具有四个素因子的奇亏完全数

On Odd Deficient-Perfect Numbers with Four Distinct Prime Divisors

摘要: 设n为自然数，σ(n)表示n的所有正因子和函数。令d是n的真因子，若n满足σ(n)=2n-d ，则称n为亏因子为d的亏完全数。在参考文献的基础上，本文讨论了具有四个素因子的奇亏完全数的一些性质，证明了 为具有四个不同素因子的奇亏完全数，则有p₁ = 3, p₂ ≤ 13。

Abstract: For a positive integer n, let σ(n) denote the sum of the positive divisors of n. Let d be a proper divisor of n, we call n a deficient-perfect number if σ(n)=2n-d . On the basis of the references, we characterize some properties of odd deficient-perfect numbers with four distinct prime divisors. We prove that if is an odd deficient-perfect number, then p₁ = 3, p₂ ≤ 13, and improve the result of the references.

1. 引言与主要结果

对任意，设n的标准分解式为，令ω(n)，σ(n)分别表示n的相异素因子个数以及约数和函数，则

，。

约数和函数σ(n)是一类基本而又重要的数论函数，历史上许多著名数学难题都与它关 [1] [2] ，例如，著名的完全数问题。若正整数n满足σ(n) = 2n，则称n为完全数(perfect number)。若σ(n) < 2n，则称n为亏数(deficient)，若σ(n) > 2n，则称n为过剩数(abundant)。设d是n的真因子，若，则称n为盈因子为d的盈完全数。如果，则称n为拟完全数(quasi-perfect)。若

， (1)

则称n为亏因子为d的亏完全数。特别地，如果，则称 为殆完全数(almost perfect)，关于以上完全数的各类问题，以及σ(n)与Euler函数φ(n)的迭代等等问题，可参见文献 [3] - [16] 。

关于亏完全数，文献 [17] 刻画了素因子个数不超过2的所有亏完全数的结构，若n为亏完全数且ω(n) ≤ 2，则

或，

其中，且为奇素数。文献 [18] 证明不存在具有三个素因子的奇亏完全数。最近，文献 [19] 研究具有四个素因子的奇亏完全数，证明了若为具有四个不同素因子的奇亏完全数，其中为奇素数，则有，且。

在文献 [19] 的基础上，本文进一步研究具有四个素因子的奇亏完全数，略微改进了文献 [19] 中的结论，证明了

定理 若为具有四个不同素因子的奇亏完全数，则有

。

2. 一些引理

引理1 若，则，若，则

证明：若，则

。

同理可得，若，则，若，则。若，则。

引理2 若是奇亏完全数时，亏因子，其中，，令

，

则均为偶数，且

。 (2)

证明：由于为奇亏完全数，则由(1)可得，

(3)

其中

，，。

则

。

由于d为奇数，则根据(3)式，有

因此

，

则根据(1)式，有

(4)

当，时，若，则

矛盾，则。

引理3 若是奇亏完全数，，则

(5)

证明：由引理2知，当时，，则和，，由(3)式可得

。

引理4 令

，

，

则

。 (6)

证明：由引理3知

所以

则(6)式成立。

3. 主要结果的证明

设m > 2为正整数，a为整数，若(a,m) = 1，称满足的最小正整数x为a对模m的阶，记作ord_ma。

若时，则

，

矛盾，因此，

。

情形1。当时，

，

矛盾，因此。由于ord₃5 = 4，如果，则

，

则，矛盾，因此。同理，由于，则

，

这与(5)式矛盾。

情形2。当时

，

矛盾，因此

当时，计算和的值如下，

由引理4得，与(6)式矛盾。当时，，与(5)式矛盾。

情形3。当时

，

矛盾，因此，。由于，则

。

由引理1知，要使则必使，所以。当，且时，有

，

，

与(6)式矛盾。若，，与(5)式矛盾。

情形4。当时

矛盾，因此，。

当时，计算和的值如下，

由引理4得，与(6)式矛盾。当时，，与(5)式矛盾。

情形5，当时，有

，

矛盾，则。由于，ord₂₉5 = 2，由引理1知，若要使，则必须使，所以

当，且时，当，且时，分别计算和的值如下：

由引理4得，与(6)式矛盾。

当时，，与(5)式矛盾。

情形6，当时，有

，

矛盾，则。由于，同理由引理1知，使则必使，所以。

当，，时，由于，则有

。

由引理4得，与(6)式矛盾。

当，，以及时，，，，与(5)式均为矛盾。

情形7：。当时，由于，则有

。

由引理4得，与(6)式矛盾。

当时，，与(5)式矛盾。

因此，定理得证。

基金项目

阿坝师范学院科研课题项目(JXYY201507)，四川省教育厅自然科学研究项目(15ZA0337)。

致谢

作者衷心感谢阿坝师范学院杨仕椿教授的悉心指导和热情帮助!