1. 引言与预备知识
FTS最早出现在20世纪50年代俄罗斯文献中，随后在60年代出现在西方控制文献中[1] [2] 。
一般来说，研究有限时间稳定性可以从2个方面考虑
1) 预先给定了状态变量的界，寻求最长的时间区间
。
2) 预先给定一段有限的时间区间
，寻求最小的状态变量的界，使在
上有限时间稳定。
Lyapunov稳定性是在采用状态空间描述以后，初始条件作用下系统方程的解是否具有收敛性。
应当指出的是有限时间稳定(FTS)和Lyapunov稳定是2个不同的概念。一个系统可以是FTS的，但不是Lyapunov渐近稳定的，反之亦然。
有限时间稳定(FTS)和Lyapunov稳定的区别主要体现在以下几点
1) Lyapunov渐近稳和FTS考虑的时间长短不同。
2) Lyapunov渐近稳定和FTS对边界的要求不同。
3) Lyapunov渐近稳定和FTS，前者考虑的是系统的稳态行为，后者考虑的是系统的暂态行为。
最近，不同系统的有限时间稳定性吸引了很多学者的注意，[3] -[15] 给出了线性系统和线性时变系统的有限时间稳定的充分必要条件，[16] 讨论了线性脉冲系统的有限时间稳定性。
考虑到大部分文献给出的系统是有限时间稳定的判定条件是借助于Lyapunov函数，但是这个函数是很难构造的，这促使我们思考，有没有其他的方法可以考虑，本文通过求解微分方程组，把脉冲切换系统的解解出来，使得系统的解只要满足一些条件就可以保证系统是有限时间稳定的。
切换系统可以用下面的方程表示
(1)
状态变量
，切换信号
，
是一系列描述子系统的常数实矩阵。我们假定
是不稳定的，
是稳定的。
对应切换信号
，我们有下面的切换子序列
当
时，第
个子系统被激活。
定义1 (平均停留时间)
对任意的正标量
，
表示切
在
上切换次数，若
(2)
则
称为平均停留时间。
不失一般性，这里仍然假定
是不稳定的，
是Hurwitz稳定的，可以证明存在一系列正数
，保证
是Hurwitz稳定的。并且应用代数矩阵理论，得到
(3)
表示所有不稳定子系统的激活时间的总和，
表示所有Hurwitz稳定子系统的激活时间的总和。
定义
任意选择一个标量
满足切换规则
(4)
定义2
如果矩阵
的非对角线元素是非负的，称
为Metzler矩阵。
定义3
若矩阵
的最大特征值
，称
为Hurwitz矩阵。
定义4
一个系统被称为正系统，如果初始时刻
，则
，
。
定义5
系统(1)被称为正系统，当且仅当矩阵A的非对角线元素是非负的，即A为Metzler矩阵。
2. 正脉冲切换系统的有限时间稳定性
考虑下面的连续时间的正脉冲切换系统
(5)
其中
是系统的状态变量，
是初始时刻的值，
是切换信号并且是分段连续常值函数，
表示子系统的切换个数，
是常数矩阵，
，
是常数矩阵，表示系统在切换时刻的脉冲影响，
。
定义6
给定3个正数
，并且满足
，
表示正无限维矩阵，
表示切换信号，若下式成立。
则系统(5)对任意的
是有限时间稳定的。
定义7
对于给定的切换信号
，假定脉冲切换系统对
有限时间稳定，如果存在正数
，满足对于所有的
，
为已知常数
称
为脉冲切换系统有限时间稳定的度。
定理1
给定
，若切换信号满足上式，并且
那么存在一个正的常数
，保证系统(5)是在任意的平均停留时间下是有限时间稳定
证明：
表示切换时刻，
在
上的值用
表示，
当
，应用常微分方程理论，解得
在切换时刻
，
当
，可得
依次类推，得到当
时，系统切换次数
由(3)式，和
，
，上式变为
取
，得到
对于给定的
和
，一定存在一个有限的常数k，满足
因此，又得到下面的式子
由(4)式，
如果取
，即使所有的子系统是不稳定的，即
，上述等式也成
立，得到
(6)
又因为一定存在一个常数
，满足
且
表示在
上切换次数，所以
，
，得到
(7)
(8)
(9)
结合(6)，(7)，(8)，(9)式，得
(10)
又因为
(11)
结合(10)，(11)式，得
则系统(5)是在任意的平均停留时间下是有限时间稳定的。
3. 总结与展望
大部分文献给出的结论都是通过构造Lyapunov函数去证明系统的有限时间稳定，而Lyapunov函数不容易构造。本文从解的存在性入手，即用求解微分方程组的方法，系统的解若满足一些条件，即可证明系统的稳定性，最后，把结果推广到连续时间的脉冲切换系统的稳定性问题上。
有限时间稳定在实际应用和理论研究中有很大的价值，所以吸引了许多学者的关注，但是现在存在的结果比较保守，而且大部分是充分条件，即使给出的是必要条件，这些结果都有很大的局限性，并不能解决所有问题，这促使我们继续研究，本文可以从以下几个个方面继续讨论。
1) 研究带有时滞的脉冲切换系统的有限时间稳定。
2) 把构造解的方法推广到更复杂的混杂系统中。
基金项目
中国自然科学基金：11261033。