α-Fock空间Fα² 上的测不准原理

Uncertainty Principle for the α-Fock Space Fα²

摘要: 本文主要是引入一个参数α ( α>0)，将Fock空间F² 上的关于两个自伴算子的测不准原理推广到α-Fock空间Fα² 上，并对a，b 为任意复数的情形做了完善的证明。

Abstract: In this paper, we mainly introduce a positive parameter α and results about uncertainty principle of two self-adjoint operators for the Fock Space F² are generalized to the α-Fock Space Fα² in the complex plane. In particular, we also do a perfect proof for the case of a，b which are complex parameters.

1. 引言

海森堡测不准原理是量子力学的一个重要基本原理，它指出在一个量子力学系统中，一个粒子的位置和它的动量不可被同时确定。位置的不确定性 $\Delta x$ 和动量的不确定性 $\Delta p$ 一定满足不等式 $\Delta x\Delta p\ge h/2$ ，其中 $h$ 是约化普朗克常数。类似的不确定性也存在于能量和时间、角动量和角度等许多物理量之间。因此在Fock空间及其推广的a-Fock空间上研究测不准原理是有意义的。早在文献 [1] 和文献 [2] 中作者就给出了Hilbert空间上的几种测不准原理形式，本文主要是将文献 [3] 的结果进行推广和完善。更多关于测不准原理的结果，感兴趣的读者可以查阅文献 [4] - [11] 。值得一提的是，由于参数 $\alpha$ 的引入，本文的计算结果相对文献 [3] 更为复杂，且当 $\alpha =1$ 时包含 [3] 中的所有结果。

下面对本文所用到的符号加以说明：

记 $ℂ$ 为一维复平面， $ℝ$ 为一维实平面，对任意的正实参数 $\alpha$ ，我们定义：

$\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(z\right)=\frac{\alpha }{\text{π}}{\text{e}}^{-\alpha {\left|z\right|}^2}\text{d}A(z)$

为 $ℂ$ 上的Gaussian测度，其中 $\text{d}A=\text{d}x\text{d}y$ 为 $ℂ$ 上的Lebesgue面积测度。

定义a-Fock空间 $F_{\alpha }^2$ 为：

$F_{\alpha }^2=L^2\left(ℂ,\text{d}{\lambda }_{\alpha }\right)\cap H(ℂ)$

其中 $H\left(ℂ\right)$ 为 $ℂ$ 上整函数全体。显然 $F_{\alpha }^2$ 是 $L^2\left(ℂ,\text{d}{\lambda }_{\alpha }\right)$ 的闭子空间，因此 $F_{\alpha }^2$ 是Hilbert空间，其上的內积和范数分别定义为：

$\langle f,g\rangle ={\displaystyle {\int }_{ℂ}f\left(z\right)\overline{g\left(z\right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(z\right)}$ (1.1)

${\Vert f\Vert }_{2,\alpha }={\left({\displaystyle {\int }_{ℂ}{\left|f\left(z\right)\right|}^2}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(z\right)\right)}^{\frac{1}{2}}$ (1.2)

注：本文的所有结果都是在复平面 $ℂ$ 上讨论的，下文不再作说明。

2. 相关引理及主要结果

文献 [1] 中给出了一个泛函分析里的关于Hilbert空间 $H$ 上的两个自伴算子测不准原理的一般性结果：

定理1：设 $A$ 和 $B$ 为Hilbert空间 $H$ 上的可能无界的自伴算子，则对于任意的 $f\in Dom\left(AB\right)\cap Dom\left(BA\right)$ 和任意 $a,b\in ℝ$ 有

$\Vert \left(A-a\right)f\Vert \Vert \left(B-b\right)f\Vert \ge \frac{1}{2}\left|\langle \left[A,B\right]f,f\rangle \right|$ (2.1)

其中 $\left[A,B\right]=AB-BA$ 为 $A$ 和 $B$ 的换位子。等式成立当且仅当 $\left(A-a\right)f$ 和 $\left(B-b\right)f$ 相差一个纯虚数倍。

证明：详见 [1] 第27页。

在文献 [3] 中，陈泳和朱克和两位教授将定理1与海森堡测不准原理结合起来，得到了Fock空间 $F^2$ 中的两个自伴算子的测不准原理。

定理2：令 $f\in F^2$ ，则对所有 $a,b\in ℝ$ 有

$\Vert f^{\prime }+zf-af\Vert \Vert f^{\prime }-zf+ibf\Vert \ge {\Vert f\Vert }^2$

等式成立当且仅当存在正实数 $c$ 和复数 $C_1$ 使得

$f\left(z\right)=C_1\exp \left(\frac{c-1}{2\left(c+1\right)}{z}^2+\frac{a-ibc}{c+1}z\right)$

证明：详见 [3] 中定理4的证明。

定理2中主要讨论了空间 $F^2$ 上的由甄灭算子和产生算子构造的两个自伴算子，而这在 $F_{\alpha }^2$ 上不再适用，因为在 $F_{\alpha }^2$ 中，甄灭算子的对偶算子不再是产生算子了，稍作改变，我们得到：

引理1：对任意的 $\alpha >0$ ，令 $T:F_{\alpha }^2\to F_{\alpha }^2$ 为微分算子的常数倍，即 $Tf=\frac{1}{\alpha }{f}^{\prime }$ 。则其对偶算子 $T^{*}$ 为 $\left(T^{*}f\right)\left(z\right)=zf\left(z\right)$ 。

证明：设 $F_{\alpha }^2$ 中的标准正交基为

$e_n\left(z\right)=\sqrt{\frac{{\alpha }^n}{n!}}{z}^n,n=0,1,2,\cdots$

可设 $F_{\alpha }^2$ 中稠密的两个多项式分别为

$f={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_n}{e}_n,g={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{b}_n}{e}_n$

则

$Tf\left(z\right)=\frac{1}{\alpha }\frac{\text{d}}{\text{d}z}{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_n\sqrt{\frac{{\alpha }^n}{n!}}}{z}^n=\frac{1}{\alpha }{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_n}\sqrt{\frac{{\alpha }^n}{n!}}n{z}^{n-1}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{\sqrt{\alpha }}}\sqrt{n+1}{a}_{n+1}{e}_n(z)$

另外

$zg\left(z\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{b}_n\sqrt{\frac{{\alpha }^n}{n!}}}{z}^{n+1}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{b}_{n-1}\sqrt{\frac{{\alpha }^{n-1}}{\left(n-1\right)!}}}{z}^n={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\sqrt{\frac{n}{\alpha }}{b}_{n-1}}{e}_n(z)$

于是

$\langle Tf,g\rangle ={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{\sqrt{\alpha }}\sqrt{n+1}{a}_{n+1}}{\bar{b}}_n={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_n\sqrt{\frac{n}{\alpha }}}\overline{b_{n-1}}=\langle f,zg\rangle =\langle f,T^{*}g\rangle$

证毕。

从定理1我们知道，如果有两个自伴算子 $A$ 和 $B$ 使得 $\left[A,B\right]$ 为恒等算子的常数倍，则可得到测不准原理。故我们考虑利用引理1中的算子 $T$ 和 $T^{\text{*}}$ 来构造这样两个自伴算子。

直接计算可知，对所有 $f\in F_{\alpha }^2$ 有：

$\left[T,T^{*}\right]f=\left(T{T}^{*}-T^{*}T\right)f=\frac{{\left(zf\right)}^{\prime }}{\alpha }-\frac{z{f}^{\prime }}{\alpha }=\frac{f}{\alpha }$

因此我们考虑 $F_{\alpha }^2$ 上的如下两个自伴算子：

$A=T+T^{*},B=i\left(T-T^{*}\right)$

即

$Af\left(z\right)=\frac{1}{\alpha }{f}^{\prime }\left(z\right)+zf\left(z\right),Bf\left(z\right)=i\left(\frac{1}{\alpha }{f}^{\prime }\left(z\right)-zf\left(z\right)\right)$ (2.2)

由 [1] 知，若 $\frac{1}{\alpha }{f}^{\prime }\in F_{\alpha }^2$ ，则 $Af$ 和 $Bf$ 的定义都是合理的，若 $\frac{1}{\alpha }{f}^{\prime }+zf$ 和 $\frac{1}{\alpha }{f}^{\prime }-zf$ 都属于 $F_{\alpha }^2$ ，则 $\frac{1}{\alpha }{f}^{\prime }$ 和 $zf$ 显然也都在 $F_{\alpha }^2$ 中，于是 $A$ 和 $B$ 的定义域的交集包含那些使得 $\frac{1}{\alpha }{f}^{\prime }$ (或 $zf$ )仍旧在 $F_{\alpha }^2$ 中的 $f$ 。对 $AB$ ， $BA$ 及他们定义域的交，同样确定为算子 $A$ 和 $B$ 的定义域的交集。

引理2：对任意的 $\alpha >0$ ，对上述定义的自伴算子 $A$ 和 $B$ ，有 $\left[A,B\right]=-\frac{2}{\alpha }iI$ ，其中 $I$ 为 $F_{\alpha }^2$ 上的恒等算子， $i$ 为虚数单位。

证明：对所有 $f\in F_{\alpha }^2$ ，由(2.2)式可得

$\begin{array}{c}AB-BA=i\left[\left(T+T^{*}\right)\left(T-T^{*}\right)-\left(T-T^{*}\right)\left(T+T^{*}\right)\right]\\ =2i\left[T^{*}T-T{T}^{*}\right]=-\frac{2}{\alpha }iI\end{array}$

证毕。

下面将给出a-Fock空间 $F_{\alpha }^2$ 上的第一个测不准原理形式。

定理3：对任意的 $\alpha >0$ ，令 $f\in F_{\alpha }^2$ ，则对所有 $a,b\in ℝ$ 有

${\Vert \frac{1}{\alpha }{f}^{\prime }+zf-af\Vert }_{2,\alpha }{\Vert \frac{1}{\alpha }{f}^{\prime }-zf+ibf\Vert }_{2,\alpha }\ge \frac{1}{\alpha }{\Vert f\Vert }_{2,\alpha }^2$ (2.3)

等式成立当且仅当存在正实数 $c$ 和复数 $C^{\prime }$ 使得

$f\left(z\right)=C^{\prime }\exp \left(\frac{\alpha \left(c-1\right)}{2\left(c+1\right)}{z}^2+\frac{\alpha \left(a-ibc\right)}{c+1}z\right)$

证明：因为 $a,b\in ℝ$ ，则由定理1可知

${\Vert \left(A-a\right)f\Vert }_{2,\alpha }{\Vert \left(B-b\right)f\Vert }_{2,\alpha }\ge \frac{1}{2}\left|\langle \left[A,B\right]f,f\rangle \right|$

又因为

${\Vert i\left(\frac{1}{\alpha }{f}^{\prime }-zf\right)-bf\Vert }_{2,\alpha }={\Vert \frac{1}{\alpha }{f}^{\prime }-zf+ibf\Vert }_{2,\alpha }$

结合引理2可得

${\Vert \frac{1}{\alpha }{f}^{\prime }+zf-af\Vert }_{2,\alpha }{\Vert \frac{1}{\alpha }{f}^{\prime }-zf+ibf\Vert }_{2,\alpha }\ge \frac{1}{\alpha }{\Vert f\Vert }_{2,\alpha }^2$

另外，由定理1可知(2.3)中等式成立当且仅当存在正实数 $c$ 使得

$\frac{1}{\alpha }{f}^{\prime }+zf-af=ic\left[i\left(\frac{1}{\alpha }{f}^{\prime }-zf\right)-bf\right]$ (2.4)

或

$i\left(\frac{1}{\alpha }{f}^{\prime }-zf\right)-bf=ic\left(\frac{1}{\alpha }{f}^{\prime }+zf-af\right)$ (2.5)

这里，我们先计算(2.4)式有：

(2.6)

1) 若，则(2.6)只有解这一零解。

2) 若，(2.6)式可变形为，则由解常微分方程的初等方法可得(2.6)的一般解为

(2.7)

其中为任意复常数。

由 [1] (第38页)知每个则必满足

(2.8)

因此函数(2.7)在空间中的一个充要条件是或。由于是实数，后者等价于或。而当时，此时函数(2.7)为

取，其中，由(2.8)式知其等价于。

对(2.5)式，同理可以讨论，证毕。

为了给出上的测不准原理的其他形式，我们还需对函数(2.7)进行一些相关的计算。

由定理3我们知道函数(2.7)在空间中的充要条件为或，当即时，我们可以对函数(2.7)进行一些相关的计算，如范数、內积等，这些计算结果都将在下文推论中用到。由于，为了计算的简便，我们可将函数(2.7)的系数去掉，得到下面一个与函数(2.7)相差复常数倍但形式更简单的函数。即

(2.9)

显然，其中，。最后，我们只需将函数(2.9)的相应计算结果代入系数即可。

为了方便书写，我们将函数(2.9)简记为

(2.10)

其中

(2.11)

由于，则。

我们令，其中。给出相应计算如下：

1) 对函数(2.9)计算如下：

由(1.2)、(2.10)式得：

(2.12)

因为

则进一步计算(2.12)得：

其中

(2.13)

因为

(2.14)

则

(2.15)

最后联立(2.11)、(2.13)和(2.15)式得：

(2.16)

2) 对函数(2.9)直接计算如下：

由(1.1)式和(1)的计算过程可得：

先计算得：

因为

于是

(2.17)

同理

(2.18)

最后联立(2.11)、(2.17)和(2.18)式有

(2.19)

3) 对函数(2.9)直接计算如下：

由(1.2)式和(2)的计算过程可得：

先计算得：

因为

进一步计算得：

因为

综上

(2.20)

同理

(2.21)

联立(2.11)、(2.20)和(2.21)式得：

(2.22)

4) 对函数(2.9)直接计算和如下：

因为

同理

由(2.11)、(2.19)和(2.22)得

(2.23)

同理

(2.24)

5) 对函数(2.9)直接计算和如下：

由(2.23)和(2.24)直接计算可得：

(2.25)

(2.26)

6) 对函数(2.9)直接计算和如下：

因为

所以由(2.16)、(2.19)式有：

(2.27)

同理

(2.28)

直接计算可验证，当时，以上所有结果就是中相应的结果。

7) 最后给出最小值讨论。

对任意的，固定，为自伴算子，则对任意，有

即可得

(2.29)

其中等号成立当且仅当。

同理

(2.30)

且最小值当时取得。

若为中的单位向量，即时，可得到如下测不准原理的第一个推论：

推论1对任意的，令为中的单位向量，则对所有有

等式成立当且仅当

(2.31)

其中为正实数，为复数且

(2.32)

证明：由(2.16)式可得函数(2.31)的范数为：

因为，直接计算得：

又因为，为中的单位向量，则由定理3得：

结合(2.29)和(2.30)对最小值的讨论得：

下面给出等号成立情形的详细证明：

1) 若不具有(2.31)的形式，则由定理3可知对任意有

特别的我们令：

则由最小值讨论可得：

此时等号不成立。

2) 若具有(2.31)的形式，为区别开来我们记为，则由定理3可知

(2.33)

利用(2.27)和(2.28)直接计算内积可以得到

即当时，结合(2.29)、(2.30)式关于最小值问题的讨论可得

即不等式等号成立，证毕。

推论2：若，则对任意有

等号成立当且仅当存在正实数和复数使得

(2.34)

证明：在定理3中令即可，证毕。

推论3：若，对任意有

其中，且。等号成立当且仅当存在正实数和复数使得

证明：由推论2可得

等号成立当且仅当为形如(2.34)且

由(2.25)、(2.26)式及知此等价于

证毕。

除了以上几种测不准原理的推论形式外，我们还可以给出一些关于角和距离的几何形式的测不准原理如下：

推论4：对任意的，令为中任何非零函数，分别为和之间的夹角，则对所有有

等式成立当且仅当

其中为正实数，为任意非零复数。

证明：由于

即

(2.35)

(2.36)

则由推论1知结论成立，证毕。

联立(2.35)、(2.36)、(2.23)、(2.24)、(2.27)、(2.28)式可分别计算得：

由此可求出此时两夹角的大小。

推论5：对任意的，令为中单位向量，则对任意有

等号成立当且仅当形如(2.31)且。

证明：由推论4得

再由推论3的证明方法有

等号成立当且仅当为形如(2.31)的函数且

由(2.25)、(2.26)式知此等价于

证毕。

推论6：对任意的，令为中单位向量，则

等成立当且仅当形如(2.31)且

证明：由推论5中取即得结论。证毕。

推论7：对任意的，令为中的非零向量，则对所有有

其中为张成的一维子空间，为中到的距离。等式成立当且仅当

其中为正实数，为非零复数。

证明：因为。

同理，则结论由推论4直接可得，证毕。

注：上述结论中的函数或并不一定都属于，当或不属于中时，上面所有结论中的每个不等式右边均为无穷大，综上，不等式总是成立的。

3. 复参变量下的测不准原理及其推广

注意到上面所讨论的测不准原理中和均为实参量，下面对和为复参量的情形做一个简单的讨论：

定理4：对任意的，令，则对所有有

(3.1)

等式成立当且仅当和为实数且存在正实数和复数使得

证明：记，其中，则

同理记，其中，则，于是由定理3可知本定理成立，证毕。

以上所有结果均是对中的两个特殊的自伴算子和讨论的，事实上，将自伴算子和一般化，以上结论均可成立。

定理5：对任意的，设，为上的算子且满足，其中是的对偶算子，是任意正实参数。则对所有和，有

等号成立当且仅当和相差纯虚数倍。

证明：同定理3的证法一致，证毕。

定理6：对任意的，设且为上的算子且满足，其中是的对偶算子，是任意正实参数。则对所有和，有

等号成立当且仅当和相差纯虚数倍。

证明：同定理4的证法一致，证毕。

NOTES

^*通讯作者。