一种新的股票模型的期权定价公式

Option Pricing Formula for a New Stock Model

摘要: 期权定价问题是现代金融的中心内容之一，Black和Scholes假设股票价格的波动符合几何布朗运动，随后在此基础上建立了随机金融数学，但是不确定环境中的不确定因素除了随机性还有模糊性，因此有必要对模糊金融市场进行研究。本文借助可信性理论，讨论了期权中的执行价格满足一扩散过程的情况，得出了该种新的股票模型的期权定价公式。

Abstract: The option pricing problem is one of central contents in modern finance. Black and Scholes assume that the fluctuation of stock price conforms to geometric Brownian motion, and then establishes stochastic financial mathematics on this basis. However, the uncertainties in the uncertain environment are not only random but also fuzzy, so it is necessary to study the fuzzy financial market. Based on the credibility theory, this paper discusses the case that the execution price of an option satisfies a diffusion process, and obtains the option pricing formula of this new stock model.

1. 引言

1965年Zadeh [1] 通过隶属函数提出模糊集合的概念，模糊集理论被广泛应用于实践。之后Zadeh [2] 为了度量一个模糊事件提出了可能性测度，后发展成为可能性理论。在此基础上，人们开始尝试将模糊理论应用于金融领域，试图用来描绘金融领域中的不确定因素。在20世纪七十年代早期，Black和Scholes [3] 在假设股票价格遵循几何布朗运动的基础上，得出了期权的价格公式。Metron [4] 又对Black-Scholes公式进行了推广。Black-Scholes公式在当今的金融市场实践中已经成为了一种独立的工具，但经典的Black-Scholes期权定价模型是一种随机数学模型，除了随机性之外，模糊性也是金融市场中不确定性的一个重要特征。现实生活中的信息不对称，风险主观，客观偏向不同等原因，使得人们对未来状况的估计总是带有不确定因素，这样就不能完全用随机性来解释，模糊理论的出现为解决这类问题提供了基础。

Liu和Liu [5] 在2002年提出了可信性测度的概念。之后，Li和Liu [6] 给出了可信性测度的充要条件。Liu [7] 在2004年建立了可信性理论，之后Liu [8] 在2007年完善了这一理论，随后这一理论成为了研究模糊现象的一个数学分支。为了描述动态模糊现象，Liu [9] 提出了模糊环境下布朗运动的对应概念——Liu过程，并给出Liu微分定义和Liu积分的定义，它们分别对应Ito微分和Ito积分。有关Liu过程方面，学者们做了大量的研究，You，Huo和Wang [10] 将Liu过程，Liu积分，Liu公式推广到多维情形。You和Wang [11] 介绍了模糊积分存在的三个条件和三类模糊积分性质。You，Ma和Huo [12] 给出了一类广义Liu积分的定义，并且还得到了这种积分的性质和判别定理 [13] [14] 。此外，Dai证明了Liu过程是Lipschitz连续且具有有限变差。Kaleva [15] ，Kaleva [16] 和Ding，Ma和Kandel [17] 对传统的模糊微分方程进行了研究。这些模糊微分方程实际上是带有模糊参数的微分方程。Liu [9] 定义了一种新的模糊微分方程：

$\text{d}{X}_t=f\left(t,X_t\right)\text{d}t+g\left(t,X_t\right)\text{d}{C}_t,$

其中 $C_t$ 是标准Liu过程， $f,g$ 是给定函数。这种方程的解是一个模糊过程。后来，Chen和Qin [18] 证明了在Lipschitz条件和线性增长条件下的上述模糊微分方程的解，得存在唯一性定理。

假设股票价格遵循几何Liu过程，Liu建立了模糊股票模型(Liu股票模型)。在此基础之上，Qin和Li [19] [20] 用可信性理论得出了Liu股票模型的欧式期权的定价公式，并给出了MATLAB求模糊期权价格的算法。Gao和Chen [21] 建立了时变利率、时变股票漂移和时变股票扩散的广义股票模型。Gao和Gao [22] 提出了一种新的股票模型，它类似于Black-Karasiski模型，并给出了欧式期权的价格公式。Peng [23] 也给出了一个更一般的模糊金融市场模型，进一步扩展了Gao的股票模型，该模型的求解更为复杂，不能直接应用于金融市场期权定价。

期权价格问题在金融市场中是一个基本问题，随着金融市场的日益发展，为满足广大投资者的需求，金融机构运用期权理论和分析方法设计出来了越来越多新期权。以前讨论的问题中，执行价格都为一固定值，本文讨论的是一类期权定价问题，其执行价格满足一扩散过程，例如，一种股票转换成另外一种股票的期权。

本文的其余内容组织如下，接下来的部分中，回顾了模糊过程的一些基本概念和性质。在第三节中，我们提出了一种新的模糊期权模型及其公式定义。第四节中，我们给出了基于模型的欧式看涨期权定价公式和第五节中，我们给出了基于模型的欧式看跌期权的期权定价公式。最后给出简要的总结。

2. 预备知识

定义1： (Liu [6] ) (可信性反演定理)令 $\xi$ 是一个隶属函数为 $\mu$ 的模糊变量，对任何实数集B，有

$\text{Cr}\left\{\xi \in B\right\}=\frac{1}{2}\left(\underset{x\in B}{\sup }\mu \left(x\right)+1-\underset{x\in B^c}{\sup }\mu \left(x\right)\right).$

定义2： (Liu [6] )若对任意Borel集 $B_1,B_2,\cdots ,B_m$ 都有下式成立

$\text{Cr}\left\{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\cap }}\left\{{\xi }_i\in B_i\right\}}\right\}=\underset{1\le i\le m}{\min }\text{Cr}\left\{{\xi }_i\in B_i\right\},$

则称模糊变量 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$ 是相互独立的。

定义3： (Liu [6] )设T是一指标集， $\left(\Theta ,P,\text{Cr}\right)$ 是一可信性空间，那么一个从 $T\times \left(\Theta ,P,\text{Cr}\right)$ 到实数集的函数称为一个模糊过程。

换句话说，模糊过程 $X\left(t;\theta \right)$ 是一个有两个变量的函数，对于任意 $t^{*}\in T$ ，函数 $X\left(t^{\text{*}};\theta \right)$ 是一个模糊变量，函数 $X\left(t;{\theta }^{\text{*}}\right)$ 被称为模糊过程的样本路径。如果对于所有 $\theta \in \Theta$ ，样本路径是连续的，那么模糊过程 $X\left(t;\theta \right)$ 称为样本连续。下文中我们使用符号 $X_t$ 来代替较长符号 $X\left(t;\theta \right)$ 。

定义4： (Liu [6] )对任意时间 $t_0<t_1<\cdots <t_k$ ，如果

$X_{t_1}-X_{t_0},X_{t_2}-X_{t_1},\cdots ,X_{t_k}-X_{t_{k-1}}$

是独立的模糊变量，那么称模糊过程 $X_t$ 具有独立增量。

对于任意给定的 $t>0$ ，当 $s>0$ 时， $X_{s+t}-X_s$ 是同分布模糊变量，那么称模糊过程 $X_t$ 具有平稳增量。

定义5： (Liu [6] ) 模糊过程 $C_t$ 称作Liu过程，如果

1) $C_0=0$ ，

2) $C_t$ 具有平稳独立增量，

3) 任意增量 $C_{t+s}-C_s$ 是正态分布模糊变量，即期望为 $et$ ，方差为 ${\delta }^2{t}^2$ ，隶属函数为

$\mu \left(x\right)=2{\left(1+\exp \left(\frac{\pi \left|x-et\right|}{\sqrt{6}\delta t}\right)\right)}^{-1},x\in \Re ,$

其中参数，e是漂移系数， $\delta$ 是扩散系数，若 $e=0,\delta =1$ ，则称其为标准Liu过程。

定义6： (Liu [6] )设 $C_t$ 为标准Liu过程， $et+\delta C_t$ 为Liu过程，则模糊过程

$X_t=\exp \left(et+\delta C_t\right)$

称为几何Liu过程。

定理2： (Liu [6] )设 $C_t$ 为标准Liu过程， $h\left(t,c\right)$ 是连续可微函数，令 $X_t=h\left(t,C_t\right)$ ，那么我们有下面的链式规则

$\text{d}{X}_t=\frac{\partial h}{\partial t}\left(t,C_t\right)\text{d}t+\frac{\partial h}{\partial c}\left(t,C_t\right)\text{d}{C}_t.$

传统上，一般假定股票价格遵循几何布朗运动，而随机金融数学就是建立在这一假设之上。随着模糊过程以及模糊运算的引入，Liu提出了另一种假设，即股票价格服从几何Liu过程。基于这一假设，期权定价，最优停时，最优投资组合选择等均可重新考虑，因此产生了一种全新的模糊金融数学理论。Liu提出了模糊金融市场的基本股票模型，其中债券价格 $B_t$ 和股票价格 $S_t$ 可表达为

$\{\begin{array}{l}{B}_t=B_0\exp \left(rt\right)\hfill \\ S_t=S_0\exp \left(et+\delta C_t\right)\hfill \end{array}$

或者

$\{\begin{array}{l}\text{d}{B}_t=r{B}_t\text{d}t\hfill \\ \text{d}{S}_t=e{S}_t\text{d}t+\delta S_t\text{d}{C}_t\hfill \end{array}$

其中r是无风险利率，e是股票漂移系数， $\delta$ 是股票的扩散系数。

3. 一种新的模糊股票模型

假设在模糊金融市场模糊股票价格遵循几何Liu过程，Liu给出了股票价格模型。此模型恰为Black-Scholes模型在模糊金融市场中的对应模型。

在本文中，假设执行价格也满足一扩散过程，比如是将一种股票转换成另一种股票的期权。考虑两个非负债公司之间的股票转换问题。公司A投标实力较弱的公司B的股份，例如，当公司B的股票价格S_B = $30时，公司A根据自己公司股票的当前价格S_A = $50作为发盘价格。公司B的股份持有者获得了将一种资产转换成另一种资产的期权。买入期权的执行价格是公司B的股票，它是一模糊变量，并且两种股票是相互独立的。

设t时刻无风险债券的价格记为 $B_t$ ，两种股票的价格满足几何Liu过程，分别记为 $S_t,Y_t$ ，投资组合模型如下

$\{\begin{array}{l}\text{d}{B}_t=r{B}_t\text{d}t\hfill \\ \text{d}{S}_t=e_1{S}_t\text{d}t+{\delta }_1{S}_t\text{d}{C}_{1t}\hfill \\ \text{d}{Y}_t=e_2{Y}_t\text{d}t+{\delta }_2{Y}_t\text{d}{C}_{2t}\hfill \end{array}$ (3.1)

这里r是无风险利率， $e_1,e_2$ 是两种股票的漂移系数， ${\delta }_1,{\delta }_2$ 是两种股票的扩散系数， $C_{1t}$ 和 $C_{2t}$ 是标准Liu过程。

4. 欧式看涨期权定价公式

欧式看涨期权是赋予持有者在规定时间内以一定价格买入股票的一种权利，但不是义务。在这节中我们考虑欧式买入期权的执行价格符合几何Liu过程的情况。

在模型(3.1)中我们假设欧式买入期权有执行价格 $Y_T$ 和到期时间T。如果 $S_T$ 是最终股票价格，其作为发盘价格，那么欧式买入期权的回报为 ${\left(S_T-Y_T\right)}^{+}$ 。考虑到货币的时间价值，这个回报的现值为

$\exp (-rT){(S_T-Y_T)}^{+}.$

定义7：股票模型(3.1)中的欧式看涨期权价格f定义为

$\begin{array}{l}f\left(S_0,Y_0,e_1,e_2,{\delta }_1,{\delta }_2,r\right)\\ =\exp \left(-rT\right)E\left[S_0\exp \left(e_{1}T+{\delta }_1{C}_{1T}\right)-Y_0\exp {\left(e_{2}T+{\delta }_2{C}_{2T}\right)}^{+}\right].\end{array}$ (4.1)

为了计算出欧式期权价格，通过可信性理论我们可以推导出如下的欧式期权看涨价格公式

定理3：股票模型(3.1)中的欧式看涨期权价格可由下式给出

$\begin{array}{l}f\left(S_0,Y_0,e_1,e_2,{\delta }_1,{\delta }_2,r\right)\\ =S_0\exp \left(\left(e_1-r\right)T\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\left(1+x^{\pi /\sqrt{6}{\delta }_{1}T}\right)}^{-1}\text{d}x}\\ -Y_0\exp \left(\left(e_2-r\right)T\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\left(1+x^{\pi /\sqrt{6}{\delta }_{2}T}\right)}^{-1}\text{d}x}.\end{array}$

证明：由模糊变量的期望值定义我们有

$\begin{array}{l}f\left(S_0,Y_0,e_1,e_2,{\delta }_1,{\delta }_2,r\right)\\ =\exp \left(-rT\right)E\left[S_0\exp \left(e_{1}T+{\delta }_1{C}_{1T}\right)-Y_0\exp {\left(e_{2}T+{\delta }_2{C}_{2T}\right)}^{+}\right]\\ =\exp \left(-rT\right)\left\{E\left[S_0\exp \left(e_{1}T+{\delta }_1{C}_{1T}\right)-E\left[Y_0\exp \left(e_{2}T+{\delta }_2{C}_{2T}\right)\right]\right]\right\}\\ =S_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\text{Cr}\left\{\exp \left(e_{1}T+{\delta }_1{C}_{1T}\right)\ge x\right\}\text{d}x}\\ -Y_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\text{Cr}\left\{\exp \left(e_{2}T+{\delta }_2{C}_{2T}\right)\ge x\right\}\text{d}}x\end{array}$

$\begin{array}{l}=S_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\text{Cr}\left\{C_{1T}\ge \frac{\ln x-e_{1}T}{{\delta }_1}\right\}\text{d}x}\\ -Y_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\text{Cr}\left\{C_{2T}\ge \frac{\ln x-e_{2}T}{{\delta }_2}\right\}\text{d}x}\\ =S_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_0^{\exp \left(e_{1}T\right)}\left[1-\frac{1}{2}\underset{y<\frac{\ln x-e_{1}T}{{\delta }_1}}{\sup }u\left(y\right)\right]\text{d}x}\\ +S_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_{\exp \left(e_{1}T\right)}^{+\infty }\left[\frac{1}{2}\underset{y\ge \frac{\ln x-e_{1}T}{{\delta }_1}}{\sup }u\left(y\right)\right]\text{d}x}\\ -Y_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_0^{\exp \left(e_{2}T\right)}\left[1-\frac{1}{2}\underset{y<\frac{\ln x-e_{2}T}{{\delta }_2}}{\sup }u\left(y\right)\right]\text{d}x}\end{array}$

$\begin{array}{l}-Y_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_{\exp \left(e_{2}T\right)}^{+\infty }\left[\frac{1}{2}\underset{y\ge \frac{\ln x-e_{2}T}{{\delta }_2}}{\sup }u\left(y\right)\right]\text{d}x}\\ =S_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_0^{\exp \left(e_{1}T\right)}1-{\left(1+\exp \left(\frac{\pi \left(e_{1}T-\ln x\right)}{\sqrt{6}{\delta }_{1}T}\right)\right)}^{-1}\text{d}x}\\ +S_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_{\exp \left(e_{1}T\right)}^{+\infty }{\left(1+\exp \left(\frac{\pi \left(\ln x-e_{1}T\right)}{\sqrt{6}{\delta }_{1}T}\right)\right)}^{-1}\text{d}x}\\ -Y_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_0^{\exp \left(e_{2}T\right)}1-{\left(1+\exp \left(\frac{\pi \left(e_{2}T-\ln x\right)}{\sqrt{6}{\delta }_{2}T}\right)\right)}^{-1}\text{d}x}\\ -Y_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_{\exp \left(e_{2}T\right)}^{+\infty }{\left(1+\exp \left(\frac{\pi \left(\ln x-e_{2}T\right)}{\sqrt{6}{\delta }_{2}T}\right)\right)}^{-1}\text{d}x}\end{array}$

$\begin{array}{l}=S_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{\exp \left(\pi e_1/\sqrt{6}{\delta }_{1}T\right)}{\exp \left(\pi e_1/\sqrt{6}{\delta }_{1}T\right)+x^{\pi /\sqrt{6}{\delta }_{1}T}}\text{d}x}\\ -Y_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{\exp \left(\pi e_2/\sqrt{6}{\delta }_{2}T\right)}{\exp \left(\pi e_2/\sqrt{6}{\delta }_{2}T\right)+x^{\pi /\sqrt{6}{\delta }_{2}T}}\text{d}}x\\ =S_0\exp \left(\left(e_1-r\right)T\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\left(1+x^{\pi /\sqrt{6}{\delta }_{1}T}\right)}^{-1}\text{d}x}\\ -Y_0\exp \left(\left(e_2-r\right)T\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\left(1+x^{\pi /\sqrt{6}{\delta }_{2}T}\right)}^{-1}\text{d}x}\end{array}$

定理得证。

例4.1:假设公司A初始股票价格为 $S_0=30$ ，无风险利率r为8%，股票漂移系数 $e_1=6\%$ ，股票扩散 ${\delta }_2=25\%$ ，在到期时间三个月后的公司B的股票价格即执行价格为 $Y_0=28$ ，该公司B股票的漂移系数和扩散系数分别为 $e_2=5\%,{\delta }_2=20\%$ 。为了计算该欧式看涨期权的价格，在使用以下MATLAB代码：

$\begin{array}{l}symsx;\\ y=\text{'}30*\exp ((0.06-0.08)*0.25)./(1+x^(pi./sqrt(6)*0.25*0.25)))\\ -28*\exp ((0.05-0.08)*0.25)./(1+x^(pi./sqrt(6)*0.2*0.25)))\text{'};\\ f=quad(y,0,100)\end{array}$

得出欧式看涨期权的定价为2.1069。

5. 欧式看跌期权定价公式

欧式看跌期权是赋予持有者在规定时间内以一定价格卖出股票的一种权利，但不是义务。

在模型(3.1)中我们假设欧式卖出期权有执行价格 $Y_T$ 和到期时间T，如果 $S_T$ 最终标的股票价格其作为发盘价格，那么欧式卖出期权的回报为 ${\left(Y_T-S_T\right)}^{+}$ 。同样，我们可以得到欧式看跌期权价格公式如下

定义8：股票模型(3.1)中的欧式看跌期权价格f定义为

$\begin{array}{l}f\left(S_0,Y_0,e_1,e_2,{\delta }_1,{\delta }_2,r\right)\\ =\exp \left(-rT\right)E\left[Y_0\exp \left(e_{2}T+{\delta }_2{C}_{2T}\right)-S_0\exp {\left(e_{1}T+{\delta }_1{C}_{1T}\right)}^{+}\right].\end{array}$ (4.2)

定理4：股票模型(3.1)中的欧式看涨期权价格公式如下

$\begin{array}{l}f\left(S_0,Y_0,e_1,e_2,{\delta }_1,{\delta }_2,r\right)\\ =Y_0\exp \left(\left(e_2-r\right)T\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\left(1+x^{\pi /\sqrt{6}{\delta }_{2}T}\right)}^{-1}\text{d}x}\\ -S_0\exp \left(\left(e_1-r\right)T\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\left(1+x^{\pi /\sqrt{6}{\delta }_{1}T}\right)}^{-1}\text{d}x}.\end{array}$

证明：由模糊变量的期望值定义我们有

$\begin{array}{l}f\left(S_0,Y_0,e_1,e_2,{\delta }_1,{\delta }_2,r\right)\\ =\exp \left(-rT\right)E\left[Y_0\exp \left(e_{2}T+{\delta }_2{C}_{2T}\right)-S_0\exp {\left(e_{1}T+{\delta }_1{C}_{1T}\right)}^{+}\right]\\ =\exp \left(-rT\right)\left\{E\left[Y_0\exp \left(e_{2}T+{\delta }_2{C}_{2T}\right)\right]-E\left[S_0\exp \left(e_{1}T+{\delta }_{\text{1}}{C}_{1T}\right)\right]\right\}\\ =Y_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\text{Cr}\left\{\exp \left(e_{2}T+{\delta }_2{C}_{2T}\right)\ge x\right\}\text{d}x}\\ -S_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\text{Cr}\left\{\exp \left(e_{1}T+{\delta }_1{C}_{1T}\right)\ge x\right\}\text{d}x}\end{array}$

$\begin{array}{l}=Y_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\text{Cr}\left\{C_{2T}\ge \frac{\ln x-e_{2}T}{{\delta }_2}\right\}\text{d}x}\\ -S_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\text{Cr}\left\{C_{1T}\ge \frac{\ln x-e_{1}T}{{\delta }_1}\right\}\text{d}x}\\ =Y_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_0^{\exp \left(e_{2}T\right)}\left[1-\frac{1}{2}\underset{y<\frac{\ln x-e_{2}T}{{\delta }_2}}{\sup }u\left(y\right)\right]\text{d}x}\\ +Y_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_{\exp \left(e_{2}T\right)}^{+\infty }\left[\frac{1}{2}\underset{y\ge \frac{\ln x-e_{2}T}{{\delta }_2}}{\sup }u\left(y\right)\right]\text{d}x}\\ -S_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_0^{\exp \left(e_{1}T\right)}\left[1-\frac{1}{2}\underset{y<\frac{\ln x-e_{1}T}{{\delta }_1}}{\sup }u\left(y\right)\right]\text{d}x}\end{array}$

$\begin{array}{l}-S_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_{\exp \left(e_{1}T\right)}^{+\infty }\left[\frac{1}{2}\underset{y\ge \frac{\ln x-e_{1}T}{{\delta }_1}}{\sup }u\left(y\right)\right]\text{d}x}\\ =Y_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{\exp \left(\pi e_2/\sqrt{6}{\delta }_{2}T\right)}{\exp \left(\pi e_2/\sqrt{6}{\delta }_{2}T\right)+x^{\pi /\sqrt{6}{\delta }_{2}T}}\text{d}x}\\ -S_0\exp \left(-rT\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{\exp \left(\pi e_1/\sqrt{6}{\delta }_{1}T\right)}{\exp \left(\pi e_1/\sqrt{6}{\delta }_{1}T\right)+x^{\pi /\sqrt{6}{\delta }_{1}T}}\text{d}x}\\ =Y_0\exp \left(\left(e_2-r\right)T\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\left(1+x^{\pi /\sqrt{6}{\delta }_{2}T}\right)}^{-1}\text{d}x}\\ -S_0\exp \left(\left(e_1-r\right)T\right){\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\left(1+x^{\pi /\sqrt{6}{\delta }_{1}T}\right)}^{-1}\text{d}x}.\end{array}$

例5.1：假设公司A初始股票价格为 $S_0=30$ ，无风险利率r为8%，股票漂移系数 $e_1=6\%$ ，股票扩散 ${\delta }_2=25\%$ ，在到期时间三个月后的公司B的股票价格即执行价格为 $Y_0=32$ ，该公司B股票的漂移系数和扩散系数分别为 $e_2=5\%,{\delta }_2=20\%$ 。为了计算该欧式看涨期权的价格，在使用以下MATLAB代码：

$\begin{array}{l}symsx;\\ y=\text{'}32*\exp ((0.05-0.08)*0.25)./(1+x^(pi./sqrt(6)*0.2*0.25)))\\ -30*\exp ((0.06-0.08)*0.25)./(1+x^(pi./sqrt(6)*0.25*0.25)))\text{'};\\ f=quad(y,0,100)\end{array}$

得出欧式看涨期权的定价为1.8731。

6. 结论

在本文中，我们提出了一个新的模糊股票模型，与之前的各种股票模型不同之处在于这种股票模型中执行价格满足一扩散过程，然后给出了该模型的欧式看涨期权和看跌期权价格公式。

基金项目

国家自然科学基金(No. 61773150)资助。