合网络的两项指标的变化趋势与地面公交子网络基本保持一致，同时其整体网络指标的下降幅度与速度均低于地面公交子网络。这主要是由于地铁子网络能够在一定程度上串联整合地面公交网络，作为主要脉络对地面公交系统形成有效补充，从而在一定程度上提升复合网络的整体性能。

Figure 7. Deliberately attack the lower layers. (a) Network efficiency; (b) Network connectivity rate

图7. 蓄意攻击下层间对比结果。(a) 网络效率；(b) 网络连通率

5. 结论

文章基于复杂网络级联失效理论，构建公交–地铁双层网络，分析非线性容量–负载模型参数取值和评价指标变化趋势，得到以下主要结论：

1) 容量参数α的减少或β的增加，对网络抵抗级联失效能力有着显著的提升；

2) 在单站点攻击模式下，当α或β处于临界阈值时，小幅降低α或增加β，网络性能呈现出突增现象；

3) 在循环攻击模式下，当α = 0.2、β = 0.6时，网络在成本资源消耗较低的情况下，实现了较高性能；

4) 无论有无级联失效，网络在蓄意攻击下均比随机攻击更具脆弱性，网络在级联失效下其脆弱性更明；

5) 复合网络效率相较于子网络具有更好性能，复合网络变化趋势更多取决站点线路数更多的公交网络的变化趋势。