1. 引言
在本文中,亚纯函数是指该函数在整个复平面上亚纯。在下文中,假定所有读者都熟悉亚纯函数的Nevanlinna理论和潘勒韦方程理论及其基本记号 [1] [2] [3] 。特别地,对亚纯函数f,分别用
,
,
,
,
,
和
表示f的极点计数函数,均值函数,特征函数,零点收敛指数,极点收敛指数,增长级和超级。如果g满足
,其中E为对数测度有限的集合,则称g为f的小函数。用
表示f的所有小函数之集。
微分潘勒韦方程是一类物理背景深厚、应用广泛的重要方程。人们开展相关的研究已有一百多年,并取得了极其丰富的成果。近十多年来,人们通过引入Nevanlinna理论深入研究复域差分、差分方程,并取得了一些优秀的成果 [4] - [11] 。这其中的奠基性工作由Halburd和Korhonen [12] 以及Chiang和Feng [13] 分别独立给出。事实上,他们的研究成果,促进了差分的Nevanlinna理论的建立以及差分潘勒韦方程的发展。另一项重要的工作是Halburd和Korhonen [5] ,以及Ronkainen [7] 对非线性差分方程的分类工作。他们给出了几类差分Riccati方程和差分潘勒韦方程 [5] [7] 。在此仅给出以下与本文密切相关的结果。
定理A [7] :假设方程
(1)
有超级小于1的可容许解w,其中
关于z亚纯且为w的有理函数,则或者w满足差分Riccati方程
其中
为代数体函数,或者方程(1)等价于以下形式之一:
(2a)
(2b)
(2c)
(2d)
在(2a)中,系数满足
和以下情况之一:1)
;2)
。
在(2b)中,系数满足
和
。
在(2c)中,系数满足
1)
,且
或
成立;
2)
;
3)
;
4)
。
在(2d)中,
且
。
在定理A中,方程(2a)~(2d)均为第三类差分潘勒韦方程。蓝双婷和陈宗煊 [8] [9] ,张继龙和仪洪勋 [10] [11] 在一些特殊的系数条件下进行了研究,并得到一些很好的结果。本文考虑(2d)在
且系数为有理函数的情况,即以下形式的第三类差分潘勒韦方程
(3)
其中,
为有理函数,得到了以下结果:
定理1:设w为方程(3)的有限级亚纯解,其中
为有理函数,则以下结论成立:
1) 若w只有有限个零点和极点,则
且
,其中R为有理函数,
为常数,
不同时为0;
2) 若w有无穷多个零点或极点,则
。
注:方程(3)可能有级为无穷且超级为1的亚纯解;而在不考虑条件
时,方程(3)可能既有超越亚纯函数解,又有有理函数解,例如方程
的其中五个解为
。这里
是有理函数解,而
2. 引理
引理1 [14] :假设
为有限级的亚纯函数,级为
。若在
处,
则
其中
分别为
非零零点和极点的典型乘积,
为次数不超过
的多项式。
引理2:假设w为方程(3)的非常数亚纯解,
,则w为超越亚纯函数。
证明:利用反证法,假设w为方程(1)的有理函数解,则w至少有一个零点或极点,
。由
可知
为常数函数,且
这表明
(4)
为方便计,不妨设0为
的
阶零点(事实上,若为
的
阶零点,则0为
的k阶零点,若
为
的
阶零点,则0为
的
阶零点)。则由(4)可知,
。下面分三种情况进行讨论。
情况1:−1为
的
阶零点。此时由
,可知:
子情况1.1:−2既不是
的零点也不是
的极点,则−3为
的
阶极点。再由
,可知−4为
的
阶极点。依次类推,
均为
的
阶极点,这表明w有无穷多个极点,与w为有理函数矛盾。
子情况1.2:−2为
的
阶零点,则
1) 当
时,−3既不是
的零点也不是
的极点,类似情况1可得类似的矛盾。
2) 当
时,−3为
的
阶极点。再由
,可知−4为
的
阶极点。依次类推,
均为
的
阶极点,这表明w有无穷多个极点,与w为有理函数矛盾。
3) 当
时,−3为
的
阶零点。再由
,由(1)和(2)中的讨论可知−4是
的极点且阶为
。依此类推可得,
均为
的
阶零点。这表明w有无穷多个零点,与w为有理函数矛盾。
情况2:−1为
的
阶极点。类似子情况1.2中(2)的讨论可得类似的矛盾。
情况3:−1既不是
的零点也不是
的极点。类似子情况1.1可得类似的矛盾。
综上所述,引理2得证。
3. 定理1的证明
假设w为方程(1)的有限级非常数亚纯解,则由引理2可知,w为超越亚纯函数。再由引理1,可以将w记为
(5)
其中
分别为w非零零点和极点的典型乘积,
为多项式且次数不超过w的级
。
情况1:w只有有限个零点和极点,此时
为多项式,从而
为非常数多项式。将(5)代入(3)可得
即
(6)
记
其中
。注意到(6)的右边是有理函数,故
(7)
容易验证:
1) 当
时,
;
2) 当
时,
;
3) 当
时,
。
由此再结合归纳法可得当
时,
其中
。要使得(7)成立,必有
。这就得到
其中
为常数,
不同时为0。
情况2:w有无穷多个零点或极点。不妨设w有无穷多个零点。注意到h为有理函数,至多有有限个零点和极点。故可以取到w的某个零点
使得
。类似引理2的讨论,可以证明
都是w零点(极点)。从而在圆
内至少有
个零点(极点),从而得到
或
也就是
定理1证明完毕。
致谢
本论文得到广东省高等学校优秀青年教师培养计划项目(YQ2015089),广东自然科学基金项目(2015A030313620),广东海洋大学优秀青年教师培养计划项目(2014007,HDYQ2015006),广东海洋大学创新强校工程项目(gdou2016050209)的资助。
NOTES
*通讯作者。