1. 引言
求解非线性偏微分方程的精确解是目前科技发展中解决非线性问题的关键。现在已有多种可以求得非线性偏微分方程精确解的常用方法,其中
展开法 [1] ,是一种较为简单可行的计算方法。本文就是以
展开法为基础,构造了一类
展开法,其中
为互不相等的自由参数,并令其中的函数
满足一类变系数Bernoulli方程。通过此展开法,求得了RLW-Burgers方程的多个新的精确解。
RLW-Burgers方程
(1)
其中
。该方程可以用来描述河渠中水波表面的传播性态,它的行波解的存在性及解的性质已由文献 [2] 和文献 [3] 给出;振荡激波解也由文献 [4] 得到;通过未知函数的变换及待定系数法,文献 [5] 得到了该方程的显式行波解;该方程的古典对称和势对称也在文献 [6] 中得到了研究,并通过推广的双曲函数法和Lie变换群得到了该方程的精确解;文献 [7] 通过改进的G展开法得到了方程的含参数的多种形式的精确解。
2. 满足变系数方程的G展开法
将非线性偏微分方程
(2)
作行波变换,令
,
,则化为常微分方程
,
设方程(2)的解为
(3)
其中
为待定的常数,
为互不相等的自由参数,参数
可以通过齐次平衡法确定;其中函数
满足一类变系数Bernoulli方程
(4)
这里
均为
的任意函数。通过借助符号计算软件Mathematica,我们可以得到方程(4)的解:
(5)
这里
为积分常数。
将(3)式代入(2)式,并结合(4)式,合并
的同幂次项,并令
的各次幂的系数为零,从中求出
,再将求得的
代入(5)式,得到
函数,最后将
与
代入(3)式即得到方程(2)的解。
3. RLW-Burgers方程新的精确解
设方程(1)有行波解
,其中
表示波速,从而方程(1)化为
,
将上式两边关于
进行积分并化简,得
, (6)
其中M为积分常数。设方程(1)的解能够表示成多项式
,且
满足一类变系数Bernoulli方程
,
其中
为
的任意函数。利用齐次平衡法,我们有
,得
。则方程(1)的解表示为
, (7)
由方程(4)和(7)式可得
将上面
的各阶导数全部代入(6)式,并合并
的同幂次项,比较方程两端的系数,化简得
:
。
用Mathematica软件对以上代数方程组进行求解,我们得到了以下五组解:
1)
,
,
,
,
,
,
其中
均为任意常数。将上面求得的
代入(5)式,有
,
其中
均为任意常数。再由(7)式,我们得到了RLW-Burgers方程的解为
这里的
。
2)
,
,
,
,
,
,
,
,
其中
均为任意常数。将上面求得的
代入(5)式,有
,
再由(7)式,我们得到了RLW-Burgers方程的解为
,
这里的
。
3)
,
,
,
,
,
,
其中
均为任意常数。将上面求得的
代入(5)式,有
,
再由(7)式,我们得到了RLW-Burgers方程的解为
这里的
。
4)
,
,
,
,
,
,
,
其中
均为任意常数。将上面求得的
代入(5)式,有
,
再由(7)式,我们得到了RLW-Burgers方程的解为
,
这里的
。
5)
,
,
,
,
,
,
,
其中
均为任意常数。将上面求得的
代入(5)式,有
,
再由(7)式,我们得到了RLW-Burgers方程的解为
,
这里的
。
4. 总结
本文构造了一类满足变系数Bernoulli方程的,且含有自由参数
的
展开法。用此方法对RLW-Burgers方程进行了求解,得到了该方程的多个新的显式行波解。事实证明,该方法不仅可以求解非线性偏微分方程,而且可以得到方程更为丰富的精确解。
基金项目
国家自然科学基金(11601109),海南省自然科学基金(117066)。