1. 引言
浅水流中的污染物扩散问题有比较重要的实用价值。在相对较浅的自由表面流动中,水平速度为主要分量,问题可以适当的近似为二维问题。Navier-Stokes方程是流体力学中的基本方程,因此可当该方程为出发点,应用沿深度积分的方法可得到浅水流方程 [1] 。浅水流作为污染物运输的载体,可以写出一种污染物扩散问题的方程 [1] :
(1)
其中C为污染物浓度;Q为源项;
、
分别为x、y方向的扩散系数;H为水深;
、
分别为流速在x、y方向的分量。水深与流速可由浅水流方程确定,本文的数值例子中将它们预先给出。
利用深度平均的连续守恒方程
将(1)式进一步改写成
其中
,
。
王焕焕和冯新龙 [2] 分析了水污染扩散问题的两种有限差分格式,证明了其相容性、稳定性与收敛性。王焕 [3] 研究了该问题的特征有限元方法,得到了
误差和
误差估计。
为简便,本文中以图1所示的河的示意图为例,假设河内没有污染源。令扩散系数
(常数)。假设
与边界中的污染源充分远,可认为污染物浓度在研究的时间段内为零,
是河岸。因此问题可写成
2. 向后Euler-Galerkin有限元形式
本文使用下列空间,对于非负整数
和实数
,定义
[4]
在此空间上定义范数如下:
当
时,记
为
,相应的范数为
。
现在推导(2)~(5)的变分形式。记
,用函数
与方程(2)的两端做内积
因此(2)~(5)的变分形式为:求
,使得
(6)
其中
为下式所定义的双线性形式
利用Green公式及(4)、(5)式可简化成
设
为
上的拟均匀剖分,网格参数
,选取的有限元空间为
因此对于问题(2)~(5)的Galerkin有限元形式是:求
,使得
(7)
其中
是
的某个近似。
现设
为空间
的基底,将未知函数
表示为
并在(7)中取
,则有
(8)
其中
为
按基函数
展开的系数。
引进矩阵和向量记号:
,
,
,其中
,
。记M为质量矩阵,A为刚度矩阵。借助上述记号,可将(8)改写成
如果再对时间变量用有限元离散会使计算量有成量级的增加。因此在时间
上我们采用向后Euler差商,从而得到的全离散格式为
(9)
其中
为时间步长。
根据文献 [4] 可知,当有限元形式(7)中的初值
满足条件
时,相应的近似解
与变分形式(6)的真解
之间的误差估计为
易知全离散格式(9)对时间t是一阶精度的。
3. 数值实验
针对图1所示的河,考虑初边值问题(2)~(5)的数值计算。设
、k = 15 m2/s,初始条件为
为计算简便,将水深函数
取为
x轴方向20等分,y轴方向15等分便得到矩形单元,这里有限元空间取为
(a) t = 100 s (b) t = 500 s (c) t = 1000 s (d) t = 2000 s
Figure 2. Distribution of the concentration of pollutants in the river with time
图2. 河中污染物浓度随时间变化的分布情况
取时间步长
,用全离散格式(9)进行计算,就可以得到数值解。图2(a)~图2(d)给出了当时间
t =100 s;t = 500 s;t = 1000 s;t = 2000 s时河中污染物浓度分布情况,图中的高度表示浓度大小。
4. 结论
本文中推导出了水污染扩散问题的向后Euler-Galerkin方法。通过数值模拟的结果看到效果是较好的。