1. 引言
设
,
,
是一个边界光滑的有界区域,本文考虑如下问题:
(1.1)
其中
,
是正实数,
,
。
是分数阶p-Laplace算子,定义为:
,
。
近年来,由于椭圆型的分数算子和非局部算子在金融、薄障碍、优化等问题应用广泛,因此该类算子的研究也受到越来越多的关注。在 [1] [2] [3] 中,利用变分法研究了分数阶拉普拉斯算子的半线性Dirichlet问题,在 [4] [5] [6] [7] 中研究了带有凹凸非线性项的非局部算子的存在性和多重性结果,在 [8] [9] 中研究了分数阶p-Laplace算子的特征值问题和最小特征值的简单性质,在 [10] 中研究了带有超线性项和奇异非线性的(p, q)拉普拉斯问题解的存在性和正则性问题。
在
的情况下,Crandal M. G.,Rabinowitz P. H.和Tartar L.在 [11] 最先研究了一类带有奇异非线性项问题的半线性问题。此后许多作者利用 [11] 中的技术将其与Nehari流行方法结合,研究了Laplace算子、p-Laplace算子、分数阶Laplace算子和分数阶p-Laplace算子的问题,见 [12] [13] [14] 。在 [15] [16] 中,Tuhina M.和Yang D. D.研究了类似的奇异问题:
,
其中在
中
,在
上
,利用Nehari流行方法证明了方程解的存在性。在 [17] 中,Fiscella A.和Mishra P. K.研究了如下的一类奇异Kirchhoff问题:
,
其中
是一个有界开集,
,
。类似的分数阶Kirchhoff 问题和分数阶p-Kirchhoff问题还有很多,例如 [18] [19] [20] 等。
受 [13] [15] [16] [17] [20] 等文献的启发,本文研究问题(1.1)解的存在性,更加深入地了解用Nehari方法和变分法证明解的存在性,为该领域的进一步研究提供了新的思路和方法。首先给出如下假设:
(H1)
在
上处处为正,且对于
,
;
(H2)
是连续函数,并且对于任意的
,我们有
,
其中
,
。
注记1.1 由(H2),不难看出对于任意的
和常数
,我们有
和
成立。
本文的主要结果如下:
定理1.1 假设条件(H1)~(H3)成立,那么存在
,使得对任意的
,
,问题(1.1)至少有两个非平凡解。
本文的结构安排如下:第二部分,介绍一些勒贝格空间和分数阶索伯列夫空间的一些基础知识;第三部分,给出一些主要引理及其证明;第四部分是定理1.1的证明。
2. 符号说明和基础知识
在本节中,回忆一些关于勒贝格空间和分数阶索伯列夫空间的一些必要的基础知识,对于更多细节的地方,可以参考 [21] [22] [23] 。
表示值域为
的
上的函数空间
,
记
,令
,
,
,考虑空间
,
记
,
其中
称为Gagliardo半范数。
现在定义空间
,
在这里,
表示
在
中的补集,定义
上的范数为
,
其中
。
定理2.1 ( [23] ,定理6.7)令
,
,
是一个有界区域,那么存在一个正的常数
,使得对于任意的
,有
成立,其中
,
称为分数阶索伯列夫临界指数。
定义2.1 我们说
是问题(1.1)的弱解,如果对于任意的
,都有
成立,其中
。
3. 主要引理的证明
为了证明本文的主要结果,首先证明一些基本的引理。与问题(1.1)相关的能量泛函
,如下所示:
。
注意到由于奇异项的存在,
并不是可微的,因此考虑一类纤维映射
,其在 [24] 中被Drabek P.和Pohozaev S. I.介绍。定义纤维映射
如下:
由(H2)和注记1.1,可以得到
,
J在
上并不是下有界的,但是在
的子集上是有界的,称为Nehari流形:
。
现在,将
分为以下三个部分:
,
,
。
对于
,我们有
,
。
接下来,令
容易看出,
。 (3.1)
引理3.1 令
,那么我们有
(1) 存在一个常数
,使得
,
(2) 存在一个常数
,使得
。
证明:(1) 由(H1)和定理2.1我们有
其中
,是一个正数。
(2) 由(H2)、注记1.1和定理2.1,我们有
其中
,
。证毕。
引理3.2
,J在
上是强制的和下有界的。
证明:令
且
。那么由(3.1)、注记1.1和引理3.1,我们有
因为
,所以如果
,
成立。证毕。
我们令
,
其中
和
在引理3.1中已被给出。
引理3.3 如果
,那么
。
证明:用反证法来证明本引理。假设存在
使得
。
如果
,那么由(3.1)和引理3.1,得到
那么
。
因此
。 (3.2)
再次利用(3.1)和引理3.1,得到
因此
。 (3.3)
结合(3.2)和(3.3),可以得到
。
又因为
,
,那么
,
。
所以
显然,这是矛盾的。
如果
,那么由(3.1)和引理3.1,我们得到
,
那么
。
因此
。 (3.4)
另一方面,再次利用(3.1)和引理3.1,我们仍然得到
。
结合以上两式,我们得到
。(3.5)
这显然是矛盾的。证毕。
注记3.1 从引理3.2和引理3.3,可以总结出
对于
,
;
J在
和
上都是强制的和下有界的。
定义,
;
和
。
引理3.4 如果
,那么
。
证明:取
,由(3.1),我们得到
所以,
。(3.6)
另一方面,由(3.1),我们得到
再次利用(3.6),所以
因此,
(3.7)
不难得到
,
,
。
所以,可以得出,对于任意的
,都有
。于是,
。证毕。
引理3.5 如果
,那么存在
使得
。
证明:取
,那么
。由引理3.3的证明,我们得知
。
如果
,由(3.1)和引理3.1,我们有
于是,
。
因此,如果
,
那么,
。
如果
,再次由(3.1)和引理3.1,我们有
于是,
。
因为
,所以,如果
,一定有
。
于是,
。最后,令
,可以得到,如果
,对任意的
都有
成立。于是,
。证毕。
引理3.6 对于
,存在
使得,当
时,存在唯一的正数
,使得
,
,且
,
。
证明:令
,
,
。
那么,
。容易看出:
1)
;
2)
;
3)
有唯一的一个极大值点
,且
;
4)
在
上严格递减,存在
使得
在
上严格递增的。
由1),对于
足够小,有
成立。因此,由2),存在
使得
;另一方面,对于
足够小,存在
使得
。由介值性定理,存在
,使得
。 (3.8)
因为
在
上是严格单调增的,所以
是唯一的。结合4)和(3.8),我们得到
。
也就是说,对于所有的
,我们有
。
此外,固定
,使得对所有
,我们都有
。 (3.9)
另外,由3),我们得到存在
,使得
。 (3.10)
由(3.9)和(3.10),我们得到对于
,存在
使得
。(3.11)
由于
在
上是严格递减的,我们可以固定
和
,使得对于
和
有
在
上是严格递减的,因此,
是唯一的。通过(3.8)和(3.11),很容易推断出
和
是
的两个临界点。选择
足够小,那么
,
对于t足够小。另外,对于
时,
;对于
时,
;
。所以
在
处达到局部最小值,且
。所以,
。同理可得,所以
在
处达到局部最大值,且
。所以,
。由引理3.4和引理3.5,我们有,
,
。所以,存在唯一的一个
,使得
。
因此,我们得到
和
。证毕。
4. 主要结果的证明
现在,我们将给出主要结果的证明。令
,其中
和
分别在引理3.3和引理3.6中给出。为了证明定理1.1,我们首先需要下面两个命题。
命题4.1 如果
,那么泛函J有一个极小值点
,满足
。
证明:因为J在
上是下有界的,所以存在一个极小化序列
使得
。
由引理3.3的证明过程,
在
上是有界的。因为
是一个自反的巴拿赫空间,所以存在
,在
中,
,在
中,
,
,在
中几乎处处成立,
由控制收敛定理,我们得到
,
,
。 (4.1)
另外,
且
。事实上,如果不是这样的话,考虑
,利用(3.1),有
,
因此
。然而,由引理3.4,
,显然这是矛盾的。因此
且
。 (4.2)
接下来,我们将证明在
中,
成立。假设结论不成立,由Brezis-Lieb引理 [25] ,我们有
。 (4.3)
结合(4.1),(4.2),(4.3),我们得到
(4.4)
由引理3.6,存在正数
使得
,进一步我们得到
。 (4.5)
由控制收敛定理,我们得到
,
,
。 (4.6)
因此,
(4.7)
另一方面,因为
,所以
且
。由定理3.6,对于所有的
,我们有
。因此从(4.7)式,很容易得到
。又因为
,由引理3.6,我们得到
在
上是递减的,所以,通过(4.4),我们总结出
。
显然,这和
是矛盾的。因此,当
时,在
中有
且
。证毕。
命题4.2 如果
,那么泛函J有一个极小值点
,满足
。
证明:令
是
上的极小化序列使得
。
由引理3.3的证明过程,我们得知
在
上是有界的,因为
是一个自反的巴拿赫空间,所以存在
使得
,在
中,
,在
中,
,
,在
中几乎处处成立。
类似于命题4.1的证明,很容易得到
, (4.8)
。 (4.9)
我们说
,事实上,如果
,由(4.8),我们得到当
时,
。 (4.10)
因为
,利用(3.1)和引理3.5,我们得到
。
于是我们得到
,显然是矛盾的。因此,存在一个正实数
,使得
。类似于命题4.1的证明,容易得到当
时,在
中有
且
。证毕。
类似于 [26] 中引理3.7的证明,我们可以得到如下引理。
引理4.1 假设(H1)~(H3)成立,
,那么存在
和一个连续函数
使得
,
其中
。
定理1.1的证明:通过引理4.1,我们可以找到
,
使得
和
,当
成立。因此,由命题4.1,我们有,对于任意的
,
。
因此对于所有的
,
,我们有
。
因此
。
在上式两边同时除以t,且令
,通过简单的计算,可以得到
在上式中,用−h代替h,很容易得到
是问题(1.1)的一个非平凡解。同样的道理,可以得到
也是问题(1.1)的一个非平凡解。因为
和
是不相交的。所以,问题(1.1)有两个非平凡解。证毕。