1. 引言
英国数学家W. R. Hamilton根据光学与力学之间的深刻联系,对经典力学进行了创造性的研究得到了与Newton力学、Lagrange力学等价的又一种力学表述——Hamilton力学。Hamilton力学以其严谨、对称的数学框架成为经典力学史上的美妙理论,并最终成为量子力学等许多学科的理论基础。量子力学创始人薛定谔曾说“Hamilton原理已成为现代物理的基石,如果想要用现代理论解决任何物理问题,首先得把它表示成Hamilton形式” [1] 。Hamilton系统是Hamilton力学的数学表示,它在数学、物理和力学领域具有广泛应用。有限维线性Hamilton系统是Hamilton系统里最简单且最基本的形式,该系统对应的系数矩阵为如下形状的
矩阵:
其中
是Hermite矩阵,
是的共轭转置,此时称
为Hamilton矩阵。Hamilton矩阵的特征值问题以及可逆性问题在代数方程求解问题、控制论以及辛几何等领域有重要应用 [2] 。
据我们所知,矩阵特征值的代数重数与几何重数在研究矩阵若当标准型、对角化以及在可修复系统,向量型Sturm-Liouville问题,迁移理论等领域也具有重要应用。一般情况下,矩阵的代数重数与几何重数不一定相等。但是,当特征值的代数指标为1的时候,代数重数与几何重数相等,此时不存在广义特征向量。因此本文研究了Hamilton矩阵特征值的代数指标何时为1的问题,给出了Hamilton矩阵特征值的代数指标何时为1的一些充分条件。
2. 预备知识
为了证明主要结论首先给出下列定义及引理。
定义1:设
为Hermite矩阵,如果对任意的
都有
则称
为Hermite正定矩阵(半正定矩阵) [3] 。
定义2:分块矩阵
,则其中
是Hermite矩阵,
是
的共轭转置,此时称
为Hamilton矩阵。如果是Hermite半正定矩阵,则称
为非负Hamilton矩阵 [4] 。
定义3:设
,使得
成立的最小的非负整数
称为
的代数指标,记为
,其中
引理1:设
是复数域上的
的矩阵,如果对任意的
存在
使得,则
在
处的代数指标不超过
,特别的,若
则
在
处的代数指标为1。
证明:假定
,则存在
使得
即
。根据给定条件,存在
使得
两边取共轭转置得
这与
矛盾。从而
。
引理2:
是Hermite半正定矩阵,如果存在向量
使得
,则
。
证明:是Hermite半正定矩阵,因此,存在矩阵
,使得
,即得
故
两边同乘矩阵
得
3. 主要结果及其证明
定理1:设
是非负Hamilton矩阵,则
可逆当且仅当
且
。
证明:必要性。当
可逆时,假设
,则存在
使得
令
,则有
这与
可逆矛盾,假设不成立。
同理可证
时与条件矛盾。由此可得
可逆时
且
充分性。假设矩阵
不可逆,则存在
,使得
(3.1.1)
第一式两边与
作内积,
与第二式两边作内积后两式相加得
由于
是Hermite半正定矩阵,从而
由引理2可知
进而代入式(3.1.1)得
则得出
这与条件矛盾。结论证毕。
定理2:设
Hamilton矩阵,如果
是Hermite正定矩阵且
是Hermite矩阵,则对任意
有
。其中
表示
的特征值集合。
证明:对任意
,考虑到
以及
是Hermite正定矩阵,有
由于
,于是
且
。
当
时,取
,则
其中
表示辛矩阵
,
是单位矩阵。此时有
由引理1可知,
。
当
时,取
,则
并且
由引理1可知,
。结论证毕。
注:若把定理2的条件改成
是Hermite正定矩阵且
是Hermite矩阵,则同理可证定理2的结论仍成立。
定理2的条件是对
来说的,而
时定理2的结论不一定成立。下面给出具体例子说明这一点。
例1:令
是Hamilton矩阵,则
是Hermite正定矩阵且
是Hermite矩阵,满足定理2的条件。然而,经计算易得
并且
取
,其中
是
维非零向量,则
但
从而得矩阵
的
的代数指标为2。
那么,当
是Hamilton矩阵
的特征值时,代数指标何时为1呢?下面的定理将回答这个问题。
定理3:设
Hamilton矩阵,如果
是可逆矩阵且Hermite矩阵
或
为正定矩阵时,当
是Hamilton矩阵的特征值时
。
证明:对任意
,有
得
从而
并且
由引理1可知,
。结论证毕。
注:若把定理3的条件改成
是可逆矩阵且
或
为正定矩阵,则同理可证定理3的结论仍成立。
基金项目
内蒙古大学创新创业基金项目(批准号:201711204),国家自然科学基金(批准号:11561048)。
参考文献