分配格的新定理

New Theorem for the Distributive Lattices

摘要: 首先讨论了格的子集生成幻和生成对偶幻的运算性质。然后给出一个反例，指出中一定理有误，并由此获得分配格的两个等价条件。

Abstract: This paper discusses the operational properties of generated ideals and generated dual ideals. Then an example is given to point out that the conclusion of a proposition on P10 reference is wrong. Two equivalent conditions for the distributive lattices are given.

1. 生成幻及生成对偶幻的运算性质

本文用表示集合的并(交)，用表示格中元的并(交)。

定义1：若格L的子集X满足下述性质：

若，则

则X对于原来的、运算构成一个格，称之为L的子格，特别地，子格J闭于下时，即若，则，有时，称为L的幻，幻的对偶叫作对偶幻(即闭于上的子格)。

定义2：格L的子集X的生成幻和生成对偶幻分别定义为L的包含X的最小幻和最小对偶幻，并分别用和表示。

设X，Y是格L的子集，记

命题1：设L是格，X和Y是L的非空子集，那么

(1)是幻。

(2)。

(3)是对偶幻。

(4)。

证：仅证(3)、(4)两式，(1)、(2)是(3)、(4)的对偶

(3) 设，有，，使，由于，闭于上知，，，故，。

反之，设，则，，从而，。

往证是对偶幻，设则，。由，是子格易知，，故是子格。又设，，由，及，闭于上知，，，从而，故是对偶幻。

(4) 我们只要证：

(a) 设，则或，不妨设，则对任意，有。

由闭于上知，，从而，。

(b) 显然。

(c) 设，则有，，使，

故

(d) 设，有，或，

故

证毕。

命题2：设L是格，X，Y是L的非空子集，则：

(1)。

(2)。

且上述包含关系均可不取等号。

证：(1)显然，由命题1知是幻，故。

(2)是(1)的对偶。

例1：设为菱形格，如图1，令，则

，

故。

对偶地。

命题3：设L是含有o，I的格，X，Y是L的非空子集，则

(1)。

(2)。

且上述包含关系均可不取等号。

证：(1) 设，不妨设，因，故。。

(2)是(1)的对偶。

例2：设是四元格，如图2，令，，则

，

故。

对偶地，。

2. 分配格的两个等价条件

[1] 中P₁₀指出：在格L中，由它的子集X，Y生成的幻的并(交)，易知是由，所作全体生成的幻*。

注*：由X生成的幻以J(X)表之，乃是L的含(含于)J(X)及J(Y)的最小(最大)幻，易证：

(1)的含的最小幻。

(2)的含的最小幻。

我们指出：[1] 中就是本文中的，而(1)式右边＝，命题1已证得(1)式成立。而[1] 中的就是本文中的，由命题1知，因此[1] 中的和本文定义的是一致的，但(2)式右边，于是(2)式为

Figure 1. Diamond lattice

图1. L菱形格

Figure 2. Four elements of lattice

图2. L四元格

这与例1是矛盾的。

我们注意到例1是一个非分配格的例子，对于分配格，我们有如下定理：

定理：格L是分配格的充要条件是

(3)

或

(4)

其中X，Y是格L的任意非空子集。

证：仅证(3)式，(4)是(3)的对偶。

必要性，设L是分配格，我们只要证

由命题1知，。设，则，。从而存在，，；。使，，于是

由闭于下知，，，即。

充分性，设在格L内(3)式恒成立，往证L是分配格，即对任意，要证

令，，则

比较与中最大元得

证毕。

基金项目

湛江市科技计划项目(编号：2013A01003)。