1. 引言
直纹曲面是生活中最常见,且应用最广泛的曲面 [1] [2] ,因此有许多文献对其从不同的角度进行了深入研究 [3] [4] [5] 。不过对高次直纹曲面几乎没有文献提及,因为高次曲面的一般表达式有点难度。本文巧妙地利用x,y,z对应的三个指数来定义系数,从而解决了n次曲面的一般表达形式。
大多数文献都把直纹曲面简单地定义为:一族直线生成的曲面或一条直线运动生成的曲面 [3] [4] [5] [6] 。本文认为这种定义方式太笼统以至于操作性不强,因此引入了操作性更强的定义。如何判断一个n( ≥ 1)次曲面是直纹曲面呢?本文给出了一个充分必要条件。这个结果在理论上有不小作用,但实际操作上并不方便。因此对直纹曲面进行了再认识,提出了复合直纹曲面等概念。这样,一个高次直纹曲面就可以通过较低次的直纹曲面不断复合得到。
本文也从细微的地方研究了直纹曲面,提出了最小的直母线族及紧的直母线族等概念,从而加深了对直纹曲面的认识。
2. n次直纹曲面
定义2.1:由三元n ( ≥ 1)次方程
(1)
所表示的曲面叫做n次曲面,其中i,j及s都是非负整数,并且至少有一个n次项的系数不为0。当
时,称为高次曲面,否则称为低次曲面。并称函数
(2)
为n次曲面函数,简称曲面函数。
定义2.2:设
为一个n次曲面。一条直线称为曲面
的直母线,如果该直线在曲面
上。曲面
称为直纹曲面,如果对曲面
上的任意一点
都至少存在一条直母线经过它。
本文只讨论系数为实数且曲面点为实点的n次曲面。为简单计,有时用“曲面”这种表达方式来代替“方程
所表示的曲面”。为了更好的研究直线与曲面
的关系,本文引入示性函数
其中k,l,m,r,s都是非负整数。
设过曲面
上一点
的直线方程为
代入(2)式确定的曲面函数
得
(3)
其中
。
特别地,当k = 0时,有
。从而有下面的定理:
定理2.1:n次曲面
是直纹曲面的充分必要条件是对曲面上任意一点
都存在一个对应的方向
使得对任给的
,有
。
证明:(必要性)若曲面是直纹曲面,则过曲面上任意一点
,都有一条直线在曲面上。不妨设这条直线的方程为
由(3)知,它就会使得
由t的任意性知
,
。
(充分性)若对曲面上任意一点都存在一个对应的方向
使得对任给的
,有
。
从而由(3)知,对任给的实数t,有
,这说明
整条直线在曲面上。从而定理成立。□
例1:证明4次曲面
是直纹曲面。
证明:记
。
设
是曲面上任意点,且过的直线方程为
。
下面去寻找使
的方向
。考察
(4)
这样得到了一个关于t的一个4次方程,由前面定义的记号有
,
,
,
。
由于
是曲面上的一个点,于是有
。从而
必使
或
。
i) 若
,
则由(4)知:要使
,只需(4)的一个因式为0即可。由
可以得到方向{0,0,1},它使得
(5)
ii) 若
,
由(4)知:可考察
。由
知:若令X = 1,并取Y = 1,则
。可验证方向
使得(5)式成立。这样,对曲面上任意一点
都找到了一个方向
使得对任给的k = 1,2,3,4,有
。
从而由定理2.1知曲面
是一个直纹曲面。
3. 直母线族
定义3.1:设
是一个n次曲面,且L是由一些直线构成的直线集。称L为曲面
的一个直母线族,如果它满足下面两个条件:
i) L中的每一条直线都在
上;
ii) 对曲面
上的任意一点,在L中都至少有一条直线经过它。
定理3.1:一个曲面
是直纹曲面的充分必要条件是它至少有一个直母线族。
证明:充分性显然。现证必要性:先令L为一空集。因为曲面
是直纹曲面,故在曲面上任取一点
,都存在一条经过
的直线
在曲面上;如果L中没有
,则把
加入L。这样,当
跑遍曲面
时,就得到了一个直线构成的集合L。毫无疑问,它是曲面
的一个直母线族。□
定义3.2:设L是n次曲面
的一个直母线族。称L是紧的,如果在L中去掉任意一条直母线l,都会导致曲面
上至少存在一点,使得L - {l}中没有一条直母线经过它。称L是最小的,如果对曲面上任意一点,L中都不存在两条(包括两条)以上的直母线经过它。称L是最大的,如果对曲面
上的任意一点,经过它的任意一条直母线都属于L。
定理3.2:若曲面
是一个直纹曲面,则它的最大直母线族是存在且唯一的。
证明:设
为曲面
上任意一点。并用记号L(M0)表示曲面
上过
的所有直母线构成的集合,
则
就是曲面的最大直母线族。(下面证明唯一性)设有另一个最大直母线族L,可证明
。事实上,任取
,由于L是最大直母线族,故
,因此。
同理,
。□
定理3.3:若曲面
是一个直纹曲面,则它的最小的直母线族是紧的。
证明:设L是曲面
的一个最小的直母线族,则对曲面上任意一点,L中都不存在两条(包括两条)以上的直母线经过它。这就导致在L中去掉任意一条直母线l,使得对l上的任意一点,在L - {l}中都没有直母线经过它。由紧的定义知,定理成立。□
虽然最大的直母线族是唯一的,但最小的却未必唯一。最小的一定是紧的,而紧的未必是最小的。
例3.1:直线族与
都是平面
的最小直母线族。另外,在平面
上,作三条直线族:
,
及
则
就是平面
的一个紧的但非最小的母线族(见图1)。
单叶双曲面
与双曲抛物面
是两个重要的2次直纹曲面,并且是超出直观想象的。在文献 [6] 中分别得到了他们的两个直母线族,称为u族与v族。于是有:
引理3.1 [6] :对于单叶双曲面(双曲抛物面)上的每一点,两族直母线中各有一条直母线经过它。
引理3.2 [6] :单叶双曲面(双曲抛物面)上同族的任意两条直母线必异面。
定理3.4:单叶双曲面(双曲抛物面)的u族与v族都是它的最小直母线族。
证明:(先证u族)首先,由引理3.1知:u族是单叶双曲面(双曲抛物面)的直母线族。其次,由引理3.2知:u族中的任意两条直母线不相交,即单叶双曲面(双曲抛物面)上没有一个点有两条u族直母线经过它。因此u族是单叶双曲面(双曲抛物面)的最小直母线族。同理,v族也如此。□
4. 复合直纹曲面
定理4.1:若曲面
与是两个直纹曲面,则曲面
:
Figure 1. Tight but non-minimum rectilinear generators of plane
图1. 平面的一个紧的但非最小的直母线族
是直纹曲面。
证明:设L1与L2分别为曲面
与
对应的直母线族。则
就是曲面
的一个直母线族。首先,
中的任一直线是曲面
的一条直母线。其次,在曲面
上任取一点
,就有
。
从而
或
。由于L1与L2分别为曲面
与
对应的直母线族,因此总有一条过
的直母线l,它要么在曲面
上,要么在曲面上。从而直线l在曲面
上。□
定理4.2:若曲面
是一个n ( ≥ 1)次直纹曲面,且
是一个m ( ≥ 1)次无实点的曲面,则曲面
:
是直纹曲面。
证明:设L1是曲面
的一个直母线族。则L1也是曲面
的一个直母线族。首先,L1中的直母线也是曲面的直母线。其次,在曲面
上任取一点
,必有
。因为
,所以
。故L1中有一条过
的直母线l在曲面
上,从而直线l在曲面
上。□
定理4.2揭示了一个n + m次直纹曲面可能本质上是一个n次直纹曲面。如4次直纹曲面
本质上等价于2次的单叶双曲面
(仅考虑实点是等价的;如果要考虑虚点,就不是等价的)。
定义4.1:如果一个n (≥2)次曲面能写成如下形式
其中
与
的次都大于1,即曲面能分解成两个曲面之积,则称这个曲面为复合曲面(或可分的曲面);并称
与
为它的分曲面;如果不能,则称为不可分曲面(或基本曲面)。
定理4.1揭示了一个高次的直纹曲面,可以通过较低次的直纹曲面之积的形式不断复合而成。设
,
,是n个不同的平面,则曲面
就表示n个不同的平面构成的n次复合直纹曲面。
定理4.3:单叶双曲面与双曲抛物面都是不可分直纹曲面。
证明:因为他们都不能写成2个平面之积。□
接下来,考虑:一个曲面如果含有一条直母线,它是不是直纹曲面?
定理4.4:一个二次曲面,若它含有一条直母线,则它是直纹曲面。
证明:文献 [6] 证明了,任何二次曲面都可以化为17个标准方程形式之一。从这17标准方程来看,凡含有一条直母线的,都是直纹曲面。因此命题成立。□
对高次曲面来说,定理4.4的结论未必成立,即含有一条直母线的高次曲面未必是直纹曲面。如方程
确定的曲面∑:是在平面
上放了一个椭球面
。毫无疑问直线
在曲面上,但曲面∑不是直纹曲面。如果高次曲面不是复合曲面,结论又如何呢?因此提出下面的公开问题:
公开问题:如果一个不可分的高次曲面含有一条直母线,它是直纹曲面吗?
若命题“一个不可分的高次曲面含有一条直母线,则它是直纹曲面。”成立,则下面命题成立。
命题:如果一个可分的高次曲面含有一条直母线,则它有一个分曲面是直纹曲面。
基金项目
本研究得到国家自然科学基金(61663048)资助。