1. 引言
凸型函数在纯粹数学和应用数学等众多领域中具有广泛的应用,譬如它已成为数学规划、对策论、数理经济,最优控制等学科的理论基础和有力工具。2007年Varosanec [1] 提出了h-凸函数的概念。h-凸函数是凸函数、s-凸函数 [2] 、Godunova-Levin函数 [3] 以及P-函数 [4] 等函数类的推广。我们熟知这些函数类在数学的各个分支中有大量的应用,因此h-凸函数引起了学者们广泛的兴趣与关注(如见文献 [5] [6] [7] 等)。2011年Angulo等 [8] 在强凸函数 [9] 和h-凸函数的基础上引进了强h-凸函数。和h-凸函数类似,当
取不同值时可分别得到强凸函数 [9] 、强s-凸函数、强Godunova-Levin函数以及强P-函数等(见文献 [8] )。本文主要结合函数(列)的上积性、单调性、收敛性等概念,对强h-凸函数的性质进行更深入的分析和讨论。
2. h-凸函数和强h-凸函数的定义
2007年Varosanec [1] 引进了一类推广了的凸型函数:h-凸函数,即
定义1:设
是
内的一个区间,且
,函数
。若函数
满足,
,
(1)
则称f为定义在区间I上的h-凸函数。若(1)式中不等号反向成立,则称f为I上h-凹函数。
特别地,当
时,则f为凸函数;当
(
)时,f为s凸函数;
时,f为Godunova-Levin函数;
时,f为p函数。
2011年Angulo [8] 进一步推广了h-凸函数,引入了强h-凸函数的概念。
定义2:设
是实赋范线性空间,I是
中的一个凸子集,J是
内的一个区间,且
,函数
。若函数
满足:存在常数
,
,不等式
(2)
成立,那么我们就称函数f是I上的模c强h-凸函数。若上述不等式反向成立,那么我们就称函数f是I上的模c强h-凹函数。在不引起混淆的情况下,我们分别简称为f是I上的强h-凸函数与强h-凹函数。
类似地,当
时,我们称f是I上的模c强凸函数;当
(
)时,称f是I上的模c强s-凸函数;当
时,称f是I上的模c强Godunova-Levin凸函数;当
时,称f是I上的模c强p凸函数。
为方便起见,在下文中我们约定符号
,
,
表示实赋范线性空间
中的凸子集(有时它们也会表示特殊的实赋范线性空间-
中的区间),符号
,
,
表示
中包含
的区间。
3. 强h-凸函数的基本性质
受文献 [9] 的启发,本节主要讨论强h-凸函数的一些基本性质,如可加性,复合函数的性质等,并且也比较了强h-凸函数和h-凸函数两者之间的关系。
定理1:设非负函数h满足
,
,若f是I上的模c强凸函数,则f也为I上的模c强h-凸函数。设非负函数h满足
,
,若f是I上的模c强凹函数,则f也为I上的模c强h-凹函数。
证明:若
,
,且若f为定义在I上模c强凸函数,则
,
,
有
.
即f为I上的模c强h-凸函数。
若
,
,且若f为I上的非负模c强凹函数,则
,
,有
.
即f为I上的模c强h-凹函数。
定理2:设非负函数
满足
,
。若f是I上的模c强h2-凸函数,则f为I上模c强h1-凸函数;若f是I上的模c强h1-凹函数,则f为I上模c强h2-凹函数。
证明:若f为模为c强h2-凸函数,则对于任意的
,有
.
即f为模为c的强h1-凸函数。同理可证凹函数的情况。
类似定理2的证明,我们容易得到下面的结论。
定理3:设h为定义在区间I上的非负函数。已知
,若f模为
强h凸函数,则f为模为
的强h凸函数;若f模为
强h凹函数,则f为模为
的强h凹函数。
定理4:设常数
。若
,
分别为定义在I上的模为
,
的强h-凸(凹)函数,则
为I上的模
强h-凸(凹)函数,
为I上的模
强h-凸(凹)函数。
证明:若
,
分别为I上模为
,
的强h-凸函数,则有
,
.
因此
,
强h-凹函数的情形可类似的证明。
注:特别地,当
时,定理1~4恰是Varosanec [1] 关于h-凸函数性质研究的结论。
4. 上积函数,单调性与强h-凸函数的关系
定义3 [1] :若函数
满足
,
那么我们称h为J上的上积函数。若上述不等号反向,则称h为J上的下积函数。
定理5:设f为I上的模c强h-凸函数,且h为J上的上积函数。若
,则
,且
,有
(3)
证明:记
。令
,则
。
.
定理6:设h是区间
上的非负函数,且对某个
,有
。若f是定义在I上的非负函数,且
,
,满足不等式
(4)
那么有
。
证明:我们用反证法来证明。若
,即
。将
代入不等式(4)中得到
.
因为
,不妨取
,那么
.
则有
.
这与条件
相矛盾。所以假设不成立,故
。
单调性是函数的一个重要性质。下面结合单调性讨论复合函数的强凸性。
定义4:设f是定义在区间I上的一个实函数,若存在常数
,
有
,
则称f在I上满足逆Lipschitz条件,且称
为逆Lipschitz常数,记为
。
定理7:设
,
满足逆Lipschitz条件
,且
。若g是凸(凹)函数,f是单调递增(单调递减)的模c强h-凸函数,那么复合函数
是定义在
上的模
强h-凸函数;若
是凸(凹)函数,f是单调递减(单调递增)模c强h-凹函数,那么复合函数
是定义在
上的模
强h-凹函数。
证明:我们仅证明复合函数是强h-凸函数情形。不妨设g是凸函数,f是单调递增的模c强h-凸函数,那么,
,有
.
定理8:设函数
,且
是
上的上积函数,
,
。若函数f是定义在
上的单调递增(单调递减)的模c强h-凸函数,且有
,
,函数g为定义在
上的h2-凸(凹)函数,且满足逆Lipschitz条件
与
,那么复合函数
是
上的模
强h-凸函数。
证明:不失一般性,我们仅考虑g是
上的h2-凸函数,f在
上单调递增的情形。由假设可知,
,
有
(5)
又因为
,则由定理4知
(6)
注意到
满足逆Lipschitz条件
及
,则由(5)与(6)得
.
定理得证。
定理9:设h为J上的非负上积函数。若f为定义在I上的模c强h-凸函数,那么
,有
,
其中
为任意正数,
。
证明:我们利用数学归纳法来证明。当
时,注意到
,根据f是模c强h-凸函数的定义,易知道结论成立。假设结论对
成立,则对一般的
有,
定理得证。
5. 函数列收敛和强h-凸函数
在本节我们主要讨论当强h-凸函数列
收敛时,它的极限函数
是否也是强h-凸函数?
定理10:设函数列
的每一项分别为模
的强h-凸函数,
。若函数列
在I上收敛于函数
,
在
上收敛于函数
,那么
是模c强h-凸函数。
证明:由于
为
上的非负函数列,故其收敛函数
也是非负函数。由已知条件可知,
,
.
因此
.
即
.
推论:设函数列
:的每一项分别为模
的强h-凸函数,
。若函数列
在I上收敛于函数
,
在
上收敛于函数
,那么
是模c强h-凸函数。
基金项目
浙江省自然科学基金(No. LY18A010015),国家级大学生创新创业训练计划项目(No. 201714275002),浙江外国语学院2017年大学生创新创业训练计划项目。