1. 引言
一维Sine-Gordon方程是重要的非线性数学物理方程，可以用来描述流体力学、气象学、场论等领域很多物理现象。例如，传播中的磁通量子两个超导体之间的约瑟夫逊结[1] ，严格的钟摆的运动在拉伸线[2] 、固体物理、非线性光学、流体运动的稳定性。人们对此已经用一些方法作了研究。例如，显式有限差分格式和隐格式离散能量守恒方法[3] 。Strauss and Vázquez [4] ，使用经典的有限差分格式[5] [6] ，计算了Klein-Gordon方程。而[7] 的作者提出了一个使用基函数的方法。Ramos [8] 使用五点隐式有限差分方法。[9] 提出了一种通用的解决Sine-Gordon方程的辛方法。Batiha et al. [10] 给出了一个变分迭代法来获得Sine-Gordon方程的近似解。[11] 是将Sine-Gordon方程转化为一阶非线性初值问题，然后利用递归矩阵在时间和空间近似的二阶方法。Bratsos [12] 提出了一种二阶的空间精度和四阶的时间精度的方法。
在本文中，我们利用紧致四阶有限体积方法离散空间导数，用稳定的三阶Runge-Kutta方法求解一阶常微分方程组。文章框架如下，第一节为引言。第二节构造求解Sine-Gordon方程所使用的4阶紧致有限体积方法。第三节给出时间离散方法，即Runge-Kutta方法；第四节两个典型算例及计算结果讨论。
一维Sine-Gordon方程如下：
(1)
初始条件为
(2)
边界条件为
(3)
为了方便研究能量守恒关系，代入
(4)
其中
是一个常数，那么方程(1)可以变化为非线性常微分方程
(5)
由文献[1] 可知，方程(1)的非平凡解为
(6)
我们常用孤立子方程的守恒性质来检验对方程数值离散的精度[13] 。一个具体的孤立子波的能量表达式为
(7)
2. 紧致有限体积方法
考虑计算区域为
，将其剖分成
个区域，那么共有
个结点，每个小区间的长度为
对(1)式在第
个小区间单元上对上式求积分，并对等式两边同时除以
，可以得到
(8)
记
，称
为
在第
个单元上的单元平均值，那么(8)式可以简记为
首先，要对上式
、
进行估计，通过参考文献我们可以得到如下的估计式
(9)
对应4阶精度的系数为[14]
这些系数的确定，可以通过在点
泰勒展开得到，例如
在点
的泰勒展开为
并且在Sine-Gordon方程中对应的边界条件为Dirichlet边界条件，那么对应的左边界处格式为
(10)
通过Taylor展开计算出对应的系数为
相应的右边界格式只是左边界格式的一个镜面映射。令
那么可以得到
和
之间的关系如下
(11)
, 
这样，我们就可以得到关于一阶导数离散格式为
(12)
对于右端项的非线性项，我们选取了常用的辛普森公式近似计算其定积分
(13)
此时仍需要对上式中的
利用单元平均值进行近似。对于
和
可以利用下面的格式近似
(14)
其中4阶格式的相应系数为[14]
对于Dirichlet边界条件，该格式也可以直接应用。下面令
那么在对于空间离散的过程中，可以得到
和
之间的关系，如下
, 
, 
得到空间离散格式为
(15)
这样就将数值积分中的单元边界值处理完毕。下面要解决
在
点的数值近似，其中一种方法就是利用上文已经处理的单元边界值对其进行近似，从而得到一个4阶数值近似格式
(16)
对应的Dirichlet边界条件的左边界格式为
(17)
对应的系数为
右边界也是类似的格式。我们令
那么可以得到
和
之间的关系，如下
, 
这样就可以得到空间离散格式为
(18)
将整个离散后的右端项记为
，就有
，这是一个常微分方程，从而空间离散完成。
3. Runge-Kutta时间离散
在将右端项进行空间半离散之后，再考虑初始条件和边界条件，用3阶强稳定Runge-Kutta (a third- order strong stability preserving Runge-Kutta，即SSP-RK3)方法进行下一步处理。3阶的SSP-RK3的一般形式为[15]
(19)
对于Sine-Gordon方程，需要将其转换成一阶常微分方程组，再用Runge-Kutta方法进行时间离散。如下
R，P分别定义为空间上的线性和非线性的微分算符。时间格式的选取依赖于所要的精度阶，要考虑储存、计算、稳定性。尤其是当R，P是非线性的时候，更没有依据说明全离散后的格式是稳定的，这时就更需要强稳定时间格式，常见的高阶稳定离散可见[16] 。
2阶方程对应初值问题的一般形式为
引进变量
，可化为1阶方程组的初值问题
(20)
(20)式对应的Runge-Kutta格式为
(21)
4. 数值算例
例1：考虑如下的一维sine-Gordon方程
(22)
将其改写为1阶方程组
该方程的精确解为 [17]
通过下列的范数定义来计算所得的格式误差收敛阶，记
精度阶计算公式为
在区间[−6,6]上求解方程(22)，取
，
，
(见表1)。图1为在
的时候精确解和数值解的曲线拟合情况。可以看到在不同的范数意义下，阶数都达到了4阶左右，从图像和误差上，都能看出准确解和数值解有着较好的吻合程度。
例2：一维sine-Gordon方程
(23)
精确解为
Table 1. Errors and orders for 4-order CFVM
表1. 4阶紧致有限体积方法下的误差和精度阶
Figure 1. Curve: numerical and exact solution of the first experiment numerical (square); exact (solid line)
图1. 例1数值解和精确解的比较
Table 2. Errors and orders for 4-order CFVM
表2. 4阶紧致有限体积方法下的误差和精度阶
Figure 2. Curve: numerical and exact solution of the second experiment numerical (square); exact (solid line)
图2. 例2数值解和精确解的曲线拟合
在区间[−6,6]上求解方程(24)，取
，
(见表2)，在
的时候精确解和数值解的曲线拟合情况(如图2)。从图像和误差上，准确解和数值解有着较好的吻合程度。因为初值条件相对于例1较为简单，从而在误差和精度阶上有着更好的结果。
基金项目
本文由教育部科学技术研究重点项目(12024)，内蒙古自治区人才开发基金项目(12000-1300020240)和内蒙古自然科学基金(2015MS0101)支持。