1. 引言
在数字基带传输系统中，奈奎斯特准则指出 [1] ，为了获得无码间干扰(ISI)的通信，码元速率不能超过奈奎斯特速率。传统观念认为，在码元速率超过奈奎斯特速率后会因为ISI使得通信系统性能下降。而在1975年，Mazo [2] 发现在带限加性高斯白噪声(AWGN)信道中，在码元速率超过奈奎斯特速率的25%以内时，信号间距并不会减小，并将此技术称为Faster-Than-Nyquist signaling (超奈奎斯特，FTN)。近年来，随着通信对频谱利用率要求的不断提高，FTN引起了许多人的关注，同时被扩展到ODFM系统 [3] 、长距离光纤传输 [4] 等领域。本文首先对FTN的历史进行回顾，之后讨论FTN系统中的Mazo限，并对FTN传输与奈奎斯特速率传输的限制信道容量进行对比。从仿真结果可以看出，对于诸如平方根升余弦脉冲等sinc脉冲，FTN在高信噪比下可以得到比奈奎斯特速率下更高的信道容量。
2. 超奈奎斯特速率传输(FTN)及其主要进展
在超过奈奎斯特速率下进行信号传输的早期研究主要来源于贝尔实验室，1965年Tufts [5] 提出对于一个线性时不变的无噪声系统，以任意高的速率传输有限的序列是可能的。在1968年，Saltzberg [6] 研究了在带限信道中ISI和高斯噪声带来的错误影响。与传统的FTN略有不同，Saltzberg研究的是当在频域中使用小于奈奎斯特速率所对应的带宽时传输系统的性能会如何变化。其得出误码率的一个上界估计，并且得出在带宽不小于97%时误码率可保持在10−7以下。然而在Saltzberg的研究中把ISI看成独立噪声，而没有利用其结构。1973年SALZ [7] 在研究最小均方误差判决反馈均衡器时将FTN传输作为特殊情况进行了分析。1975年 [2] Mazo的论文被认为是FTN研究的一个里程碑，他发现当信道速率大于奈奎斯特速率的25%以内时，归一化最小欧式距离保持不变。1995年文献 [8] 提出了一种物理可实现的FTN传输方式，利用迭代方法设计滤波器。由于sinc脉冲物理不可实现，文献 [9] 对升余弦类脉冲进行了研究，并详细分析了不同FTN速率下的错误图样，利用约束编码可能进一步提升FTN系统的速率，代价为大约1 dB的性能降低和复杂度。2000年后FTN又受到了较多关注，主要的研究来自瑞典隆德大学的Rusek和Anderson，Rusek在其博士论文 [10] 中对FTN和部分响应系统作了详细分析，文献 [11] 发现了时域和频域同时混叠的FTN脉冲，并且搜索出了满足最小距离不变的时间和频域间隔。2009年Rusek和Anderson [12] 分析了调制符号独立同分布下FTN系统的信道容量，证明了对于非sinc脉冲，FTN的限制信道容量要大于奈奎斯特速率系统的信道容量。Yoo和Cho [13] 证明了二元调制的FTN传输在信号速率趋于无穷时可逼近奈奎斯特速率下采用高斯分布符号时的信道容量。近年来FTN的研究有在多载波系统上的延伸 [14] ，在长距离光纤传输中的应用 [15] ，以及低复杂度的解调 [16] 等。
3. FTN系统的最小欧式距离与Mazo限
1975年Mazo考虑了在有ISI下两个信号的归一化最小欧氏距离，并发现在符号间隔小于奈奎斯特速率时最小欧氏距离可以保持不变。由于在高信噪比下M-ary信号在AWGN下误码率的紧上界为最小欧式距离的函数，因此可以认为在高信噪比下FTN传输的误码率近似不变。
若用理想sinc脉冲传输二进制PAM信号，符号，则发送信号如下：
(1)
Mazo研究的是当传输符号速率超过奈奎斯特速率的情况。
(2)
其中，这样之间不再满足正交性，并存在ISI。满足不影响信号最小欧氏距离的的最小值被称为Mazo限(Mazo limit)。
信号的归一化最小欧式距离可以表示为
(3)
其中
(4)
记，利用Parseval’s theorem可得：
(5)
其中最后一步假设了中的最小下标为，最大下标为，利用并乘以得到。仔细观察(5)式，当时，利用在上的正交性可得
(6)
当时，(5)式难以直接计算，因此采用仿真的方式，利用matlab对(5)式进行数值仿真，取K = 6，对所有可能的组合进行遍历，结果如图1所示。
从图1中可以看出，当FTN系数时，归一化最小信号距离均为1。文献 [17] 和 [18] 更详细地分析了Mazo限，并且得出在下最小距离不变。由仿真可看出，当时，而当时开始迅速下降，与理论值时归一化最小信号距离不变相符。
Figure 1. Normalized minimum Euclidian distance with increasing FTN signaling rate
图1. FTN系数与归一化信号距离关系图
4. FTN系统的信道容量分析
在AWGN信道下，接收信号可以写成：
(7)
其中为FTN信号，为双边功率谱密度为的高斯白噪声。可以证明，接收信号经过匹配滤波器之后对其以间隔进行采样可得序列的充分统计量：
(8)
其等效模型可写成
(9)
其中。在不构成正交信号集的情况下，，因此存
在ISI，并且不再是独立分布的高斯随机变量，而是色噪声，该模型称为UngerBoeck模型 [19] ，Forney [20] 提出采样的匹配滤波器输出可以经过一个离散的白化滤波器白化从而得到Forney模型：
(10)
这里是一个自相关函数为的ISI序列，是零均值独立高斯随机变量，Forney证明了观测y同样构成发送符号a的充分统计量。香农证明了带宽为W的信号在T时间内大约张成一个2WT维的空间 [21] ，即可以被2WT个数字充分表示，对于双边功率谱密度为的AWGN信道，在传送信号的平均功率受限时，香农提出了著名的信道容量公式：
(11)
上述容量可通过将符号序列调制到sinc脉冲上实现，即：
(12)
其中为满足高斯分布的符号序列，符号间隔，如果发送信号具有光滑的功率谱密度(这里假设为归一化的功率谱密度)，则满足条件的约束信道容量为：
(13)
对于sinc脉冲，C是可达的，但由于sinc脉冲时域衰减较慢，因此实际中常采用升余弦脉冲进行传输，然而升余弦脉冲由于频域的非理想特性，不能逼近同等条件下的信道容量。
下面讨论FTN信号传输的信道容量，假设是独立同分布信号，记
(14)
其中，或者用Forney模型中的y代替x。由文献 [22] 可得，上述离散信道容量在服从高斯分布的情况下得到，且若，则有：
(15)
(16)
，分别代表UngerBoeck模型和Forney模型中的等效滤波器系数。
，根据Parseval’s theorem可得：
(17)
(18)
易知是周期为的周期信号，根据上式可得是周期信号的傅里叶系数，又，所以为周期为的周期信号，由此可得：
(19)
FTN系统的信道容量为：
(20)
对FTN传输，有，AWGN信道下，带入可得：
(21)
对于的情况，可以得到奈奎斯特速率信号的限制信道容量为，N代表奈奎斯特脉冲：
(22)
文献 [12] 证明了如下定理：
定理4.1：当不是sinc脉冲的情况下，存在使得。当时有。
因此对于非sinc脉冲的正交脉冲，若将其传输速率提高到高于奈奎斯特速率，那么可得到更高的限制信道容量。
定理4.2：若脉冲是带宽为W的带限信号，且不是sinc脉冲，那么对于，有，进一步时FTN传输可达该功率谱密度约束下的约束信道容量。
下面针对通信系统中的平方根升余弦脉冲进行仿真，平方根升余弦脉冲是实际系统中常用的脉冲，其频域表达式为
(23)
称为滚降因子，有，越大频域上衰减越平滑，时域衰减越快，越小频域衰减越快，时域衰减越快。对于和，分别对奈奎斯特速率以及超奈奎斯特速率下的限制信道容量进行对比，利用式(21)和(22)对平方根升余弦滤波器进行仿真。
由图2可以看出，对于的根升余弦脉冲，因为其频域较为陡峭，与理想sinc脉冲接近，因此其限制信道容量已经接近无功率谱密度约束下的信道容量，即sinc脉冲对应的信道容量。而对于的根升余弦脉冲，由于过剩带宽的影响，若以奈奎斯特速率传输，那么会损失部分信道容量，而在超奈奎斯特速率传输下，其约束信道容量可获得一定的提升。由上述分析可得，当信号具有剩余带宽时，使用FTN传输可获得更高的性能。FTN可以逼近给定功率谱密度条件下的信道容量。
Figure 2. Constrained capacity of raised cosine pulse with 1 Hz bandwidth
图2. 信道带宽为1 Hz下根升余弦脉冲的限制信道容量比较
最后我们观察对于间隔为，带宽为W的非sinc奈奎斯特脉冲。当P/N0趋于无穷时，分别与的渐进关系，再次将，与的表达式列出如下：
(24)
为归一化功率谱密度满足
定义，为奈奎斯特速率和超奈奎斯特速率系统的信道容量损失比，我们观察与：
对于我们有：
(25)
假设满足，则对于可得：
(26)
可以看出，若信号以理想的sinc脉冲传输，因为，带入可得，因此，但由于sinc脉冲时域衰减较慢，因此常用升余弦或者平方根升余弦脉冲，此时因为引入了过剩带宽，使得，因此，即无论信噪比多高，也存在信道容量的损失。而对于FTN信号则有，可见在高信噪比下FTN信号能很好地逼近信道容量。
下面分别对滚降系数为和的平方根升余弦脉冲进行仿真，分析信道容量损失比与的渐进关系，平方根升余弦脉冲的表达式由式(23)给出。
Figure 3. Channel capacity loss as a function of
图3. 信道容量损失比与的关系
由图3可以看出，当平方根升余弦脉冲的滚降系数较小时，奈奎斯特速率下的容量损失比也较小，并且根据公式和可得：
(27)
将与带入可得，，与仿真结果相符。可以
观察到，无论是或的情况，几乎以相同速度趋于0，并且越大，即过剩带宽越大，FTN信号所能降低的信道容量损失越大，因此FTN传输比非sinc脉冲的奈奎斯特速率传输更为高效。
5. 结束语
本文对FTN的发展历史进行了总结与回顾，并对FTN与奈奎斯特速率下的限制信道容量作了比较，可以看出，在高信噪比下，FTN能充分利用剩余带宽，获得比奈奎斯特系统更好的性能。在高信噪比下，在满足奈奎斯特准则下如果希望传输速率逼近信道容量，就必须采用高阶调制，而FTN可以在保持低阶调制下获得更高的传输速率，但由于其人为引入了码间干扰，如果使用最大似然接收会导致复杂度过高，在现实中无法实现，因此如何实现低复杂度的FTN解调也是研究的热点之一 [23] [24] 。随着这些问题被解决，FTN传输将会获得越来越多的应用。
参考文献