1. 引言
自然科学中的定律及原理是用偏微分方程来表达的，因而偏微分方程是联结数学与自然科学的关键性纽带，求解偏微分方程的显示解，特别是行波解，在理论和实际中有重要的作用，并受到数学和物理学家的广泛关注。许多数学工具和方法被用来求解非线性偏微分方程的行波解。如反散色法 [1] ，Backlund法 [2] ，Darboux变换法 [3] ，Hirota双线性法 [4] ，延拓法 [5] ，Painleve分析法 [6] ，有限差分法 [7] ，Tanh法 [8] 和Sin-Cos法 [9] ，首次积分法 [10] ，试探函数法 [11] 等。由于非线性偏微分方程形式和特征的多样性，尚无一种适用于求解所有类型偏微分方程的方法。
本文研究如下广义KDV方程的行波解
(1)
其中，分数阶微分算子
是Jumarie的修正Riemann-Liouville导数 [12] ，其定义如下：
(2)
为Gamma函数，定义为：
(3)
Jumarie的修正Riemann-Liouville导数有如下性质：
(4)
显然，方程(1)为一类典型的非线性偏微分方程。分数阶非线性偏微分方程是整数阶非线性偏微分方程的自然推广，可以解释许多整数阶非线性偏微分方程无法解释的现象，因而得到了生物、化学、物理、数学等领域学者的广泛关注和高度重视。现已广泛运用到流体力学 [13] 、生物医学 [14] 、固态物理 [15] 等工程领域，并对这些领域的发展产生了深远的影响。寻求分数阶微分方程的精确解已成了数学工作者的重要研究课题，得到了一些求解分数阶非线性方程的方法。如分数阶
展开法 [16] ，分数阶子方程法 [17] ，分数阶微分变换法 [18] ，分数阶同伦扰动法 [19] 等。
最近，Li Zheng Biao和He Ji Huan等人提出了分数阶复变换法 [20] ，运用该方法可将分数阶偏微分方程转化为整数阶偏微分方程。本文将分数阶复变换法与Cn函数展开法 [21] 相结合，求解了分数阶广义的KDV方程(1)。最终，我们获得了方程(1)的周期解和孤立波解，当分数阶导数
时，所得到的精确解就是通常的行波解，大大丰富了此方程的解系，为专家学者在某些问题的研究上提供了帮助。
2. 复变换-Cn函数展开法
基于复变换方法和Cn函数展开法，得到下面的复变换-Cn函数展开法，该方法主要步骤如下：
第一步，考虑如下分数阶微分方程：
(5)
其中
是代数函数
关于自变量t和x的Jumarie的修正Riemann-Liouville导数，P是关于函数u及偏导数的多项式，P中含有最高阶导数和非线性项。
作分数阶复变换：
(6)
其中
是常数，当
时，式(6)就是通常的行波变换，在式(6)的作用下，式(5)变为：
(7)
第二步，假设(7)式的解u可以表示为C的多项式形式：
(8)
其中
是待定常数，
。正整数K通过式(7)中的最高阶导数项和非线性项来确定。
记
，由椭圆函数的导数公式有：
(9)
若以
表示u的最高幂次的次数K，则
最高幂次的次数应为：
(10)
而
的最高幂次的系数为
(11)
将(8)式代入(7)式，平衡方程(7)中的最高阶导数项和非线性项的幂次，可以确定参数K的值，同时利用(9)式等可以导出代数方程
(12)
其中
和
为C的多项式，令
和
中C的各幂次系数为零，便得到确定
及
和
的代数方程组。运用Wu消元法求解这个代数方程组，就得到(5)式的形如(8)的周期波解。特别地，令模数
，就可以得到相应的孤立波解。
3. 分数阶广义KDV方程
考虑如下分数阶广义KDV方程：
(13)
对(13)式作复变换：
(14)
经过整理变形，方程(14)化为
(15)
假设
。对方程(15)积分，并忽略积分常数，得到关于
的二阶常微分方程
(16)
平衡式(16)中的最高阶导数项和非线性项得到
(17)
所以
(18)
情况3.1 当
时，方程(16)化为
(19)
令
，代入到(19)中得到
(20)
假设式(20)具有如下形式解
(21)
平衡式(20)中最高阶导数项和非线性项得到K = 1，将(21)代入式(20)，其中
(22)
合并C相同幂次，并令每一项系数为零，得到一组关于
的方程组
(23)
借助Wu消元法求解方程组得到
(24)
其中
(25)
(26)
于是
(27)
特别的，当
时
(28)
其中
，
的值由上给出，因此得到广义KDV方程精确解如下：
(29)
(30)
情况3.2当
时，方程(16)化为
(31)
令
，代入到(31)得到
(32)
假设式(31)具有如下形式解
(33)
平衡式(32)中最高阶导数项和非线性项得到K=1，将(33)代入式(32)，合并C的相同幂次，并令每一项系数为零，得到一组关于
的方程组
(34)
借助Wu消元法求解方程组得到
(35)
于是
(36)
特别的，当
时
(37)
其中
，
的值由上给出.因此得到广义KDV方程精确解如下：
(38)
(39)
4. 结语
将分数阶复变换方法和Cn函数展开法相结合，得到了求解分数阶非线性方程的精确解的一种新方法。本文求解了广义KDV方程，得到了此方程的新的精确解。当分数阶导数
时，所得到的精确解就是通常的行波解。
基金项目
四川省杰出青年基金(2014JQ0039)，国家自然科学基金(11501395)。