无穷维恒等算子的Kolmogorov n-宽度

Kolmogorov n-Width of Infinite Dimension Identity Operator

摘要: 本文讨论了无穷维恒等算子的Kolmogorov n-宽度，并计算了其精确渐近阶。

Abstract: In this paper, we study the Kolmogorov n-width of infinite dimension identity operator, and obtain its asymptotic degree.

1. 引言及主要结果

宽度理论是函数逼近论的重要内容之一，也是国内外研究的热点之一，它与计算复杂性有着密切的联系 [1] 。宽度问题是A. N. Kolmogorov [2] 在1936年首次提出的一个概念，并给出了Sobolev函数类 $B_2^r$ 到 $L_2$ 上的Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶。1954 年，S. R. Stechkin [3] 研究了在 $p=1,q=2$ 特殊情况下有限维空间的 Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶与线性n-宽度的精确渐近阶。1960年，V. M. Tikhomirov [4] 给出了宽度 $d_n{\left(B_{\infty }^r\right)}_{\infty }$ 的精确渐近阶。此后两年，A. Pietsch [5] 和 M. I. Stein [6] 研究了在一般情形下， $p\ge q$ 时 Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶与线性n-宽度的精确渐近阶。1974年，Ismagilov [7] 研究了当 $q>p$ 时的精确渐近阶估计。1985年，Pinkus [8] 给出了有限维恒等算子的Kolmogorov n-宽度。本文主要讨论无穷维恒等算子的Kolmogorov n-宽度。首先，介绍Kolmogorov n-宽度的定义。

定义1.1. 设W为赋范线性空间 $\left(Z,\Vert \cdot \Vert \right)$ 的一非空子集， $n=0,1,2,\cdots$ ，称

$d_n\left(W,Z\right)=\underset{F_n}{\inf }\underset{x\in W}{\sup }\underset{y\in F_n}{\inf }\Vert x-y\Vert$

为W在Z中的Kolmogorov n-宽度，其中 $F_n$ 取遍Z中的维数不超过n的所有线性子空间。

定义1.2. 设 $X,Y$ 为两个赋范线性空间，其范数分别为 ${\Vert ·\Vert }_X$ 与 ${\Vert ·\Vert }_Y$ ，T是X到Y的有界线性算子， $n=0,1,2,\cdots$ ，称

$d_n\left(T:X\to Y\right)=d_n\left(T\left(B_z\right),\bar{Y}\right)$

为算子T的Kolmogorov n-宽度，其中 $B_X$ 表示X的单位球，即 $B_X:=\left\{x\in X|{\Vert x\Vert }_X\le 1\right\}$ .

关于Kolmogorov n-宽度的一些重要性质可参见Pinkus [8] 的专著《n-width in Approximation Theory》。特别地，Pinkus在这本专著讨论了有限维恒等算子的Kolmogorov n-宽度，并得到了精彩的结果。本文将继续这一工作，讨论无限维恒等算子的Kolmogorov n-宽度。为此，继续介绍有关概念。

设 $1\le p\le \infty$ ，对任一实序列 $x={\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ ，令

${\Vert x\Vert }_{l_p}=\{\begin{array}{l}{\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|x_n\right|}^p}\right)}^{1/p},1\le p<\infty \\ \underset{n\ge 1}{\sup }\left|x_n\right|,p=\infty \end{array}$

$l_p$ 表示满足条件 ${\Vert x\Vert }_{l_p}<\infty$ 的实序列x所构成的集合。众所周知， ${\Vert ·\Vert }_{l_p}$ 为 $l_p$ 上的一个范数。而且 $l_p$ 是一个Banach空间。易见， $l_p$ 空间具有如下性质：

1) $l_p\subset l_q$ $\left(1\le p\le q\le \infty \right)$

2) $l_p\not\subset l_q$ $\left(1\le q<p\le \infty \right)$

因此无穷维恒等算子I是从 $l_p$ 到 $$ $\left(1\le p\le q\le \infty \right)$ 的有界线性算子，而不是 $l_p$ 到 $l_q$ $\left(1\le q<p\le \infty \right)$ 的算子。

对于 $1\le p\le \infty ,r>0,x={\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\infty }\in l_p$ ，令

$x^r:={\left\{n^r{x}_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ ， ${\Vert x\Vert }_{l_{p,r}}={\Vert x^{\left(r\right)}\Vert }_{l_p}$

和

$l_{p,r}:=\left\{x\in l_p|{\Vert x\Vert }_{l_{p,r}}<\infty \right\}$

则易见 ${\Vert ·\Vert }_{l_{p,r}}$ 为 $l_{p,r}$ 上的范数，且 $l_{p,r}$ 为Banach空间。用 $B_{p,r}$ 表示 $l_{p,r}$ 中的单位球。

令 $1\le q<p\le \infty$ ， $r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$ ，( $p=\infty$ 时，记 $\frac{1}{p}=0$ )。对任意的 $x=\left\{x_n\right\}\in l_{p,r}$ ，由Hölder不等式有

${\Vert x\Vert }_{l_q}\le \{\begin{array}{l}{\Vert x\Vert }_{l_{p.r}}{\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}^{-\frac{pr}{p-q}}}\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}<\infty ,1\le q<p<\infty \\ {\Vert x\Vert }_{l_{p.r}}{\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}^{-rq}}\right)}^{\frac{1}{q}}<\infty ,p=\infty \end{array}$

因此 $x\in l_q$ 。从而无穷维恒等算子 $\left(1\le q<p\le \infty ,r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right)$

$I_{p,q}:l_{p,r}\to l_q$

$x\mapsto x$

为 $l_{p,r}$ 到 $l_q$ 的有界线性算子。

本文利用离散化的方法讨论了无穷维恒等算子 $I_{p,q}\left(1\le q<p\le \infty \right)$ 的Kolmogorov n-宽度，并得到其精确渐近阶。这就是本文的主要结果，即

定理1. 设 $1\le q<p<\infty$ ， $r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$ ， $n=0,1,2,\cdots$ 则

$d_n\left(I_{p,q}:l_{p,r}\to l_q\right)\succ \prec n^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)}$

其中，符号“ $\succ \prec$ ”的定义如下：假设 $c_i,i=0,\text{1},\cdots$ 是和参数 $p,q,r$ 有关的非负常数。对两个正函数 $a\left(y\right)$ 和 $b\left(y\right)$ , $y\in D$ ，如果存在正常数 $c_1$ 满足条件 $a\left(y\right)\le c_{1}b\left(y\right)$ ，则记 $a\left(y\right)\ll b\left(y\right)$ 。若存在正常数 $c_2$ 满足条件 $c_{2}a\left(y\right)\ge b\left(y\right)$ ，则记 $a\left(y\right)\gg b\left(y\right)$ ，若 $a\left(y\right)\ll b\left(y\right)$ 且 $a\left(y\right)\gg b\left(y\right)$ ，则记 $a\left(y\right)\succ \prec b\left(y\right)$ 。

2. 主要结果的证明

为了证明定理1，首先讨论有限维空间的Kolmogorov n-宽度。令

${ℝ}^m=\left\{x=\left(x_1,\cdots ,x_m\right)|x_i\in R,i=1,\cdots ,m\right\}$

设 $1\le p\le \infty$ ， $x=\left(x_1,\cdots ,x_m\right)\in {ℝ}^m$ 。令

${\Vert x\Vert }_{l_p^m}=\{\begin{array}{l}{\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{m}{\sum }}{\left|x_n\right|}^p}\right)}^{1/p},1\le p<\infty ,\\ \underset{1\le n\le m}{\max }\left|x_n\right|,p=\infty \end{array}$

则 ${\Vert ·\Vert }_{l_p^m}$ 为 ${ℝ}^m$ 上的范数。用 $l_p^m$ 表示 ${ℝ}^m$ 按照范数 ${\Vert ·\Vert }_{l_p^m}$ 所构成的Banach空间。用 $B_p^m$ 表示 $l_p^m$ 中的单位球。易见 ${\left\{{e^{\prime }}_n\right\}}_{n=1}^m$ 为 $l_p^m$ 的基，其中 $e_n^{}{}^{\prime }=\left(0,\cdots ,0,1,0,\cdots ,0\right)\in {ℝ}^m$ (第n个分量为1，其余分量为0)。

引理1. [8] 设 $1\le q<p\le \infty$ ， $n=0,1,2,\cdots$ ，则

$d_n\left(B_p^m,l_q^m\right)=\{\begin{array}{l}{\left(m-n\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}},0\le n\le m\\ 0,n>m\end{array}$

下面建立估计定理1上界的离散化定理。首先介绍一些记号。

对 $\forall k\in \mathbb{N}$ ，其中 $\mathbb{N}=\left\{1,2,\cdots \right\}$ ，记 $S_k=\left\{n\in N|2^{k-1}\le n<2^k\right\}$ 。则对任意的 $k,k^{\prime }\in \mathbb{N}$ ，且 $$ 有 $S_k\cap S_{k^{\prime }}=\varnothing$ ， $\mathbb{N}={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\cup }}{S}_k}$ 。用 $m_k$ 表示 $S_k$ 中元素的个数，则 $m_k=\left|S_k\right|=2^{k-1}$ 。

以下我们总是假设 $1\le p<\infty$ 。用 $e_n$ 表示第n个分量为1，其余分量为0的无穷维实序列，则 ${\left\{e_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 为 $l_p\left(1\le p<\infty \right)$ 的Schauder基。从而对 $\forall x=\left\{x_n\right\}\in l_p$ ，有 $x={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{x}_n{e}_n}$ 。

对 $k\in \mathbb{N}$ ，记 $F_k=span\left\{e_n|n\in S_k\right\}$ ，则 $\dim F_k=m_k=2^{k-1}$ 。令

$I_k:F_k\to R^{m_k}$

$x={\displaystyle \underset{n\in S_k}{\sum }{x}_n{e}_n}\mapsto {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{x}_{2^{k-1}+j-1}{e^{\prime }}_{2^{k-1}+j-1}}$

则对 $\forall x={\displaystyle \underset{n\in S_k}{\sum }{x}_n{e}_n}\in F_k$ ，有

$\begin{array}{c}{\Vert x\Vert }_{l_{p,r}}={\left({\displaystyle \underset{n\in S_k}{\sum }{\left|n^r{x}_n\right|}^p}\right)}^{1/p}\succ \prec {\left({\displaystyle \underset{n\in S_k}{\sum }{\left|2^{rk}{x}_n\right|}^p}\right)}^{1/p}\\ =2^{rk}{\left({\displaystyle \underset{n\in S_k}{\sum }{\left|x_n\right|}^p}\right)}^{1/p}=2^{rk}{\Vert I_{k}x\Vert }_{l_p^{m_k}}\end{array}$ (2.1)

且

${\Vert x\Vert }_{l_p}={\left({\displaystyle \underset{n\in S_k}{\sum }{\left|x_n\right|}^p}\right)}^{1/p}={\Vert I_{k}x\Vert }_{l_p^{m_k}}.$ (2.2)

从而 $I_k$ 为 $l_p\cap F_k$ 到 $l_p^{m_k}$ 上的等距同构映射。

引理2. 设 $1\le q<p<\infty$ ， $r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$ ，非负整数序列 ${\left\{n_k\right\}}_{k=1}^{\infty }$ 满足 $0\le n_k\le m_k$ ，且 ${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_k\le n}$ 。则

$d_n\left(B_{p,r},l_q\right)\ll {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}}{d}_{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right).$

证明：对 $\forall k$ ，由(2.1)知，对 $\forall x\in B_{l_{p,r}}\cap F_k$ ，有

$1\ge {\Vert x\Vert }_{l_{p,r}}\gg 2^{rk}{\Vert I_{k}x\Vert }_{l_p^{m_k}}$

$\forall y\in F_k$ ，由(2.2)知

${\Vert y\Vert }_{l_q}={\Vert I_{k}y\Vert }_{l_q^{m_k}}$

所以

$d_{n_k}\left(B_{p,r}\cap F_k,l_q\cap F_k\right)\ll 2^{-rk}{d}_{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)$

由Kolmogorov n-宽度的定义知，存在 $l_q\cap F_k$ 的一个维数不超过 $n_k$ 的线性子空间 $M_k$ 使得

$\underset{x\in B_{p,r}\cap F_k}{\sup }\underset{y\in M_k}{\inf }{\Vert x-y\Vert }_{l_q}\ll 2^{-rk}{d}_{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)$

令 $M={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{M}_k}$ (直和)。则M为 $l_q$ 的线性子空间，且

$\dim M\le {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\dim M_k}\le {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_k}\le n.$

从而

$\begin{array}{c}{d}_n\left(B_{p,r},l_q\right)\ll \underset{x\in B_{p,r}}{\sup }\underset{y\in M}{\inf }{\Vert x-y\Vert }_{l_q}\\ \le {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\underset{x\in B_{p,r}\cap F_k}{\sup }\underset{y\in M_k}{\inf }{\Vert x-y\Vert }_{l_q}}\\ \ll {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}{d}_{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)}\end{array}$

下面引理3是估计定理1下界的离散化定理。

引理3. 令 $1\le q<p<\infty$ , $r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$ , $n=0,1,2,\cdots$ ，则

$d_n\left(B_{p,r},l_q\right)\gg 2^{-rk}{d}_n\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)$

其中 $n\succ \prec 2^k\gg 2n$ 。

证明：对 $\forall x\in B_p^{m_k}$ ，则由(2.1)有

$1\ge {\Vert x\Vert }_{l_p^{m_k}}\ge 2^{rk}{\Vert I_k{}^{-1}x\Vert }_{l_{p,r}}$

对 $\forall y\in l_q^{m_k}$ ，则由(2.2)有

${\Vert y\Vert }_{l_q^{m_k}}={\Vert I_k{}^{-1}y\Vert }_{l_q}$

所以

$d_n\left(B_{p,r},l_q\right)\ge d_n\left(B_{p,r}\cap F_k,l_q\cap F_k\right)\gg 2^{-rk}{d}_n\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)$

定理1的证明：

由定义1.1及定义1.2和无穷维恒等算子 $I_{p,r}$ 的定义，易见 $d_n\left(I_{p,q}:l_{p,r}\to l_p\right)=d_n\left(B_{p,r},l_q\right)$ 。

首先估计定理1的上界。

对 $\forall k\in \mathbb{N}$ ，令 $k^{\prime }=\left[\lg n\right]$ ，

$n_k=\{\begin{array}{l}{m}_k,1\le k<k^{\prime }\\ 2^{k^{\prime }}\cdot 2^{\beta \left(k^{\prime }-k\right)},k\ge k^{\prime }\end{array}$

其中， $0<\beta <1$ ，易见 $\left\{n_k\right\}$ 满足引理2的条件。

由引理2和引理1有

$\begin{array}{l}{d}_n\left(I_{p,q}:l_{p,r}\to l_q\right)\\ \ll {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}}{d}_{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)={\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}}{d}_{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)\\ \ll {\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}}\cdot 2^{\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right)k}={\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)k}}\ll 2^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)k^{\prime }}\ll n^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)}\end{array}$

估计定理1的下界。

取满足引理3中条件的k，则由引理3和引理1有

$d_n\left(I_{p,q}:l_{p,r}\to l_q\right)\gg 2^{-rk}{d}_n\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)\gg 2^{-rk}\cdot n^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\gg n^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)}$

综上，定理1得证。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(项目编号：15233593)。