数学分析中凸函数的性质及其应用

The Properties of Convex Functions in Mathematical Analysis and Its Applications

摘要: 凸函数是数学分析中的一个重要内容，同时也是教学的重点和难点。本文从凸函数的定义出发，介绍了凸函数三个常见的等价定义，并且仔细研究了凸函数的性质。最后又从凸函数的角度讨论了几个常用不等式的证明。

Abstract: Convex functions are an important content of mathematical analysis, and it is also the focus and difficulty part of teaching. This paper introduces three equivalent definitions of the convex function, and gives some properties of convex functions. Finally, several useful inequalities are also discussed from the perspective of convex functions.

1. 引言

在数学分析中，凸函数的定义、性质及其应用一直是教学的重点和难点。凸函数是一类特殊的函数，在数学、经济学、物理学等领域中都有广泛的应用 [1] 。在纯数学领域，凸函数由于其独特的性质，如单调性、二阶导数的非负性等，被广泛应用于优化问题、微积分和不等式的研究中。在凸函数理论中，凸集、凸包络和凸优化等问题都占据了重要地位，这些问题的解决有助于我们更深入地理解数学中的一些基本问题。本文先从定义出发，介绍了什么是凸函数，同时这个定义也是凸函数最基础、最重要的性质之一。

凸函数有很多重要的应用场景，例如它的图像是一个凸集，它的局部最小值就是全局最小值等等。这些性质为我们研究凸函数提供了重要的工具。在优化问题中，我们经常需要找到函数的最小值或最大值，如果函数具有凸性这个性质，这可以帮助我们更好地解决这个问题。接着本文又介绍了凸函数的性质，并且说明了当函数具有更高的正则性时，凸性这一条件可以为研究函数的其他性质提供更多帮助。同时凸函数的另一个重要应用是不等式的证明，有些复杂的不等式证明往往可以通过凸函数的办法把证明过程简单化，从而达到通俗易懂的目的。另外凸函数还有很多其他的应用，例如 [2] 与 [3] 都是对凸函数做的推广并且证明了相关不等式。

2. 凸函数的常见定义及等价条件

凸函数有多种定义。这里将介绍三种常见的定义，并给出这三种定义在一定条件下可以相互等价。

2.1. 凸函数的定义

定义1 设函数 $\phi \left(x\right)$ 是定义在区间I上的实函数。如果对任意的 $x_1,x_2\in I$ ，以及任意常数 $t\in \left(0,1\right)$ ，均有

$\phi \left(t{x}_1+\left(1-t\right)x_2\right)\le t\phi \left(x_1\right)+\left(1-t\right)\phi \left(x_2\right)$ ， (1)

那么称 $\phi \left(x\right)$ 是下凸的函数，简称凸函数。若将上式中“≤”改为“<”，则称 $\phi \left(x\right)$ 是严格下凸的函数，简称严格凸函数。

Figure 1. The definition of the convex function

图1. 凸函数示意图

几何意义：当 $x_1<x_0<x_2$ 时，点 $\text{C}=\left(x_0,\phi \left(x_0\right)\right)$ 位于两点 $\text{A}=\left(x_1,\phi \left(x_1\right)\right)$ 和 $\text{B}=\left(x_2,\phi \left(x_2\right)\right)$ 连线的上方(见图1)。例如：指数函数在实数 $ℝ$ 上是凸的。

定义2 设函数 $\phi \left(x\right)$ 是定义在区间I上的实函数。如果对任意的 $x\in I$ ， $y\in I$ ，有

$\phi \left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{\phi \left(x_1\right)+\phi \left(x_2\right)}{2}$ ， (2)

那么称 $\phi \left(x\right)$ 凸函数。若将上式中“≤”改为“<”，则称 $\phi \left(x\right)$ 是严格凸函数。

定义3 设函数 $\phi \left(x\right)$ 是定义区间I上的实函数。如果对任意的 $\forall x_1,x_2,\cdots ,x_n\in I$ ，有

$\phi \left(\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\right)\le \frac{\phi \left(x_1\right)+\phi \left(x_2\right)+\cdots +\phi \left(x_n\right)}{n}$ ， (3)

那么称 $\phi \left(x\right)$ 凸函数。若将上式中“≤”改为“<”即是严格凸的定义。

根据上述的定义，常见的凸函数： ${\text{e}}^x\left(x\in ℝ\right)$ ， $x^2\left(x>0\right)$ ， $-\ln x\left(x>0\right)$ 。

2.2. 等价证明

这一节中，我们将给出2.1节中凸函数三种定义相互等价的证明，首先证明定义2与定义3相互等价。接着证明定义1与定义2、3在函数连续的情况下二者等价。具体将用两个定理来表示。

定理1 定义2与定义3等价。

证明：首先(2)式是(3)式的一种特殊情况，即 $n=2$ 的情形。所以定义3可以推出定义2。

另一方面，由(2)式可知

$\begin{array}{c}\phi \left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}\right)=\phi \left(\frac{\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{x_3+x_4}{2}}{2}\right)\le \frac{\phi \left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)+\phi \left(\frac{x_3+x_4}{2}\right)}{2}\\ \le \frac{\phi \left(x_1\right)+\phi \left(x_2\right)+\phi \left(x_3\right)+\phi \left(x_4\right)}{4}\end{array}$ 。

依此类推，可得对任意的正整数k有

$\phi \left(\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{2^k}}{4}\right)\le \frac{\phi \left(x_1\right)+\phi \left(x_2\right)+\cdots +\phi \left(x_{2^k}\right)}{2^k}$ 。

所以(3)式对一切 $n=2^k$ 成立。现在我们用反向数学归纳法。假设(3)式对 $n=k+1$ 成立，证明(3)式对 $n=k$ 成立。令 $T=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_k}{k}$ ，所以 $kT=x_1+x_2+\cdots +x_k$ ，即

$T=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_k+T}{k+1}$ 。

由假设(3)式对 $n=k+1$ 成立，有

$\phi \left(T\right)=\phi \left(\frac{x_1+x_2+\cdots +x_k+T}{k+1}\right)\le \frac{\phi \left(x_1\right)+\phi \left(x_2\right)+\cdots +\phi \left(x_k\right)+\phi \left(T\right)}{k+1}$ ，

将T的定义代入上式，经整理可得(3)式。证毕。

定理2 若函数 $\phi \left(x\right)$ 在开区间 $I=\left(a,b\right)$ 上连续，则定义1，2，3等价。

证明：只需要证明定义1与定义2等价即可。首先当 $t=\frac{1}{2}$ 时，(2)式是(1)式的特殊形式，所以定义1可以推出定义2。接着我们来证定义2推出定义1。先证t为有理数的情况，再由函数的连续性，通过有理数来逼近无理数最终证明(1)式。由于t为有理数，因此 $t=\frac{m}{n}$ ，其中 $m,n$ 均为正整数并且 $m<n$ 。通过计算可得

$\begin{array}{c}\phi \left(t{x}_1+\left(1-t\right)x_2\right)=\phi \left(\frac{m{x}_1+\left(n-m\right)x_2}{n}\right)\\ \le \frac{m\phi \left(x_1\right)+\left(n-m\right)\phi \left(x_2\right)}{n}\\ =t\phi \left(x_1\right)+\left(1-t\right)\phi \left(x_2\right)\end{array}$ 。

上式的证明用到了定理1的结论。因此 $t>0$ 为有理数时，(1)式成立。当 $t>0$ 为无理数时，可知存在有理数列 $\left\{t_n\right\}$ 使得 $\underset{n\to +\infty }{\lim }{t}_n\to t$ 。因此有函数 $\phi \left(x\right)$ 的连续性可以得出(1)式对任意的无理数 $t>0$ 也成立。证毕。

通过上述内容可知，定理2的证明过程用到了函数 $\phi \left(x\right)$ 的连续性。因此定义1要强于定义2和定义3，因此通常我们用定义1的方式来描述凸函数。本文的后续内容均用定义1的方式描述凸函数。

3. 凸函数的性质

定义1中，凸函数的几何意义是线段AB一直在曲线AB的上方。这一节中，我们将对凸函数进行更为细致的研究，并且得出几个常见的凸函数的性质。

性质1 设函数 $\phi \left(x\right)$ 是定义在区间I上的凸函数则对任意的 $x_1<x_2<x_3$ ，有

$\frac{\phi \left(x_2\right)-\phi \left(x_1\right)}{x_2-x_1}\le \frac{\phi \left(x_3\right)-\phi \left(x_1\right)}{x_3-x_1}\le \frac{\phi \left(x_3\right)-\phi \left(x_2\right)}{x_3-x_2}$ 。 (4)

证明：令 $t=\frac{x_3-x_2}{x_3-x_1}$ 。若 $\phi \left(x\right)$ 是凸函数，将 $x_2=t{x}_1+\left(1-t\right)x_3$ 代入(1)式则有

$\phi \left(x_2\right)\le t\phi \left(x_1\right)+\left(1-t\right)\phi \left(x_3\right),$

同时将t的定义代入上式并且经过整理可得

$\frac{\phi \left(x_2\right)-\phi \left(x_1\right)}{x_2-x_1}\le \frac{\phi \left(x_3\right)-\phi \left(x_1\right)}{x_3-x_1}$ 。

类似地，通过定义 $t=\frac{x_2-x_1}{x_3-x_1}$ 可得(4)式中第二个不等式。证毕。

性质2 函数 $\phi \left(x\right)$ 是定义在开区间 $I=\left(a,b\right)$ 上的凸函数，则 $\phi \left(x\right)$ 必是连续函数。

证明：设 $x\in \left(a,b\right)$ ，并有 $s<x<t$ 。利用性质1可得

$\frac{\phi \left(x\right)-\phi \left(s\right)}{x-s}\le \frac{\phi \left(t\right)-\phi \left(x\right)}{t-x}$ ，

因此，当 $s,t\to x$ 时，根据单调有界定理可知 ${{\phi }^{\prime }}_{-}\left(x\right)$ ， ${{\phi }^{\prime }}_{+}\left(x\right)$ 均存在，并且 ${{\phi }^{\prime }}_{-}\left(x\right)\le {{\phi }^{\prime }}_{+}\left(x\right)$ 。所以 $\phi \left(x\right)$ 在x处左右连续。证毕。

性质3 函数 $\phi \left(x\right)$ 在区间I上可微，若 $\phi \left(x\right)$ 在区间I上是凸函数，则 ${\phi }^{\prime }\left(x\right)$ 在区间I上单调递增。

证明：设有 $x_1<x_2<x_3<x_4$ ，连续应用性质1可得

$\frac{\phi \left(x_2\right)-\phi \left(x_1\right)}{x_2-x_1}\le \frac{\phi \left(x_3\right)-\phi \left(x_2\right)}{x_3-x_2}\le \frac{\phi \left(x_4\right)-\phi \left(x_3\right)}{x_4-x_3}$ ，

所以对内点x均有 ${{\phi }^{\prime }}_{-}\left(x\right)$ ， ${{\phi }^{\prime }}_{+}\left(x\right)$ 递增，而又 $\phi \left(x\right)$ 可微，所以 ${\phi }^{\prime }\left(x\right)$ 在区间I上单调递增。证毕。

如果 $\phi \left(x\right)$ 二阶可导，通过性质3可知 ${\phi }^{″}\left(x\right)\ge 0$ 。这也是判断函数凸性的一个条件。凸函数的性质还有很多具体参见 [4] 和 [5] 。

4. 凸函数的应用

当前利用凸函数证明不等式已经是一个很普遍的办法， [6] 列举了一些例题。这一节中，本文也将利用凸函数证明一些常用不等式。

(詹森不等式)设 $\phi \left(x\right)$ 是区间I上二阶可导的凸函数，那么对任意的 $x_1,x_2,\cdots ,x_n\in I$ ，与 $t_1+t_2+\cdots +t_n=1$ $\left(t_i>0,i=1,2,\cdots ,n\right)$ ，有下式成立

$\phi \left(t_1{x}_1+t_2{x}_2+\cdots +t_n{x}_n\right)\le t_1\phi \left(x_1\right)+t_2\phi \left(x_2\right)+\cdots +t_n\phi \left(x_n\right)$ 。

证明：令 $\bar{x}=t_1{x}_1+t_2{x}_2+\cdots +t_n{x}_n$ ，对每一点 $x_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 在 $\bar{x}$ 处进行泰勒展开，即

$\phi \left(x_i\right)=\phi \left(\bar{x}\right)+{\phi }^{\prime }\left(\bar{x}\right)\left(x_i-\bar{x}\right)+\frac{{\phi }^{″}\left({\xi }_i\right)}{2}{\left(x_i-\bar{x}\right)}^2\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ ，

其中 ${\xi }_i$ 是 $\left(x_i,\bar{x}\right)$ 或 $\left(\bar{x},x_i\right)$ 中一点。因此

$\phi \left(x_i\right)\ge \phi \left(\bar{x}\right)+{\phi }^{\prime }\left(\bar{x}\right)\left(x_i-\bar{x}\right)$ ，

对上式分别乘上 $t_i$ 再相加，经整理可得

。

将 $\bar{x}=t_1{x}_1+t_2{x}_2+\cdots +t_n{x}_n$ 代入上式，即证。

(詹森不等式的积分形式)设 $\mu$ 是定义在集合 $\Omega \subset {ℝ}^n$ 中 $\sigma$ 代数的一个正测度，并且满足 $\mu \left(\Omega \right)=1$ 。若 $f\left(x\right)\in L^1\left(\mu \right)$ ，满足 $a<f\left(x\right)<b,\forall x\in \Omega$ ，并且有 $\phi \left(x\right)$ 在区间 $\left(a,b\right)$ 上是凸函数，那么有

$\phi \left({\displaystyle {\int }_{\Omega }f\text{d}\mu }\right)\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }\phi \left(f\left(x\right)\right)\text{d}\mu }$ 。

证明：令 $t={\displaystyle {\int }_{\Omega }f\text{d}\mu }$ ，并且 $\beta =\underset{a\le s\le t}{\sup }\frac{\phi \left(t\right)-\phi \left(s\right)}{t-s}$ 。由于 $\mu \left(\Omega \right)=1$ ，所以 $a<t<b$ 。又由 $\beta$ 的定义可知

$\phi \left(s\right)\ge \phi \left(t\right)+\beta \left(s-t\right)$ 。

将 $s=f\left(x\right)$ 和t的值代入上式可得

$\phi \left(f\left(x\right)\right)\ge \phi \left(t\right)+\beta \left(f\left(x\right)-t\right)$ 。

两边积分有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\phi \left(f\left(x\right)\right)\text{d}\mu }\ge \mu \left(\Omega \right)\phi \left({\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x\right)\text{d}\mu }\right)+\beta \left({\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x\right)\text{d}\mu }+\mu \left(\Omega \right){\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x\right)\text{d}\mu }\right)=\phi \left({\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x\right)\text{d}\mu }\right)$ 。

即证。

(霍尔德不等式)设常数 $p,q$ 满足 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ， $1<p,q<1$ 。 $\Omega \subset {ℝ}^n$ 。若 $u\in L^p\left(\Omega \right)$ ， $v\in L^q\left(\Omega \right)$ 则有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|uv\right|\text{d}x}\le {\Vert u\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}{\Vert v\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}$ 。

证明：首先证明 ${\Vert u\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}={\Vert v\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}=1$ 时的情形。由函数 ${\text{e}}^x$ 是凸函数可知对 $a>0,b>0$ 有

$ab={\text{e}}^{\ln a+\ln b}={\text{e}}^{\frac{1}{p}\ln a^p+\frac{1}{q}\ln b^q}\le \frac{1}{p}{\text{e}}^{\ln a^p}+\frac{1}{q}{\text{e}}^{\ln b^q}=\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$

将 $a=\left|u\right|$ ， $b=\left|v\right|$ 代入上式可得

$\left|uv\right|\le \frac{{\left|u\right|}^p}{p}+\frac{{\left|v\right|}^q}{q}$ ，

两边积分

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|uv\right|\text{d}x}\le \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1={\Vert u\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}{\Vert v\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}$ 。 (5)

当 ${\Vert u\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}$ ， ${\Vert v\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}$ 不为1时，设

${\Vert u\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}=K_1,{\Vert v\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}=K_2$

此时 $\frac{u}{K_1}$ 和 $\frac{v}{K_2}$ 满足

${\Vert \frac{u}{K_1}\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}={\Vert \frac{v}{K_2}\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}=1$ ，

因此利用(5)式可得

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|\frac{uv}{K_1{K}_2}\right|\text{d}x}\le 1$ 。

证毕。