积分因子存在性的充要条件及其应用

The Necessary and Sufficient Condition for the Existence of Integrating Factors with Its Application

摘要: 给出了积分因子存在性的充要条件及证明，举例说明了它的应用。

Abstract: In this paper, we give the necessary and sufficient condition for the existence of integrating factors and their proof. Meanwhile, some examples are given for its application.

1. 引言

用积分因子的观点可以统一各种一阶微分方程的初等积分法，也就是说，在理论上，积分因子法可以代替各种一阶微分方程的初等解法。

定理1 (积分因子的存在性定理)如果微分方程

$M\left(x,y\right)\text{d}x+N\left(x,y\right)\text{d}y=0$ (1)

有通解 $u\left(x,y\right)=c$ ，那么它就总有一个积分因子 $\mu =\mu \left(x,y\right)$ ，同时 $\mu \phi \left(u\right)$ 也都是方程(1)的积分因子，并且(1)的积分因子必具有 $\mu \phi \left(u\right)$ 的形式，其中 $\phi \left(u\right)$ 是u的任意一个可微函数。

2. 定理的证明

由于方程(1)有通解 $u\left(x,y\right)=c$ ，则有

$\frac{\partial u}{\partial x}\text{d}x+\text{d}y\frac{\partial u}{\partial y}=0$ (2)

于是

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=-\frac{\partial u}{\partial x}/\frac{\partial u}{\partial y}.$ (3)

而(1)可改写为

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=-\frac{M}{N}$ (4)

比较(3)与(4)，可得。

$\frac{\partial u}{\partial x}/\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{M}{N},$

即

$\frac{\partial u}{\partial x}/M=\frac{\partial u}{\partial y}/N.$

把这个相等的比记作 $\mu \left(x,y\right)$ ，即有

$\frac{\partial u}{\partial x}=\mu M$ , $\frac{\partial u}{\partial y}=\mu N.$

用 $\mu \left(x,y\right)$ 乘以(1)两端，得

$\mu M\text{d}x+\mu N\text{d}y=0,$

即

$\frac{\partial u}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial u}{\partial y}\text{d}x=0,$

这是一个恰当微分方程。又因

$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial y}\left[\mu \phi \left(u\right)M\right]=\phi \left(u\right)\frac{\partial \left(uM\right)}{\partial y}+\mu M{\phi }^{\prime }\left(u\right)\frac{\partial u}{\partial y}\\ =\phi \left(u\right)\frac{\partial \left(uM\right)}{\partial y}+\mu M{\phi }^{\prime }\left(u\right)\mu N\\ =\phi \left(u\right)\frac{\partial \left(uM\right)}{\partial y}+{\mu }^{2}MN{\phi }^{\prime }\left(u\right)\end{array}$ (5)

$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial y}\left[\mu \phi \left(u\right)N\right]=\phi \left(u\right)\frac{\partial \left(uN\right)}{\partial x}+\mu N{\phi }^{\prime }\left(u\right)\frac{\partial u}{\partial x}\\ =\phi \left(u\right)\frac{\partial \left(uN\right)}{\partial x}+\mu N{\phi }^{\prime }\left(u\right)\mu M\\ =\phi \left(u\right)\frac{\partial \left(uN\right)}{\partial x}+{\mu }^{2}MN{\phi }^{\prime }\left(u\right)\end{array}$ (6)

因

$\frac{\partial \left(uM\right)}{\partial y}=\frac{\partial \left(uN\right)}{\partial x},$

比较(5)与(6)，便得到

$\frac{\partial }{\partial y}\left[\mu \phi \left(u\right)M\right]=\frac{\partial }{\partial x}\left[\mu \phi \left(u\right)N\right].$

这就证得了 $\mu \phi \left(u\right)$ 也都是方程(1)的积分因子。

反之，设 $\bar{\mu }\left(x,y\right)$ 也是方程(1)的积分因子，则同时有

$\mu M\text{d}x+\mu N\text{d}y=\text{d}u$ 和 $\bar{\mu }M\text{d}x+\bar{\mu }N\text{d}y=\text{d}v,$

其中 $v=v\left(x,y\right)$ 与 $u\left(x,y\right)$ 类似，即

$\mu M=\frac{\partial u}{\partial x},\mu N=\frac{\partial u}{\partial y},\bar{\mu }M=\frac{\partial v}{\partial x},\bar{\mu }N=\frac{\partial v}{\partial y}$

由于雅可比行列式

$\frac{\partial \left(u,y\right)}{\partial \left(x,y\right)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial \nu }{\partial x}& \frac{\partial \nu }{\partial y}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mu M& \mu N\\ \bar{\mu }M& \bar{\mu }N\end{array}\right|\equiv 0$

且

$\frac{\partial u}{\partial x}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}=\mu M\cdot \mu N\cancel{\equiv }0,$

所以函数 $u\left(x,y\right)$ 与 $v\left(x,y\right)$ 彼此相关，可表示为

$v\left(x,y\right)=\psi \left(u\left(x,y\right)\right).$

于是

$\bar{\mu }\left(M\text{d}x+N\text{d}y\right)=\text{d}v=\text{d}\psi \left(u\right)={\psi }^{\prime }\left(u\right)\text{d}u={\psi }^{\prime }\left(u\right)\mu \left(M\text{d}x+N\text{d}y\right),$

从而 $\bar{\mu }=\mu {\psi }^{\prime }\left(u\right)$ 。记 ${\psi }^{\prime }\left(u\right)=\phi \left(u\right)$ ，则 $\bar{\mu }=\mu \phi \left(u\right)$ 。这就证得了方程(1)的其它积分因子必具有 $\mu \phi \left(u\right)$ 的形式。

3. 应用举例

例1 [1] 设 ${\mu }_1\left(x,y\right),{\mu }_2\left(x,y\right)$ 是方程(1)的两个积分因子，且 $\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}\cancel{\equiv }$ 常数，求证 $\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}=c$ (任意常数)是方程(1)的通解。

证明 已知 ${\mu }_2$ 是方程(1)的一个积分因子，则相应地有一个可微函数u，使得

${\mu }_2\left(M\text{d}x+N\text{d}y\right)=\text{d}u,$

且 $u\left(x,y\right)=c$ (任意常数)为方程(1)的通解。根据上述定理知 ${\mu }_1={\mu }_2\phi \left(u\right)$ ，其中 $\phi \left(t\right)$ 是t的可微函数，于是

$\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}=\phi \left(u\right).$ (7)

由(7)，则 $\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}=c$ (任意常数)就等价于 $\phi \left(u\right)=c$ (任意常数)。从而

$0\equiv \text{d}\phi \left(u\right)\equiv {\phi }^{\prime }\left(u\right)\text{d}u\equiv {\phi }^{\prime }\left(u\right){\mu }_2\left(M\text{d}x+N\text{d}y\right).$

因 ${\mu }_2\cancel{\equiv }0$ ， $\phi \left(u\right)$ 不恒为常数，即 ${\phi }^{\prime }\left(u\right)\cancel{\equiv }0$ ，故 $M\text{d}x+N\text{d}y\equiv 0$ ，即对 $\phi \left(u\right)=c$ 微分后推导出 $M\text{d}x+N\text{d}y\equiv 0$ 。这说明由 $\phi \left(u\right)=c$ (任意常数)所确定的y与x的关系式是方程(1)的解，故 $\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}=c$ (任意常数)是(1)的通解。

例2 [1] 齐次微分方程 $M\left(x,y\right)\text{d}x+N\left(x,y\right)\text{d}y=0$ 当 $xM+yN\ne 0$ 时有积分因子 $\mu =\frac{1}{xM+yN}$ ，假设该微分方程还是恰当的，试证它的通解可表为 $xM\left(x,y\right)+yN\left(x,y\right)=c$ (c为任意常数)。

证明 所给方程是恰当的，即它的积分因子为1。根据例1的结果，则

$xM\left(x,y\right)+yN\left(x,y\right)=c$

是所给方程的通解，这里c为任意常数。

例3 [1] 求解方程

$x\left(4y\text{d}x+2x\text{d}y\right)+y^3\left(3y\text{d}x+5x\text{d}y\right)=0.$

解：对第一组，有

$x\left(4y\text{d}x+2x\text{d}y\right)=x\left[\left(2y\text{d}x+2x\text{d}y\right)+2x\text{d}y\right]=x\left[2\text{d}\left(xy\right)+2y\text{d}x\right]=2x\text{d}\left(xy\right)+2xy\text{d}x=\text{d}\left(2x^{2}y\right)$

则其积分因子和二元函数如下：

${\mu }_1=1,u_1=2x^{2}y.$

对第二组，有

$y^3\left(3y\text{d}x+5x\text{d}y\right)=3y^4\text{d}x+5x{y}^3\text{d}y.$

易见它有一个积分因子 ${\mu }_2=\frac{1}{x{y}^4}$ ，相乘后得

$\frac{3}{x}\text{d}x+\frac{5}{y}\text{d}y=3\text{d}\left(\ln \left|x\right|\right)+5\text{d}\left(\ln \left|y\right|\right)=\text{d}\left(\ln \left|x^3{y}^5\right|\right),$

相应地有 $u_2=1n\left|x^3{y}^5\right|$ 。根据积分因子的存在性定理，可以考虑选择适当的可微函数 $\phi$ 与 $\tilde{\phi }$ ，使得

$1\cdot \phi \left(2x^{2}y\right)=\frac{1}{x{y}^4}\tilde{\phi }\left(\ln \left|x^3{y}^5\right|\right).$

取 $\phi \left(2x^{2}y\right)=2x^{2}y$ ， $\tilde{\phi }\left(\ln \left|x^3{y}^5\right|\right)=2x^3{y}^5$ ，则得到原方程的一个积分因子 $\mu =2x^{2}y$ 。用它乘原方程两边，得

$2x^{2}y\text{d}\left(2x^{2}y\right)+6x^2{y}^5\text{d}x+10x^3{y}^4\text{d}y=0.$

即

$\frac{1}{2}\text{d}{\left(2x^{2}y\right)}^2+2y^5\text{d}{x}^3+2x^3\text{d}{y}^5=\text{d}\left(2x^4{y}^2\right)+\text{d}\left(2x^2{y}^5\right)=\text{d}\left(2x^4{y}^2+2x^3{y}^5\right)=0,$

原方程的通解为

$x^4{y}^2+x^3{y}^5=c,$

这里c是任意常数。

例4 [2] 求解方程

$\left(x^{3}y-2y^2\right)\text{d}x+x^4\text{d}y=0.$

解 将方程改写为

$\left(x^{3}y\text{d}x+x^4\text{d}y\right)+\left(-2y^2\text{d}x\right)=0,$

即

$x^3\left(y\text{d}x+x\text{d}y\right)+\left(-2y^2\text{d}x\right)=0.$ (8)

第一组有积分因子 ${\mu }_1=\frac{1}{x^3}$ 和原函数 $u_1=xy$ ；第二组有积分因子 ${\mu }_2=\frac{1}{-2y^2}$ 和原函数 $u_2=x$ 。现在要寻找可微函数 $\phi$ 与 $\tilde{\phi }$ ，使得

$\frac{1}{x^3}\phi \left(xy\right)=\frac{1}{-2y^2}\tilde{\phi }\left(x\right).$

取 $\phi \left(xy\right)=\frac{1}{{\left(xy\right)}^2}$ ， $\tilde{\phi }\left(x\right)=-\frac{2}{x^5}$ ，则得到原方程的一个积分因子

$\mu =\mu \left(x,y\right)=\frac{1}{x^5{y}^2}.$

用它乘以改写后的方程(8)，得

$\frac{1}{x^2{y}^2}\text{d}\left(xy\right)-\frac{2}{x^5}\text{d}y=0,$

即

$\text{d}\left(-\frac{1}{xy}\right)+\text{d}\left(\frac{1}{2x^4}\right)=0,$

或

$\text{d}\left(-\frac{1}{xy}+\frac{1}{2x^4}\right)=0.$

因此，原方程的通解为

$-\frac{1}{xy}+\frac{1}{2x^4}=c,$

这里c为任意常数。此外， $y=0$ 也是原方程的一个解。