正定矩阵的判定方法和新的Brauer卵形

Determination Method of Positive Definite Matrix and New Brauer Oval

摘要: 利用文[郑巧娟，李耀堂。p-范数双严格对角占优矩阵与新的特征值包含区域。应用数学进展，2017，6(3)：367-375。]中所给矩阵的特征值包含区域获得了实对称矩阵正定性的一种判定方法。另外，给出了一个新的正规矩阵Brauer卵形特征值包含区域，使得每个卵形至少包含矩阵的一个特征值。

Abstract: The eigenvalue inclusion region in [Qiaojuan Zheng, Yaotang Li. p-Norm DSDD Matrices and New Eigenvalue Localization Region, Applied Mathematical Progress, 2017, 6(3): 367-375.] is used to obtain a method for determining the positive definite property of the real symmetric matrix. In addition, a new normal matrix Brauer oval eigenvalue inclusion region is given, so that each oval contains at least one eigenvalue of the matrix.

1. 引言

正定矩阵及其正定矩阵的判定是矩阵理论研究的重要内容之一，很多学者对其做出了研究。对于正定矩阵的研究，起初出现在实二次型与Hermite型的研究中。而这种正定性的研究只局限于实对称矩阵和Hermite矩阵。随着数学以及矩阵应用等的发展，有不少学者开始研究非对称的较为广义的正定矩阵，并取得了丰富的成果，这些成果在自动控制、系统理论等许多领域都有广泛的应用。本文中，我们还将致力于实对称矩阵的正定性研究。利用文献 [1] 中给出的一类非奇异矩阵——p-范数双严格对角占优矩阵及特征值包含区域，给出了实对称矩阵正定性的一种判定方法。

此外，矩阵特征值的包含区域在动力系统的稳定性分析，控制系统的可控制性研究，线性方程组的算法分析等问题的研究中有着重要的作用，是矩阵应用与分析中的一个重要课题。而我们熟悉的特征值包含区域，有著名的Geršgorin定理、Brauer定理等等，但是无论Geršgorin定理还是Brauer定理都不能保证每个Geršgorin圆盘和每个Brauer卵形都包含矩阵的特征值。对于正规矩阵，本文将给出一种新的Brauer卵形，使其每个卵形至少包含矩阵的一个特征值。

2. 预备知识

本节给出一些基本符号和基本概念，以备后用。

首先给出文中所用的符号和术语。设n为自然数，记 $N=\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 。 $C^n$ $\left(R^n\right)$ 为 $n$ 维复(实)列向量空间， $C^{n\times n}$ $\left(R^{n\times n}\right)$ 为 $n\times n$ 维复(实)矩阵组成的集合。设向量 $x={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^{\text{T}}\in C^n$ ， $A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ ， $q,p\in \left[1,\infty \right]$ 。记

${\Vert x\Vert }_q={\left({\displaystyle \underset{i\in N}{\sum }{\left|x_i\right|}^q}\right)}^{\frac{1}{q}}$ ， $r_i^p\left(A\right)={\left({\displaystyle \underset{j\in N\backslash \left\{i\right\}}{\sum }{\left|a_{ij}\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}$ ， $i\in N$ 。

特别地，当 $p=1$ 时， $r_i\left(A\right)={\displaystyle \underset{j\in N\backslash \left\{i\right\}}{\sum }\left|a_{ij}\right|}$ 。

定义1 [2] ：设 $A\in R^{n\times n}$ 是对称矩阵。如果对任意 $0\ne x\in R^n$ ，都有

$x^{\text{T}}Ax>0\left(x^{\text{T}}Ax\ge 0\right)$ (2.1)

则称 $A$ 是实对称正定矩阵(实对称半正定矩阵)。

文献 [3] [4] 中介绍了双对角占优矩阵、双严格对角占优矩阵并给出了关于矩阵特征值包含区域的Brauer定理。

定义2 [3] 设 $A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ ，如果

$\left|a_{ii}\right|\cdot \left|a_{jj}\right|\ge r_i\left(A\right)r_j\left(A\right)$ ， $i,j\in N$ ，且 $i\ne j$ (2.2)

则称 $A$ 为双对角占优矩阵，记为DDD矩阵。如果

$\left|a_{ii}\right|\cdot \left|a_{jj}\right|>r_i\left(A\right)r_j\left(A\right)$ ， $i,j\in N$ ，且 $i\ne j$

则称 $A$ 为双严格对角占优矩阵，记为DSDD矩阵。

定理1 [4] ：(Brauer定理)设 $A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ ，则 $A$ 的所有特征值都包含在其 $\frac{n\left(n-1\right)}{2}$ 个Cassini卵形区域的并集之中，即

$\sigma \left(A\right)\subseteq K\left(A\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{l}i,j\in N\\ i\ne j\end{array}}{\cup }{K}_{i,j}}\left(A\right)$ (2.3)

其中 $\sigma \left(A\right)$ 为 $A$ 的谱，

$K_{i,j}\left(A\right)=\left\{z\in C:\left|z-a_{ii}\right|\cdot \left|z-a_{jj}\right|\le r_i\left(A\right)r_j\left(A\right)\right\}$ ,

称为矩阵 $A$ 的Cassini卵形区域。

在文献 [1] 中，我们引进了一类新的非奇异H-矩阵—p-范数DSDD矩阵并给出了其对应的特征值包含区域。

定义3 [1] ：设 $A\in C^{n\times n}$ ， $p\in \left[1,\infty \right]$ 。若存在满足 ${\Vert x\Vert }_q\le 1$ 的正向量 $x={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^{\text{T}}>0$

使得

$x_i{x}_j\left|a_{ii}\right|\left|a_{jj}\right|>r_i^p\left(A\right)r_j^p\left(A\right),i,j\in N;i\ne j$ (2.4)

成立，则称 $A$ 为p-范数DSDD矩阵，其中 $q$ 为 $p$ 的Hölder补，即 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 。

定理3 [1] ：设 $A$ 为p-范数DSDD矩阵，则 $A$ 非奇异。

定理4 [1] ：设 $A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ ， $p\in \left[1,\infty \right]$ ，则 $A$ 为p-范数DSDD矩阵当且仅当

${\displaystyle \underset{\begin{array}{l}i,j\in N\\ i\ne j\end{array}}{\sum }{\left(\frac{r_i^p\left(A\right)r_j^p\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|\left|a_{jj}\right|}\right)}^{\frac{p}{p-1}}}<1$ 。 (2.5)

定理5 [1] ：设 $A\in C^{n\times n}$ ， $p\in \left[1,\infty \right]$ ，则对任意满足 ${\Vert x\Vert }_q\le 1$ 的正向量 $x={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^{\text{T}}>0$ ，有

$\sigma \left(A\right)\subseteq {\Phi }^{p,x}\left(A\right):={\displaystyle \underset{{\Vert x\Vert }_q\le 1}{\cap }{\displaystyle \underset{i,j\in N}{\cup }{\Phi }_{i,j}^{p,x}\left(A\right)}}$ 。 (2.6)

其中 ${\Phi }_{i,j}^{p,x}\left(A\right):=\left\{z\in C:x_i{x}_j\left|z-a_{ii}\right|\left|z-a_{jj}\right|\le r_i^p\left(A\right)r_j^p\left(A\right)\right\}$ ； $q$ 为 $p$ 的Hölder补，即 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 。

定理6：设 $A\in C^{n\times n}$ 且对任意 $i\in N$ ，存在 $j\ne i$ ，使 $a_{ij}\ne 0$ ，且 $p\in \left(1,\begin{array}{c}\infty \end{array}\right]$ ，则

$\sigma \left(A\right)\subseteq {\Phi }^p(\; A\; )$

其中，

${\Phi }^p\left(A\right):=\left\{z\in C:{\displaystyle \underset{\begin{array}{l}i,j\in N\\ i\ne j\end{array}}{\sum }{\left(\frac{r_i^p\left(A\right)r_j^p\left(A\right)}{\left|z-a_{ii}\right|\cdot \left|z-a_{jj}\right|}\right)}^{\frac{p}{p-1}}}\ge 1\right\}$ (2.7)

证明：设 $A\in C^{n\times n}$ ， $p>1$ ， $\lambda \in \sigma \left(A\right)$ ，假若 $\lambda \notin {\Phi }^p\left(A\right)$ ，则

${\displaystyle \underset{\begin{array}{l}i,j\in N\\ i\ne j\end{array}}{\sum }{\left(\frac{r_i^p\left(A\right)r_j^p\left(A\right)}{\left|z-a_{ii}\right|\cdot \left|z-a_{jj}\right|}\right)}^{\frac{p}{p-1}}}<1$ 。(2.8)

令 $B=\lambda I-A=\left(b_{ij}\right)$ ，由 $\lambda \in \sigma \left(A\right)$ 知， $0\in \sigma \left(B\right)$ ，故 $B$ 为奇异矩阵。由 $B=\lambda I-A=\left(b_{ij}\right)$ 知

$r_i^p\left(B\right)=r_i^p\left(A\right)$ ， $\left|b_{ii}\right|=\left|\lambda -a_{ii}\right|$ ， $i\in N$ ，

$r_j^p\left(B\right)=r_j^p\left(A\right)$ ， $\left|b_{jj}\right|=\left|\lambda -a_{jj}\right|$ ， $j\in N$ 。

于是由(2.8)式可得

${\displaystyle \underset{\begin{array}{l}i,j\in N\\ i\ne j\end{array}}{\sum }{\left(\frac{r_i^p\left(B\right)r_j^p\left(B\right)}{\left|b_{ii}\right|\cdot \left|b_{jj}\right|}\right)}^{\frac{p}{p-1}}}<1$ 。

再由定理4知矩阵 $B$ 为p-范数DSDD矩阵，于是由定理3知矩阵 $B$ 为非奇异的，这与矩阵 $B$ 是奇异的相矛盾。综上所述， $\lambda \in {\Phi }^p\left(A\right)$ 。

下面给出判定实对称矩阵正定的一些必要条件和充分条件。

定理7 [2] ：设 $A\in R^{n\times n}$ ，如果 $A$ 是实对称正定矩阵，则 $A$ 的对角元素全为正。

定理8 [2] [2] ：实对称矩阵 $A$ 是正定矩阵的充分必要条件是 $A$ 的特征值全大于零。

定理9 [5] ：实对称矩阵 $A$ 是正半定矩阵的充分必要条件是 $A$ 的特征值全是非负实数。

3. 实对称矩阵正定性的判定

本节我们给出一些判定实对称矩阵正(半)定性的充分条件。

定理10：设 $A\in R^{n\times n}$ 为对称矩阵，且 $a_{ii}>0\left(i\in N\right)$ 。如果 $A$ 为p-范数DSDD矩阵，则 $A$ 是正定的。

证明：反证法。设 $\lambda \in \sigma \left(A\right)$ ，则 $\lambda$ 为实数。由定理5知，存在满足 ${\Vert x\Vert }_q\le 1$ 的正向量 $x={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^{\text{T}}>0$ 和 $i_0,j_0\in N$ 且 $i_0\ne j_0$ ，使得

$\lambda \in {\Phi }_{i_0,j_0}^{p,x}(\; A\; )$

即

$x_{i_0}{x}_{j_0}\left|\lambda -a_{i_0{i}_0}\right|\left|\lambda -a_{j_0{j}_0}\right|\le r_{i_0}^p\left(A\right)r_{j_0}^p\left(A\right)$ (3.1)

假若 $\lambda \le 0$ ，由于 $a_{ii}>0,i\in N$ 和 $A$ 为p-范数DSDD矩阵得

$x_{i_0}{x}_{j_0}\left|\lambda -a_{i_0{i}_0}\right|\left|\lambda -a_{j_0{j}_0}\right|\ge x_{i_0}{x}_{j_0}{a}_{i_0{i}_0}{a}_{j_0{j}_0}>r_{i_0}^p\left(A\right)r_{j_0}^p(\; A\; )$

这与(3.1)式相矛盾，因此 $\lambda >0$ 。再由定理8知， $A$ 是正定的。

引理1 [6] ：设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵，且对任意的 $i\in N$ ，有 $a_{ii}>0$ 。如果 $A$ 为双对角占优矩阵，则 $A$ 为正半定的；如果 $A$ 为双严格对角占优矩阵，则 $A$ 为正定的。

定理 11：设 $A\in R^{n\times n}$ 为对称矩阵，且 $a_{ii}>0\left(i\in N\right)$ ， $p\in \left[1,\infty \right]$ 。如果

${\displaystyle \underset{\begin{array}{l}i,j\in N\\ i\ne j\end{array}}{\sum }{\left(\frac{r_i^p\left(A\right)r_j^p\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|\left|a_{jj}\right|}\right)}^{\frac{p}{p-1}}}\le 1$ (3.2)

则 $A$ 是正半定的。

证明：若 $p=1$ ，则

$\underset{\begin{array}{l}i,j\in N,\\ i\ne j\end{array}}{\max }\frac{r_i\left(A\right)r_j\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|\left|a_{jj}\right|}\le 1$ ，

由定义2知， $A$ 为双对角占优矩阵。根据引理1可知， $A$ 是正半定的。若 $p>1$ ，设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值。由定理6知 $\lambda \in {\Phi }^p\left(A\right)$ 。这表明对于

${\displaystyle \underset{\begin{array}{l}i,j\in N\\ i\ne j\end{array}}{\sum }{\left(\frac{r_i^p\left(A\right)r_j^p\left(A\right)}{\left|\lambda -a_{ii}\right|\cdot \left|\lambda -a_{jj}\right|}\right)}^{\frac{p}{p-1}}}\ge 1$

假若 $\lambda <0$ ，由于 $a_{ii}>0,i\in N$ ，故有

${\displaystyle \underset{\begin{array}{l}i,j\in N\\ i\ne j\end{array}}{\sum }{\left(\frac{r_i^p\left(A\right)r_j^p\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|\cdot \left|a_{jj}\right|}\right)}^{\frac{p}{p-1}}}>{\displaystyle \underset{\begin{array}{l}i,j\in N\\ i\ne j\end{array}}{\sum }{\left(\frac{r_i^p\left(A\right)r_j^p\left(A\right)}{\left|\lambda -a_{ii}\right|\cdot \left|\lambda -a_{jj}\right|}\right)}^{\frac{p}{p-1}}}\ge 1$

这与(3.2)式相矛盾，因此 $\lambda \ge 0$ 。再由定理9可知， $A$ 是正半定的。

4. 新的Brauer卵形

本节，我们给出正规矩阵的新型的特征值Brauer卵形包含区域。

定义4 [7] ：设 $A\in C^{n\times n}$ ，若

$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A$

则称 $A$ 为正规矩阵。

我们知道，即使著名的Geršgorin’s定理也不能保证每个Geršgorin圆盘都包含矩阵的一个特征值。但在文献 [8] 中，对于正规矩阵，给出了一种Geršgorin型圆盘，其每个圆盘都包含矩阵的特征值。

定理12 [8] ：设 $A\in C^{n\times n}$ 为正规矩阵。则 $A$ 的每个Geršgorin圆盘

$E_i=\left\{z\in C:\left|z-a_{ii}\right|\le r_i^2\left(A\right)\right\}$ , (4.1)

必包含矩阵 $A$ 的一个特征值，其中，

$r_i^2\left(A\right)={\left({\displaystyle \underset{\begin{array}{l}i,j\in N,\\ j\ne i\end{array}}{\sum }{\left|a_{ij}\right|}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}$ 。

同样，矩阵 $A$ 的某个Brauer Cassini卵形可能也不包含矩阵 $A$ 的特征值。然而对于正规矩阵，应用定理11，我们可得到下面的结论。

定理13：设 $A\in C^{n\times n}$ 为正规矩阵，则 $A$ 的每个卵形区域

$E_{i,j}=\left\{z\in C:\left|z-a_{ii}\right|\left|z-a_{jj}\right|\le r_i^2\left(A\right)r_j^2\left(A\right)\right\}$ (4.2)

必包含矩阵 $A$ 的一个特征值。

证明：反证法。假若存在 $E_{i,j}$ 不包含矩阵 $A$ 的任何特征值，则对任意的 $\lambda \in \sigma \left(A\right)$ 有

$\left|\lambda -a_{ii}\right|\left|\lambda -a_{jj}\right|>r_i^2\left(A\right)r_j^2(\; A\; )$

即

$\frac{\left|\lambda -a_{ii}\right|\left|\lambda -a_{jj}\right|}{r_i^2\left(A\right)r_j^2\left(A\right)}=\frac{\left|\lambda -a_{ii}\right|}{r_i^2\left(A\right)}\cdot \frac{\left|\lambda -a_{jj}\right|}{r_j^2\left(A\right)}>1$ 。

因此， $\frac{\left|\lambda -a_{ii}\right|}{r_i^2\left(A\right)}$ 与 $\frac{\left|\lambda -a_{jj}\right|}{r_j^2\left(A\right)}>1$ 至少有一个成立，即

$\left|\lambda -a_{ii}\right|>r_i^2\left(A\right)$ ， $\left|\lambda -a_{jj}\right|>r_j^2(\; A\; )$

至少有一个成立。这表明 $A$ 的第i个和第j个Geršgorin圆盘中至少有一个不包含矩阵 $A$ 的任何特征值。这与定理12的结论矛盾。

例1：设

$A=\left[\begin{array}{cccc}10& 3& 7& 7\\ 3& 4& 2& 2\\ 7& 2& 6& 5\\ 7& 2& 5& 3\end{array}\right]$ 。

易知 $A$ 为正规矩阵且 $\sigma \left(A\right)=\left\{-1.4474,0.7211,3.0056,20.7208\right\}$ 。见图1~图2。

Figure 1. The new brauer oval E_i,j of a for example 1

图1. 例1中矩阵A的新的Brauer卵形E_i,j

Figure 2. The brauer cassini oval k_i,j(a) of a for example 1

图2. 例1中矩阵A的Brauer Cassini卵形K_i,j(A)

定理14：设矩阵 $A\in C^{n\times n}$ 为正规矩阵，则 $E_{i,j}\subseteq K_{i,j}$ 。

证明：由Cauchy-Schwartz不等式知，

$r_i^2\left(A\right)\le r_i\left(A\right)\le \sqrt{n-1}{r}_i^2\left(A\right),i\in N$ 。

因此

$r_i^2\left(A\right)r_j^2\left(A\right)\le r_i\left(A\right)r_j\left(A\right)\le \left(n-1\right)r_i^2\left(A\right)r_j^2\left(A\right)$ 。

故 $r_i^2\left(A\right)r_j^2\left(A\right)\le r_i\left(A\right)r_j\left(A\right)$ ，由此即得， $E_{i,j}\subseteq K_{i,j}$ 。

在例1中，对于矩阵

$A=\left[\begin{array}{cccc}10& 3& 7& 7\\ 3& 4& 2& 2\\ 7& 2& 6& 5\\ 7& 2& 5& 3\end{array}\right]$ 。

我们从图3中，可以看出 $E_{i,j}\left(A\right)\subseteq K_{i,j}\left(A\right)$ 。但是，正规矩阵 $A$ 的某些特征值可能不在 ${\displaystyle \underset{\begin{array}{l}i,j\in N,\\ i\ne j\end{array}}{\cup }{E}_{i,j}}$ 之内。

例2

$B=\left[\begin{array}{cccc}10& 7& 8& 7\\ 7& 5& 6& 5\\ 8& 6& 10& 9\\ 7& 5& 9& 10\end{array}\right]$ 。

矩阵 $B$ 为实对称矩阵，则 $B$ 为正规矩阵。用Matlab计算得

$\sigma \left(B\right)=\left\{0.0102,0.8431,3.8581,30.288\right\}$ ,

Figure 3. The formula and firgure in the same example 1

图3. 同例1中的公式、图示

Figure 4. The union set of the new brauer oval of B for example 2

图4. 例2中矩阵B的所有新的Brauer卵形的并集

其Brauer型特征值包含区域如图4所示。显然，

$30.288\not\subset {\displaystyle \underset{\begin{array}{l}i,j\in N,\\ i\ne j\end{array}}{\cup }{E}_{i,j}},N=\left\{1,2,3,4\right\}$ 。