1. 引言
函数之比求极限是一类典型且常见的极限问题,通常利用商的极限运算法则可以计算一般情形下的
极限。而对于分子、分母不趋于有限值的情形,该法则不适用。如对于
未定式,便不能直接用“商的
极限等于极限的商”这一简单法则来计算。此类未定式的一种简便有效的计算方法是L’Hospital法则。
例如,极限过程
下的
未定式的L’Hospital法则为
引理(L’Hospital法则) 设
(1) 当
时,函数
与
均趋于无穷大;
(2) 在点a的某去心邻域内,
与
都存在且
;
(3)
存在(或为无穷大),
则
。
该法则对其它极限过程
均适用。
这种在一定条件下通过分子、分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法,称为L’Hospital法则。引理的一个关键性条件是要求分子、分母均趋于无穷大,这使得L’Hospital法则在使用时具有一定的局限性。考察以下引例:
引例已知函数
在
内连续且
,求
。
这是一个典型的
未定式求极限的问题,求解的主要思路是利用L’Hospital法则。
解法一 由
知,存在
,当
时,有
,故
,
从而
。由L’Hospital法则得
。
上述求解过程较为繁琐,原因在于为使用L’Hospital法则,应先明确所求极限为
未定式,即证明
分子趋于无穷大。该事实看似显然,但其论证方法并不直接,往往不容易想到。
事实上,若仅分母趋于无穷大,不考虑分子的变化趋势(此时将
记作
未定式),在一定条件下仍可通过分子、分母分别求导以求极限,即L’Hospital法则可进一步推广,得到
未定式的广义
L’Hospital法则 [1] 。
2.
未定式的广义L’Hospital法则
以下定理仅以极限过程
为例,其它过程结论类似。
定理1 (广义L’Hospital法则) 设
和
在
上均可导(其中
)且满足:(1)
;(2)
;(3)
(A为有限数或
,
),则
。
证明 (i) 当A为有限数时。
(证法一) 由
,则对
,使得当
时,有
,
即
。
现任取
且
,由Cauchy中值定理,
使得
(1)
进一步地,由条件(1)、(2),不妨设
,则必有
在
内恒大于零,此时由(1)式得 [2]
,
从而
(2)
又由
,(2)式两边同时取上下极限得
,
再令
,得
,
故
,即
。
(证法二) 由
,则对
,使得当
时,有
,
即
。
现任取
且
,则由Cauchy中值定理,
使得
,
从而
。
又
,
故
,
即
,从而
。
(ii) 当A为
时。
由
,则对
,
,使得当
时,有
,进一步地,
对
且
,由Cauchy中值定理,
使得 [3]
。
此外,由
易知
及
。从而由极限定义得
,
,
。
故
,
即
,从而
。
(iii) 当A为
时。
令
。由
知
。进一步地,由(ii)之结论可得
,即
,故
。从而
。
综合(i) (ii) (iii),定理得证。
3. 结论
利用
未定式的广义L’Hospital法则,引例的解法可进行改进:
解法二 由
未定式的广义L’Hospital法则得
。
显然,解法二比解法一简便得多。因本例满足
未定式广义L’Hospital法则的条件,从而不必论证
分子的变化趋势,只要分母趋于无穷大即可。这就省去了解法一中繁杂且不易实现的分子趋于无穷大的证明环节。
本文给出的广义L’Hospital法则并不要求分子趋于无穷大,而只要分母趋于无穷大即可。这在一定
程度上拓宽了原有
未定式L’Hospital法则的适用范围,使得通过分子、分母求导以求极限这一简便方
法能够应用于更多看似复杂而又难以入手的极限问题。