1. 引言
本文我们主要考虑下述非齐次拟线性p-调和型椭圆方程
。 (1.1)
这里
为有界开区域且
为Borel测度。
1983年，Wolff在文献 [1] 中提出了经典非线性Wolff位势。后来，Kilpeläinen，Malý [2] [3] ，Trudinger，Wang [4] 和Korte，Kuusi [5] 用不同的方法研究了拟线性椭圆方程(1.1)弱解的逐点估计
。
这里
的非线性Wolff位势
的定义如下：
且
。
最近，Duzaar，Kuusi和Mingione在 [6] - [9] 中借助非线性Wolff位势和线性Riesz位势给出了拟线性椭圆方程(1.1)及其一般情形的弱解的逐点梯度估计。本文我们主要采用非线性Wolff位势来研究非齐次p-Laplacean方程(1.1)弱解的梯度估计，我们将结合文 [6] - [9] 的证明方法给出一个新证明。
首先，我们给出弱解的定义。若
为方程(1.1)的弱解，则对任意
，有
。
现在我们来阐述本文的主要结论。
定理1.1. 设
是方程(1.1)的弱解，
，
为Borel测度，且
是
的一个Lebesgue点，
。那么存在
，有如下梯度估计
。 (1.2)
2. 主要结论的证明
我们记
。
简记
。对具有正测度的集合
，记积分平均
。
引入
为下述参考方程的弱解
。 (2.1)
现在我们给出齐次p-Laplacean椭圆方程(2.1)弱解的一个经典的估计(参见文献 [10] - [14] )。
定理2.1. 设
是(2.1)的弱解，则存在
，它们都依赖于
，有如下估计
。 (2.2)
其中
为同心球。
现在考虑
是如下Dirichlet问题的弱解
(2.3)
那么，我们可以得到下面的比较引理。
引理2.2. 设
是方程(1.1)的弱解，
是方程(2.3)的弱解，则存在
依赖于
，当
时，有估计
。 (2.4)
证明：我们可以通过逼近理论(见 [15] - [17] )只研究
的情形。通过基本的尺度变换
且
另外，通过归一化变换
且
。
这里
。(2.5)
我们不妨假设
且
。故我们只需证明
。 (2.6)
首先，由弱解的定义可得
， (2.7)
对任意
，任意
和
，我们回顾以下基本不等式
。 (2.8)
因为
且
，那么由Sobolev嵌入定理可得
。那么取检验函数
，由(2.7)式，(2.8)式，Sobolev嵌入定理以及
，可知
。
故，可得(2.6)式，所以结论得证。
下面我们记
。
令
。定义
， (2.9)
其中
为整数。我们选取
。 (2.10)
这里
如定理2.1中的定义。
考虑
是下述Dirichlet问题的弱解
(2.11)
下面我们给出一个迭代引理。
引理2.3. 设
是方程(1.1)的弱解，
是方程(2.11)的弱解，则有下式成立
。
这里
。
证明：由定理2.1中的(2.2)式和
的定义式(2.10)式，可知
。
再由引理2.2的(2.4)式和Hölder不等式，有
引理得证。
下面我们完成定理1.1的证明。
证明：第一步. 设
是
的一个Lebesgue点，
，以下我们考虑的球都是以
为球心的。我们选取
， (2.12)
其中
且
。 (2.13)
要证明定理1.1的结论，只需证明
。 (2.14)
我们定义
。 (2.15)
其中
为整数。对
我们有
， (2.16)
由
的选取，可知对
有下式成立
(2.17)
又因为
(2.18)
所以，由(2.12)式和(2.13)式的
，可知
， (2.19)
且
。 (2.20)
第二步. 由(2.17)式，不失一般性，我们可假设存在
，使得
且
，
。 (2.21)
否则，对递增序列
(任意
)，都有
。由于
是
的一个Lebesgue点，则有
。
故
，结论得证。
第三步. 下面我们在
情况下继续定理1.1的证明。简记
且
。
由(2.15)式和(2.21)式，可知
。 (2.22)
现在，我们用归纳法证明：当
时，有下式成立
。 (2.23)
即假设当
时，(2.23)式成立，证明
时，(2.23)式仍成立。首先，由引理2.3可知
，
即
。 (2.24)
结合(2.20)式和(2.23)式，有
。 (2.25)
进一步，由(2.24)式对
求和，可得
，
因此
。 (2.26)
另一方面，又因为
结合(2.19)式，(2.22)式和(2.26)式，可得
。
所以，由(2.25)式和上式，即有
成立。综上所述，对任意
，(2.23)式成立。最后，由于
是
的Lebesgue点，故
。
从而我们完成了定理1.1的证明。