1. 引言
正项级数在级数理论中占据着重要的位置，常用的判别方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法[1] 。比值判别法与根值判别法都是用等比级数作为比较级数，等比级数的收敛速度是比较快的，所以，它们只能用于判别那些比等比级数收敛速度更快的级数，而对于比等比级数收敛速度慢的那些级数，这两种判别法就无能为力了。拉贝利用收敛速度慢的级数作为比较级数，得到了比比值
判别法更为精细的拉贝判别法。高斯利用比级数收敛速度更慢的正项级数作为比较级数，
得到了高斯判别法。为了得到适用范围更广的判别方法就必须寻找收敛速度更慢的正项级数。近年来，很多学者对正项级数的敛散性进行研究并取得不少的成果[2] -[7] ，其中很大部分是对拉贝判别法进行了研究和推广。当我们遇到含有的级数时，通常用比较判别法和积分判别法。若对的性质了解不够，
无法利用比较判别法；若对广义积分了解不够，也无法利用积分判别法。基于此，利用正项级数
作为比较级数，本文提出了新的适合处理通项含有的正项级数的判别方法。
2. 新的判别方法
引理1：，则，当时，有。
证明：1) 当时，。
2) 当时，因为
所以。
3) 当，设，则连续使用m次罗必塔法则，便能得到。所以。
综上，由极限的保序性可知，，当时，有。
引理2：正项级数当时发散；当时收敛；当时，若，级数发散；若，级数收敛。
证明：1) 当时，由引理1，，当时，有。可取，使得，。因为收敛，由比较判别法知收敛。
2) 当时，，使得。，又因为此时发散，由比较判别法知发散。
3) 当时，若，则，由积分判别法知，发散。若，，由比较判别法知发散；若，则，由积分判别法知级数收敛。
本文用引理2中的级数作为比较级数，得到如下的判别方法。
定理1：设为正项级数且存在某正整数及常数，
1) 若对任意，有，则级数收敛；
2) 若对任意，有且，则级数收敛；
3) 若对任意，有且，则级数发散。
证明：1) 因为，所以
因为，所以。由题意知，当时，有
从而
，即
当时，有
因为收敛，由比较判别法知收敛。
2) 令，由条件知，，当时，即
当时，收敛，所以也收敛。
3) 证明与2)类似，易得
因为当时，发散，所以也发散。
注1：定理中取，该判别法就是拉贝判别法。
注2：此类判别法特别适用于判定级数通项中含有对数方幂的级数。
定理1的极限形式见定理2。
定理2：正项级数，若有，则
1) 当时，级数收敛；
2) 当且时，级数发散。
注：时，定理2中判别法失效。如发散级数，取时，；收敛级数，取时，。此时，可以用定理1判别这两个级数的敛散性。
例1：判定级数的敛散性。
解：取，有
由定理1知，当即时级数收敛；当即时级数发散。
例2：判定正项级数的敛散性。
解：取，
由定理2知，该级数发散。
例3：判定正项级数的敛散性。
由定理1知，级数收敛。
3. 新判别方法的优点
新判别法对通项含有对数方幂的级数的敛散性判别特别有效。为了说明这一点，我们对文中的例子用常用的相对简洁的方法判别其敛散性。这样就能与文中的方法形成对比，从而说明新判别方法对含有的正项级数更为有效。
对于例1中级数的敛散性的判别，也可以用现有的方法判别[7] [8] ，但是需要分和进行讨论。当时，用比较判别法判别；当时用积分判别法判别，详见参考文献[7] 。相比较而言，文中新方法更简洁。
对于例2中级数的敛散性判别，也可以用比较判别法来判别，对于此例来说，比较判别法比文中新方法要简洁一些。
对于例3中的级数的敛散性的判别，如果用比较判别法，不容易找到已知敛散性的正项级数进行比较；由于该题的后项和前项的比值的极限为1，所以比值判别法对该题也失效；如果用积分判别法，需要求解被积函数的分子和分母中都含有对数的一个广义积分，这也是很难做到的。所以，常用的一些判别法并不能判别该级数的敛散性。文献[8] 推广了广义比值判别法并用其判别了例3中级数的敛散性。该方法需要选取特殊参数来判别级数的敛散性，然而合适参数的选取有一定的难度。因此，用文中的新方法来判别类似例3这样含有对数方幂的级数更为合适。
4. 结论
本文提出了一种对含对数方幂的正项级数较为有效的判别方法，同时从理论上推导了该方法的正确性。另外，针对文中给出的例子，分析了用新方法与现有其他方法判定敛散性的区别，从而说明了新方法在一定程度上对于判别此类级数的敛散性具有一定的优势。因为新方法与拉贝判别法形式相似，如果熟悉了拉贝判别法，那么就可以比较容易地记住新方法并用它解决相关级数的敛散性判定问题。
参考文献