1. 股票配资合同
杠杆炒股具有股票借贷的某些特征(见文献 [1] [2] ),也具有期权的一些基本要素(见文献 [3] [4] ),文 [5] 讨论了经典布朗运动下股票配资的数学模型,并从数值上分析了收益与风险之间的关系。在股票服从多状态转移假定下,本文采用Black-Scholes-Merton偏微分方程组对股票配资问题建模,同时设计有限差分格式求解,给出数值算例进行讨论。
设r为资本市场无风险利率,
为某只股票价格在d个状态下的波动率,δ为分红强度,则股票价格
服从随机微分方程(SDEs)
(1)
其中
表示不同状态,
为标准Brownian运动。如果股民自己出资q,再从配资公司借贷kq买入一只股票,其股价正好为
,此时股票配资率(杠杆率)为
。股民与配资公司订立下列合同条款:1) 借贷利率为γ,合同到期日为T,当前日期记为0。2) 如果在
时间内,股票价格降至
,股票自动平仓,股民资金全部亏损,配资公司收回本金与利息
。3) 如果在
时间内,股票价格升至
,股票自动平仓,配资公司收回本金与利息
,股民资金收益为
。这里总是假定
,设定μ的目的是防范估计被高估的风险,当股价高到一定程度时及时退出市场,股民和配资公司双方盈利。4) 在到期日,配资公司收回本金与利息
,股民收入为
。
2. 配资收益与风险模型
本文假定状态转移概率矩阵为
,
首先考虑收益模型。股民在到期日的收益支付函数可以看作股票看涨期权收益,即
,
表示取正部函数,而股民在任意t时刻的贴现收益期望为
(2)
在Black-Scholes-Merton分析框架上(见文献 [6] [7] ),股民收益期望
满足耦合偏微分方程组(PDEs)
(3)
这里S为哑变量,不再是时间的随机函数。同时加上终端条件
(4)
考虑到合同条款(2) (3),我们必须加上边界条件
(5)
(6)
PDEs (3) (4) (5)和(6)构成多状态转移欧式看涨障碍期权。如果转移概率矩阵
,状态转移模型退化为文 [7] 所描述的经典布朗运动模型。
再来讨论风险度量。股民在到期日的风险支付可以看作股票看跌期权收益,即
,而股民在任意t时刻的贴现风险期望为
(7)
与收益分析类似,股票风险期望
满足PDEs
(8)
和终端条件
(9)
考虑到合同条款(2) (3),我们同样加上边界条件
(10)
PDEs (8) (9) (10)构成所谓的欧式看跌障碍期权。如果已知零时刻股票价格
,并给定配资率k,股
民投入资金数量
,此时股民在不同状态下的收益率I、风险率R和风险收益比λ可分别定义为
(11)
,
和
都是无量纲的,
表示单位投入的收益,
表示单位投入的风险,
则表示单位收益所面临的风险大小。
,
和
对配资率k较为敏感,同时与借贷利率γ有关,应该是股民最为关注的数量指标。
计算收益期望的PDEs (3)~(6)可用有限差分方法来求解。定义固定时间网格
和移动空间网格
记
为期权价值
在状态
,时刻
和股价为
时的数值解。运用中心差分的隐式格式离散PDE (3)得到
(12)
其中
为
在时间层
上的插值函数。对离散系统(12)进行整理,依次关于时间节点
有
(13)
其中
加上终端条件和边界条件
线性方程组(13)可按时间反向演化求解。如果令矩阵和向量
则离散方程(13)有矩阵形式
同理计算风险期望的PDE (8)~(11)也可用有限差分方法来求解,方法类似,这里不再赘述。
3. 数值模拟与分析
考虑两个状态的情形,取无风险利率
(年利率),股价波动率
,初始股价
(元),借贷利率
,到期时间
(年),其它参数为
,
,
,
。
表1列出了有限差分方法的部分计算结果,图1显示了两个不同状态下的收益率、风险率和风险–收益比。从中看到,随着配资率k的增加,单位资本的收益(R)先增后降;在较低配资水平下确实能增加股民期望收益,这正是股民涉足场外配资炒股的动力所在;但在较高配资水平下,由于面临高额借贷利息,股民期望收益必然受损。同时我们也看到,随着配资率k的增加,单位资本的风险(
)先增后降;高配资高风险不难理解;配资水平达到一定程度以后,股民投入很少,风险自然会减低,其余风险已经转嫁给配资公司。单位收益所面临的风险λ总是在提高,这说明风险增长速度快于收益增长速度。另外从表中我们也能看到高收益高风险的投资特征。
Table 1. Impact of interest and risk for different allocation rate
表1. 不同配资率对收益和风险的影响
Figure 1. Impact of interest and risk for different allocation rate. Left sub-figure for regime-1 and right sub-figure for regime-2
图1. 不同配资率对收益和风险的影响,左图为状态-1,右图为状态-2
从以上分析看出,本文提出的股票配资模型基本体现了借贷炒股的主要特征,实际数值计算结果能够给出股民最为关心的数量指标,具有很强的实用价值。
基金项目
2016年度湖南省大学生研究性学习和创新性实验计划项目。