PT-对称量子理论中的量子测量

Quantum Measurement of PT-Symmetric Quantum Theory

摘要: 量子计算机是一类遵循量子力学规律进行高速数学和逻辑运算、存储及处理量子信息的物理装置，量子测量是量子信息和量子计算中的一类重要研究课题，但是在PT-对称量子系统中还没有相关的研究。本文给出PT-对称量子系统中一般量子测量的概念，并运用矩阵和算子论的方法，对这个问题进行了详细的讨论，得到了PT-对称量子系统中关于量子测量的两个结果。

Abstract: Quantum computer is a kind of physical device which carries out mathematical and logical calculations, and stores and manages the quantum information efficiently under the rule of the quantum mechanics. Quantum measurement is an important research topic in quantum information and quantum computing realm, however, the relative research has not appeared in the PT-symme- trical quantum system. In this paper, we give the general concept of quantum measurement in the PT-symmetrical quantum system. Moreover, the detailed discussion is described by using the methods of matrix and operation theory, and we obtain two results about quantum measurement in the PT-symmetrical quantum system.

1. 引言

量子力学的四个假设把物理世界与量子力学的数学描述联系了起来，其中假设3为描述量子系统的测量提供了一条途径 [1] 。假设3说：量子测量由一组测量算子描述，这些算子作用在被测量系统状态空间上，指标表示实验中可能的测量结果。若在测量前，量子系统的最新状态是，则结果发生的可能性由给出，且测量后系统的状态为：

测量算子满足完备性方程：

假设3的一个重要应用就是区分量子状态。经典世界里，研究对象的不同状态至少原则上常常是可以区分的。例如文献 [1] 中所述：我们至少可以在理想情况下知道硬币是正面还是反面向上，而在量子力学中，情况就比较复杂。

华盛顿大学的C. M. Bender教授在1998年创立了PT-对称量子力学。PT-对称量子力学是将薛定谔方程中的哈密尔顿量H的“自伴性”条件用“H具有PT-对称性”来替代而产生的量子力学。其中算子H具有PT-对称性是指它与算子PT可交换。该理论是经典量子理论的复化，特别是该理论将H的自伴性这一数学条件物理化。PT-对称理论在光学实验中得到了验证。PT-对称理论极大拓广了经典量子力学的应用范围，它具有真实的物理意义与背景 [2] [3] [4] ，得到了国外学者的广泛关注 [5] - [13] 。PT-对称量子理论研究的是量子系统在空间对称变换和时间反演变换下的对称性 [11] 。

与经典量子力学相比，在PT-对称量子理论中，哈密顿量H的自伴性不再是必须要求。许多专家学者已给出了PT-对称量子系统中在有限维Hilbert空间上非自伴的Hamiltonian H的形式，也已经定义出了和这两种时间反演下的PT内积、CPT内积，但是关于PT-对称量子系统中的量子测量还没有给出，这正是本文要研究的内容。

2. PT-对称性

经典量子力学的动力学性质通过以下的薛定谔方程描述：

，。

其中表示系统的状态，称为波函数，为复Hilbert空间中的稠定自伴算子(称为哈密尔顿量算符)，为实数域或复数域。

PT对称理论研究的是量子系统关于“空间对称变换”与“时间反演变换”的对称性。这两种变换是状态空间上的两个算子与，它们的定义是

显然，它们都连续的，空间对称变换是线性的、时间反演变换是共轭线性的(或称反线性的)。同时，。

定义2.1 [11] 如果量子系统(2.1)的哈密尔顿量算符与算子可交换，即

，

则称为是-对称的。此时，也称系统(2.1)是-对称的。

定义2.2 [11] 设是Hilbert空间上的线性算子满足(恒等算子)，是上的反线性(又称共轭线性)算子，满足且。空间中的线性算子称是PT-对称的(或称具有-对称性)，如果且与可交换： (在上成立)，等价地，。如果记，那么是PT-对称的当且仅当。

定义2.3 [11] 设上复Hilbert空间上的算子，满足以下条件：

(1)是恒等的线性算子，是共轭线性算子；

(2) (K上的恒等算子)；

(3)；

则称算子组为上的一个-结构。又若

(4)为线性算子，，；

(5)关于上的原来内积是正定的：即，且

，

则称算子组为空间上的一个结构。又若为线性算子，且

(6)，即，有，则称算子组为算子的一个-框架。

3. PT-对称量子系统中的量子测量

在经典量子系统中的量子测量在假设3中已经给出，那么在PT-对称量子系统中量子态的测量又是什么样的呢？在本节中我们将讨论这个问题。

在PT-对称量子系统中，设量子测量由一组测量描述，若在测量前，量子系统的最新状态是，则结果发生的可能性由：

给出，且测量后系统的状态为：

测量算子满足方程：。

定理1设，，，，。，。则是的一个CPT-框架，而且为这个PT-对称量子系统的一组测量算子。

证明 (1)

，。即。

。

，，即。

。

。

即。设，则

。

且

所以是的一个CPT-框架。

(2) 因为

，。

所以

，。

从而

，。

而且

。

因此

，

从而为这个PT-对称量子系统的一组测量算子。

注 对于上面的测量算子，设被测量状态是

则获得测量结果0的概率为

获得测量结果1的概率为

测量后的状态分别为：，。

定理2设

，，

，，，

，，，，则是的一个CPT-框架，而且为这个PT-对称量子系统的一组测量算子。

证明 (1)

，，即。

。

，。

即。

。

。

即。设，则

。

且

所以是的一个CPT-框架。

(2)

则

，，，

且

得

从而为这个PT-对称量子系统的一组测量算子。

4. 结论

本文得出了在PT-对称量子系统中的量子测量，即量子测量由一组测量描述，测量后系统的状态为：。并且通过两组测量算子，和，，，得到了PT-对称量子系统中关于量子测量的两个结果。

基金项目

国家自然科学基金(批准号：11571213)。