Banach空间中变分包含组问题的强收敛性

A Strong Convergence Theorem for a General System of Variational Inclusions in Banach Spaces

摘要: 本文主要介绍了Banach空间中的变分包含组问题，同时构造了用于就解决逆强增生映像的变分包含组问题和λ-强伪压缩映射的公共不动点问题解的迭代方法。在一定的条件下，当空间为一致凸且q-一致光滑的Banach空间时，结合经典的向前向后分裂方法，完成了问题解的强收敛性的证明。

Abstract: In this paper, a general system of variational inclusion in Banach spaces is introduced. An iterative method for finding solutions of a general system of variational inclusions with inverse-strongly ac-cretive mapping and common set of fixed points for a λ-strict pseudocontraction is established. Under the suitable conditions, by forward-backward splitting method, it is proved that there is strong convergence theorem for the problem in uniformly convex and q-uniformly smooth Banach spaces.

1. 引言

假设E是一个实的Banach空间，变分包含问题就是：找到一个点 $x^{*}\in E$，使得

$0\in A{x}^{*}+B{x}^{*}$ (1.1)

其中 $A:E\to E$ 是一个单值算子， $B:E\to 2^E$ 是一个集值算子。本文研究的变分包含问题是作为凸规划问题，变分不等式问题和极小化问题的特殊形式，从变分包含问题提出之后就被受到高度重视，并且被广泛运用于机器学习，图像恢复等实际问题上(见文献 [1] )。

针对于变分包含问题经典的求解方法是向前–向后的分裂方法 [2] [3] [4]，具体形式如下：对于任意给定的点 $x_1\in E$，同时 $\lambda >0$，

$x_{n+1}={\left(I+\lambda M\right)}^{-1}\left(x_n-\lambda A{x}_n\right),\forall n\ge 1$

2015年，文献 [5] 介绍了Halpern-type forward-backward的方法用于求解变分包含问题。找到一点 $x_1\in E$，使得

$x_{n+1}={\alpha }_n\mu +{\lambda }_n{x}_n+{\delta }_n{J}_{r_n}^M\left(x_n-r_{n}A{x}_n\right)+e_n,\forall n\ge 1$ (1.2)

其中 $J_{r_n}^M={\left(I+r_{n}M\right)}^{-1}$，E是一个一致凸且一致光滑的Banach空间， $A:E\to E$ 和 $B:E\to 2^E$ 是非线性映射且满足 $\Omega :={\left(A+M\right)}^{-1}\ne \varphi$，他证明了在一定条件下由(1.2)构造的迭代序列强收敛到 $\left(A+M\right)$ 的零点问题。随着变分包含问题研究的深入，人们开始关注变分包含组问题的研究，其中也得到了一些显著的成效(见文献 [6] )。

在2018年，文献 [7] 考虑了当空间为一致凸且q-一致光滑的Banach空间上的变分包含组解的研究。找到 $\left(u_1,u_2,\cdots ,u_l\right)\in E_1\times E_2\times \cdots \times E_l$，使得

$\{\begin{array}{l}0\in u_1-u_2+{\rho }_1\left(A_1{u}_2+M_1{u}_1\right),\\ 0\in u_2-u_3+{\rho }_2\left(A_2{u}_3+M_2{u}_2\right),\\ ⋮\\ 0\in u_l-u_1+{\rho }_l\left(A_l{u}_l+M_l{u}_l\right)\end{array}$ (1.3)

其中 $A_i:E\to E$ 并且 $M_i:E\to 2^E$ 是非线性映射( $i=1,2,\cdots ,l$ )，当满足一定的条件时，他们证明其构造的迭代序列强收敛到变分包含组问题的解。

受以上文章的启发，本文主要研究变分包含组解的强弱收敛性，与以往成果相比我们将空间延拓到了一致凸且q-一致光滑的Banach空间上，并且在一定条件下利用向前向后分裂方法的思想旨在于找到一种解决逆强增生映射和 $\lambda$ -强伪压缩的公共不动点解的一种方法，最后我们完成其收敛性的证明。

2. 预备知识

为了证明主要的结果，需要运用下面的概念，引理和定理等。在这篇文章中，总是假设E是一致凸且q-一致光滑的Banach空间，其中 $q\in \left(1,2\right]$。

设E和 $E^{\text{*}}$ 分别为实的Banach空间和它的对偶空间。广义对偶映射 $J_q:E\to 2^{E^{*}}$ 定义为：

$J_q\left(x\right)=\left\{x^{*}\in E^{*}:\langle x,x^{*}\rangle ={\Vert x\Vert }^q,\Vert x^{*}\Vert ={\Vert x\Vert }^{q-1}\right\},\forall x\in E$ (2.1)

易知 $J_q={\Vert x\Vert }^{q-2}{J}_2\left(x\right),\forall x\ne 0$，其中称为正规对偶映射。众所周知，当E是光滑的Banach空间时， $J_q$ 是单值的，并且简记为 $j_q$。

注2.1：广义对偶映像 $J_q\left(x\right)$ 是一对一的，单值的非扩张的且满足 $J_q\left(x\right)={\left(J_q\left(x\right)\right)}^{-1}$。

与此同时下面的次可微不等式成立，对于任给定的 $x,y\in E$

${\Vert x+y\Vert }^q\le {\Vert x\Vert }^q+q\langle y,j_q\left(x+y\right)\rangle ,j_q\left(x+y\right)\in J_q\left(x+y\right)$ (2.2)

命题2.2 [8] 设C为光滑Banach空间E的闭凸子集，设 $P:C\to E$ 是拉回映射，J为E的正规对偶映射，则下面的命题等价：

1) P是向阳非扩张的。

2) $\langle x-Px,J\left(y-Px\right)\rangle \le 0,\forall x\in C,y\in D$

下面假设E是一个光滑的Banach空间，C是E的一个子集， $T:C\to C$ 是一个映射，我们用 $F\left(T\right)$ 表示映射T的不动点集。

映射： $T:C\to C$ 称为非扩张的，若对所有的 $x,y\in C$，

$\Vert Tx-Ty\Vert \le \Vert x-y\Vert$

映射： $A:C\to E$ 称为增生映射，如果存在 $j_q\left(x\right)\in J_q\left(x\right)$ 满足

$\langle Ax-Ay,j_q\left(x-y\right)\rangle \ge 0,\forall x,y\in C$

映射： $A:C\to E$ 称为 $\alpha$ -逆强增生映射，如果存在 $j_q\left(x\right)\in J_q\left(x\right),\alpha >0$ 满足

$\langle Ax-Ay,j_q\left(x-y\right)\rangle \ge \alpha {\Vert Ax-Ay\Vert }^q,\forall x,y\in C$ (2.3)

假设E是一个实的Banach空间， $T:E\to E$ 为一个映射，如果存在 $\lambda \in \left(0,1\right]$，使得 $\forall x,y\in E$，一些 $j_q\left(x-y\right)\in J_q\left(x-y\right)$

$\langle Tx-Ty,j_q\left(x-y\right)\rangle \le {\Vert x-y\Vert }^q-\lambda {\Vert \left(I-T\right)x-\left(I-T\right)y\Vert }^q$ (2.4)

则称T是 $\lambda$ -严格伪压缩的。

引理2.4 [9] 假设E是一个光滑的Banach空间，且存在 $0<q\le 2$，则下列式子等价：

1) E是q-一致光滑的。

2) 存在光滑系数 $k_q>0$，使得对于所有的 $x,y\in E$

${\Vert x+y\Vert }^q\le {\Vert x\Vert }^q+q\langle y,j_q\left(x\right)\rangle +k_q{\Vert y\Vert }^q$ (2.5)

引理2.5 [10] 假设C是一致凸且一致光滑的Banach空间E的非空闭凸子集，映射T是C到自身的不动点非空的非扩张映射，则F(T)是收缩到C的向阳非扩张的。

引理2.6 [11] 假设 $M:E\to {\text{2}}^E$ 的极大单调映射，定义如下单值映射： $J_{\rho }^M:E\to E$

$J_{\rho }^M\left(x\right)={\left(I+\rho M\right)}^{-1}(\; x\; )$

则称 $J_{\rho }^M$ 为算子M的豫解式，这里 $\rho >0$，I是恒等映射。

引理2.7 [12] 设 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$ 是Banach空间E中的有界序列， $\left\{{\beta }_n\right\}$ 为[0,1]中的序列满足： $0<\underset{n\to \infty }{\text{lininf}}{\beta }_n\le \underset{n\to \infty }{\text{linsup}}{\beta }_n<1$，假设 $x_{n+1}={\beta }_n{x}_n+\left(1-{\beta }_n\right)y_n,n\ge 0$ 且 $\underset{n\to \infty }{\text{linsup}}\left(\Vert y_{n+1}-y_n\Vert -\Vert x_{n+1}-x_n\Vert \right)\le 0$，则 $\underset{n\to \infty }{\text{lin}}\Vert y_n-x_n\Vert =0$

引理2.8 [13] 假设 $T:E\to E$ 为 $\lambda$ -严格伪压缩映射，E为q一致光滑的Banach空间，则下列式子成立：

1) 给定 $\alpha \in \left(\text{0,1}\right)$，定义映射 $T_{\alpha }\left(x\right)=\left(1-\alpha \right)x+\alpha Tx$，则当 $\alpha \in \left(0,\mu \right),\mu =\min \left\{1,{\left(\frac{q\lambda }{k_q}\right)}^{\frac{1}{q-1}}\right\}$ 时

有 $T_{\alpha }:C\to C$ 时非扩张映射且 $F\left(T_{\alpha }\right)=F\left(T\right)$。

2) 映射T是 $\frac{1-\lambda }{\lambda }$ 李普希兹连续的。

引理2.9 [14] 设E是严格凸的Banach空间， $T_{\text{1}}$ 和 $T_{\text{2}}$ 是E到自身的非扩张映射满足其不动点非空，定义映射： $S:E\to E$ 且

$Sx=\lambda T_{1}x+\left(1-\lambda \right)T_{2}x$

其中 $\lambda \in \left(\text{0,1}\right)$，则 $F\left(S\right)=F\left(T_1\right)\cap F(\; T\; 2\; )$

引理2.10 [15] 设 $q>1$。则对于任意正数a,b，下面等式成立

$ab\le \frac{1}{q}{a}^q+\frac{q-1}{q}b\frac{q}{q-1}$

引理2.11 [1] 设 $\left\{a_n\right\}$ 为非负实序列且满足

$a_{n+1}\le \left(1-{\gamma }_n\right)a_n+{\delta }_n,n\ge 0$

其中 $\left\{a_n\right\}$ 为 $\left(0,1\right)$ 中的序列， $\left\{{\delta }_n\right\}$ 和 $\left\{{\gamma }_n\right\}$ 满足下面条件：

1) $\left\{{\gamma }_n\right\}\subset \left(0,1\right)$ 且 $\left\{{\delta }_n\right\}\subset R$

2) ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\gamma }_n}=+\infty$

3) ${\text{linsup}}_{n\to \infty }\frac{{\delta }_n}{{\gamma }_n}\le 0,\text{or}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|{\delta }_n\right|}<+\infty$

则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$

3. 主要结论

定理3.1：设E是一个q-一致凸且一致光滑的Banach空间，其中光滑系数为K。 $M_i:E\to 2^E$ 是一个极大单调映射， $A_i:E\to E$ 是一个 ${\mu }_i$ -逆强增生映射，并且 $T_{{\rho }_i}^{\left(A_i,M_i\right)}=J_{{\rho }_i}^{M_i}\left(I-{\rho }_i{A}_i\right)$，这里 $i=1,2,\cdots ,l$。设 $Q=T_{{\rho }_1}^{\left(A_1,M_1\right)}\circ T_{{\rho }_2}^{\left(A_2,M_2\right)}\circ \cdots \circ T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}$， $T:E\to E$ 是一个不动点非空的的 $\lambda$ -严格伪压缩映射，定义如下一个映射S如下：

$Sx=\left(1-\alpha \right)x+\alpha Tx,\forall x\in E$

假设 $\varphi =F\left(T\right)\cap F\left(Q\right)$，对于任意给定初始点 $u\in E$ 且序列 $\left\{x_n\right\}$ 是由下列形式定义的序列：

$\{\begin{array}{l}{y}_n=T_{{\rho }_1}^{\left(A_1,M_1\right)}\circ T_{{\rho }_2}^{\left(A_2,M_2\right)}\circ \cdots \circ T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}{x}_n\hfill \\ x_{n+1}={\alpha }_{n}u+{\beta }_n{x}_n+\left(1-{\alpha }_n-{\beta }_n\right)\left(vS{x}_n+\left(1-v\right)y_n\right),n\ge 0\hfill \end{array}$ (3.1)

其中 $v\in \left(0,1\right),{\rho }_i\in \left(0,{\left(\frac{q{\mu }_i}{K_q}\right)}^{\frac{1}{q-1}}\right),\left(i=1,2,\cdots ,l\right),\alpha \in \left(0,k\right),k=\min \left(1,{\left(\frac{q\lambda }{k_q}\right)}^{\frac{1}{q-1}}\right)$，当序列 $\left\{{\alpha }_n\right\}$， $\left\{{\beta }_n\right\}$ 满足下列条件：

1) $\left\{{\alpha }_n\right\}\subset \left(0,1\right),{\lim }_{n\to \infty }{\alpha }_n=0$ 同时 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\alpha }_n}=+\infty$

2) $\left\{{\beta }_n\right\}\subset \left(0,1\right),0<\lim {\inf }_{n\to \infty }{\beta }_n\le \lim {\sup }_{n\to \infty }{\beta }_n<1$

那么序列 $\left\{x_n\right\}$ 强收敛到 $u_1^{*}=p_{\varphi }u$，其中 $p_{\varphi }$ 是 $E\to \varphi$ 的阳光非扩张收缩，同时 $\left(u_1^{*},u_2^{*},\cdots ,u_l^{*}\right)\in E^l$，这里

$\{\begin{array}{l}{u}_1^{*}=T_{{\rho }_1}^{\left(A_1,M_1\right)}{u}_2^{*},\\ u_2^{*}=T_{{\rho }_2}^{\left(A_2,M_2\right)}{u}_3^{*},\\ ⋮\\ u_{l-1}^{*}=T_{{\rho }_{l-1}}^{\left(A_{l-1},M_{l-1}\right)}{u}_{l-1}^{*},\\ u_l^{*}=T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}{u}_1^{*}\end{array}$

是问题(1.3)的解。

完成定理(3.1)的证明主要分为以下几步。

证明：第一步，我们需证明映射 $T_{{\rho }_i}^{\left(A_i,M_i\right)}=J_{{\rho }_i}^{M_i}\left(I-{\rho }_i{A}_i\right)$ 对于所有的 $i=1,2,\cdots ,l$ 是都是非扩张的。事实上，对于任意的 $x,y\in E$，通过式子(2.3)，引理2.4和条件 ${\rho }_i\in \left(0,{\left(\frac{q{\mu }_i}{K_q}\right)}^{\frac{1}{q-1}}\right)$，我们得到

$\begin{array}{l}{\Vert \left(I-{\rho }_i{A}_i\right)x-\left(I-{\rho }_i{A}_i\right)y\Vert }^q\\ ={\Vert \left(x-y\right)+{\rho }_i{A}_i\left(y-x\right)\Vert }^q\\ \le {\Vert x-y\Vert }^q+q\langle {\rho }_i{A}_i\left(y-x\right),j_q\left(x-y\right)\rangle +K_q{\Vert {\rho }_i{A}_{i}x-{\rho }_i{A}_{i}y\Vert }^q\\ \le {\Vert x-y\Vert }^q+q\langle {\rho }_i{A}_i\left(y-x\right),j_q\left(x-y\right)\rangle +K_q{\rho }_i^q{\Vert A_{i}x-A_{i}y\Vert }^q\end{array}$

$\begin{array}{l}\le {\Vert x-y\Vert }^q-q{\rho }_i{\mu }_i{\Vert A_{i}x-A_{i}y\Vert }^q+K_q{\rho }_i^q{\Vert A_{i}x-A_{i}y\Vert }^q\\ ={\Vert x-y\Vert }^q-\left(q{\rho }_i{\mu }_i-K_q{\rho }_i^q\right){\Vert A_{i}x-A_{i}y\Vert }^q\\ \le {\Vert x-y\Vert }^q\end{array}$

由上可知映射 $I-{\rho }_i{A}_i$ 对于所有的 $i=1,2,\cdots ,l$ 都是非扩张映射，其次结合注2.1，显然可知映射 $T_{{\rho }_i}^{\left(A_i,M_i\right)}=J_{{\rho }_i}^{M_i}\left(I-{\rho }_i{A}_i\right)$ 对于所有的 $i=1,2,\cdots ,l$ 都是非扩张映射。

第二步，我们需证明序列 $\left\{x_n\right\}$ 是有界序列。

首先，设 $p\in \varphi$ 即 $p\in F\left(Q\right)$，可得到

$p=T_{{\rho }_1}^{\left(A_1,M_1\right)}\circ T_{{\rho }_2}^{\left(A_2,M_2\right)}\circ \cdots \circ T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}p$

因为 $y_n=T_{{\rho }_1}^{\left(A_1,M_1\right)}\circ T_{{\rho }_2}^{\left(A_2,M_2\right)}\circ \cdots \circ T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}{x}_n$，代入可得

$\begin{array}{c}\Vert y_n-p\Vert =\Vert T_{{\rho }_1}^{\left(A_1,M_1\right)}\circ T_{{\rho }_2}^{\left(A_2,M_2\right)}\circ \cdots \circ T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}{x}_n-T_{{\rho }_1}^{\left(A_1,M_1\right)}\circ T_{{\rho }_2}^{\left(A_2,M_2\right)}\circ \cdots \circ T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}p\Vert \\ \le \Vert T_{{\rho }_2}^{\left(A_2,M_2\right)}\circ \cdots \circ T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}{x}_n-T_{{\rho }_2}^{\left(A_2,M_2\right)}\circ \cdots \circ T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}p\Vert \\ \le \cdots \le \Vert T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}{x}_n-T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}p\Vert \le \Vert x_n-p\Vert \end{array}$ (3.2)

设 $z_n=vS{x}_n+\left(1-v\right)y_n$，根据引理2.8可知S是一个非扩张映射， $p\in F\left(T\right)\cap F\left(S\right)$，从式子(3.2)，可得

$\begin{array}{c}\Vert z_n-p\Vert =\Vert vS{x}_n+\left(1-v\right)y_n-p\Vert \\ =\Vert v\left(S{x}_n-Sp\right)+\left(1-v\right)\left(y_n-p\right)\Vert \\ \le v\Vert S{x}_n-Sp\Vert +\left(1-v\right)\Vert y_n-p\Vert \\ \le v\Vert x_n-p\Vert +\left(1-v\right)\Vert x_n-p\Vert \\ =\Vert x_n-p\Vert \end{array}$ (3.3)

根据式子(3.1)和(3.3)，可知

$\begin{array}{c}\Vert x_{n+1}-p\Vert =\Vert {\alpha }_{n}u+{\beta }_n{x}_n+\left(1-{\alpha }_n-{\beta }_n\right)\left(vS{x}_n+\left(1-v\right)y_n\right)-p\Vert \\ \le {\alpha }_n\Vert u-p\Vert +{\beta }_n\Vert x_n-p\Vert +\left(1-{\alpha }_n-{\beta }_n\right)\Vert z_n-p\Vert \\ \le \max \left\{\Vert u-p\Vert ,\Vert x_1-p\Vert \right\}\end{array}$

由此可得，序列 $\left\{x_n\right\}$ 是一个有界序列，同理可以证明 $\left\{y_n\right\}$， $\left\{z_n\right\}$ 都是有界序列

第三步，我们证明 ${\lim }_{n\to \infty }\Vert x_{n+1}-x_n\Vert =0$

事实上，由第一步我们已知映射 $T_{{\rho }_i}^{\left(A_i,M_i\right)}=J_{{\rho }_i}^{M_i}\left(I-{\rho }_i{A}_i\right)$ 对所有的 $i=1,2,\cdots ,l$ 都是非扩张的，根据式子(3.1)，进一步可以可得

$\begin{array}{c}\Vert y_{n+1}-y_n\Vert =\Vert T_{{\rho }_1}^{\left(A_1,M_1\right)}\circ T_{{\rho }_2}^{\left(A_2,M_2\right)}\circ \cdots \circ T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}{x}_{n+1}-T_{{\rho }_1}^{\left(A_1,M_1\right)}\circ T_{{\rho }_2}^{\left(A_2,M_2\right)}\circ \cdots \circ T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}{x}_n\Vert \\ \le \Vert T_{{\rho }_2}^{\left(A_2,M_2\right)}\circ \cdots \circ T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}{x}_{n+1}-T_{{\rho }_2}^{\left(A_2,M_2\right)}\circ \cdots \circ T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}{x}_n\Vert \\ \le \cdots \le \Vert T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}{x}_{n+1}-T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}{x}_n\Vert \le \Vert x_{n+1}-x_n\Vert \end{array}$ (3.4)

运用(3.4)同样的处理方法，可得

$\begin{array}{c}\Vert z_{n+1}-z_n\Vert =\Vert vS{x}_{n+1}+\left(1-v\right)y_{n+1}-vS{x}_n+\left(1-v\right)y_n\Vert \\ \le v\Vert S{x}_{n+1}-S{x}_n\Vert +\left(1-v\right)\Vert y_{n+1}-y_n\Vert \\ \le v\Vert x_{n+1}-x_n\Vert +\left(1-v\right)\Vert x_{n+1}-x_n\Vert \\ =\Vert x_{n+1}-x_n\Vert \end{array}$ (3.5)

因为 $x_{n+1}={\alpha }_{n}u+{\beta }_n{x}_n+\left(1-{\alpha }_n-{\beta }_n\right)\left(vS{x}_n+\left(1-v\right)y_n\right)$，可得

$x_{n+1}=\left(1-{\beta }_n\right)w_n+{\beta }_n{x}_n$ (3.6)

此时这里的 $w_n=\frac{{\alpha }_{n}u+\left(1-{\alpha }_n-{\beta }_n\right)z_n}{1-{\beta }_n}$，结合(3.5)的结果，可知

$\begin{array}{c}\Vert w_{n+1}-w_n\Vert =\Vert \frac{{\alpha }_{n+1}u+\left(1-{\alpha }_{n+1}-{\beta }_{n+1}\right)z_{n+1}}{1-{\beta }_{n+1}}-\frac{{\alpha }_{n}u+\left(1-{\alpha }_n-{\beta }_n\right)z_n}{1-{\beta }_n}\Vert \\ =\Vert \frac{{\alpha }_{n+1}}{1-{\beta }_{n+1}}\left(u-z_{n+1}\right)-\frac{{\alpha }_n}{1-{\beta }_n}\left(u-z_n\right)+z_{n+1}-z_n\Vert \\ \le \frac{{\alpha }_{n+1}}{1-{\beta }_{n+1}}\Vert u-z_{n+1}\Vert +\frac{{\alpha }_n}{1-{\beta }_n}\Vert u-z_n\Vert +\Vert z_{n+1}-z_n\Vert \\ \le \frac{{\alpha }_{n+1}}{1-{\beta }_{n+1}}\Vert u-z_{n+1}\Vert +\frac{{\alpha }_n}{1-{\beta }_n}\Vert u-z_n\Vert +\Vert x_{n+1}-x_n\Vert \end{array}$

综上可以得到下面的不等式关系：

$\Vert w_{n+1}-w_n\Vert -\Vert x_{n+1}-x_n\Vert \le \frac{{\alpha }_{n+1}}{1-{\beta }_{n+1}}\Vert u-z_{n+1}\Vert +\frac{{\alpha }_n}{1-{\beta }_n}\Vert u-z_n\Vert$

根据条件(1)，条件(2)的假设和第二步得到的结果，可知：

$\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\left(\Vert w_{n+1}-w_n\Vert -\Vert x_{n+1}-x_n\Vert \right)\le 0$

根据引理2.7，可以得出

$\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert w_n-x_n\Vert =0$ (3.7)

从 $w_n$ 的定义(3.6)出发，可得

$\Vert x_{n+1}-x_n\Vert =\left(1-{\beta }_n\right)\Vert w_n-x_n\Vert$ (3.8)

结合条件(1)的假设，最后得出如下结论：

$\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert x_{n+1}-x_n\Vert =0$ (3.9)

至此，我们完成了 ${\lim }_{n\to \infty }\Vert x_{n+1}-x_n\Vert =0$ 的完整的证明过程。

第四步我们需证明 $\lim {\sup }_{n\to \infty }\langle u-u_1^{*},J\left(x_n-u_1^{*}\right)\rangle \le 0$，此时这里的 $u_1^{*}\in p_{\varphi }$， $p_{\varphi }$ 是一个E到 $\varphi$ 的阳光非扩张收缩。

首先，根据式子(3.1)，可得

$x_{n+1}-x_n={\alpha }_{n}u+{\beta }_n{x}_n+\left(1-{\alpha }_n-{\beta }_n\right)z_n-x_n={\alpha }_n\left(u-z_n\right)+\left(1-{\beta }_n\right)\left(z_n-x_n\right)$

由上式，不难得出

$\Vert z_n-x_n\Vert \le \frac{\Vert x_{n+1}-x_n\Vert +{\alpha }_n\Vert u-z_n\Vert }{1-{\beta }_n}$

根据条件(1)，(2)和式子(3.9)，可以得到

$\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert z_n-x_n\Vert =0$ (3.10)

紧接着，定义如下一个映射W：

$Wx=vSx+\left(1-v\right)T_{{\rho }_1}^{\left(A_1,M_1\right)}\circ T_{{\rho }_2}^{\left(A_2,M_2\right)}\circ \cdots \circ T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}x,\forall x\in E$ (3.11)

再根据引理2.8，可以知晓映射W是一个非扩张映射，并且

$F\left(W\right)=F\left(S\right)\cap F\left(T_{{\rho }_{\text{1}}}^{\left(A_1,M_1\right)}\circ T_{{\rho }_{\text{2}}}^{\left(A_2,M_2\right)}\circ \cdots \circ T_{{\rho }_{\text{l}}}^{\left(A_l,M_l\right)}\right)$

由式子(3.11)，可得

$W{x}_n-x_n=z_n-x_n$

结合上面式子和式子(3.7)，可知

$\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert W{x}_n-x_n\Vert =0$ (3.12)

设 $z_t$ 是 $z\mapsto tu+\left(1-t\right)Wz$ 的一个不动点，这里 $t\in \left(0,1\right)$，换言之即 $z_t=tu+\left(1-t\right)W{z}_t$，由此我们得到下面式子

$\Vert z_t-x_n\Vert =\Vert \left(1-t\right)\left(W{z}_t-x_n\right)+t\left(u-x_n\right)\Vert$

由此，一方面我们得到

$\begin{array}{c}{\Vert z_t-x_n\Vert }^q={\Vert \left(1-t\right)\left(W{z}_t-x_n\right)+t\left(u-x_n\right)\Vert }^q\\ \le {\left(1-t\right)}^q{\Vert W{z}_t-x_n\Vert }^q+qt\langle u-x_n,j_q\left(z_t-x_n\right)\rangle \\ ={\left(1-t\right)}^q{\Vert W{z}_t-x_n\Vert }^q+qt\langle u-z_t,j_q\left(z_t-x_n\right)\rangle +qt\langle z_t-x_n,j_q\left(z_t-x_n\right)\rangle \\ \le {\left(1-t\right)}^q\left({\Vert W{z}_t-W{x}_n\Vert }^q+{\Vert W{x}_n-x_n\Vert }^q\right)+qt{\Vert z_t-x_n\Vert }^q+qt\langle u-z_t,j_q\left(z_t-x_n\right)\rangle \\ \le {\left(1-t\right)}^q\left({\Vert z_t-x_n\Vert }^q+{\Vert W{x}_n-x_n\Vert }^q\right)+qt\langle u-z_t,j_q\left(z_t-x_n\right)\rangle +qt{\Vert z_t-x_n\Vert }^q\end{array}$

经过化简上式，可以得到

$\langle z_t-u,J\left(z_t-x_n\right)\rangle \le \frac{{\left(1-t\right)}^q}{qt}\left({\Vert z_t-x_n\Vert }^2+{\Vert W{x}_{n-x_n}\Vert }^q\right)+\frac{qt-1}{qt}{\Vert {\Vert z_t-x_n\Vert }^2\Vert }^q$

利用式子(3.12)的结果，可以得出

$\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\langle z_t-u,j_q\left(z_t-x_n\right)\rangle \le \frac{{\left(1-t\right)}^q}{qt}{M}^q+\frac{qt-1}{qt}{M}^q=\left(\frac{{\left(1-t\right)}^q}{qt}+\frac{qt-1}{qt}\right)M^q$ (3.13)

其中 $M=\lim {\sup }_{n\to \infty }\Vert z_t-x_n\Vert$， $t\in \left(0,1\right)$ 不难看出当 $t\to 0$ 的时候， $\frac{{\left(1-t\right)}^q}{qt}+\frac{qt-1}{qt}\to 0$，进一步可得：

$\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\langle z_t-u,j_q\left(z_t-x_n\right)\rangle \le 0$

对于任意的 $\epsilon >0$ 都存在一个正数 ${\delta }_1>0$，并且 $t\in \left(0,{\delta }_1\right)$ 使得

$\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\langle z_t-u,j_q\left(z_t-x_n\right)\rangle \le \frac{\epsilon }{2}$ (3.14)

另一方面，我们可以已知的是 $p_{F\left(W\right)}u={\lim }_{t\to 0}{z}_t$ 和 $F\left(W\right)=\varphi$，由此可得 ${\lim }_{t\to 0}{z}_t=u_1^{*}=p_{\varphi }$，即存在一个正数 ${\delta }_2>0$ 并且 $t\in \left(0,{\delta }_2\right)$ 使得：

$\begin{array}{l}\left|\langle u-u_1^{*},j_q\left(x_n-u_1^{*}\right)\rangle -\langle z_t-u,j_q(z_t-x_n)\rangle \right|\\ \le \left|\langle u-u_1^{*},j_q\left(x_n-u_1^{*}\right)\rangle -\langle u-u_1^{*},j_q\left(x_n-z_t\right)\rangle \right|\\ +\left|\langle u-u_1^{*},j_q\left(x_n-z_t\right)\rangle -\langle z_t-u,j_q\left(z_t-x_n\right)\rangle \right|\\ =\left|\langle u-u_1^{*},j_q\left(x_n-u_1^{*}\right)-j_q\left(x_n-z_t\right)\rangle \right|+\left|\langle z_t-u_1^{*},j_q\left(x_n-z_t\right)\rangle \right|\\ \le \Vert u-u_1^{*}\Vert \Vert j_q\left(x_n-u_1^{*}\right)-j_q\left(x_n-z_t\right)\Vert +\Vert z_t-u_1^{*}\Vert \Vert j_q\left(x_n-z_t\right)\Vert \le \frac{\epsilon }{2}\end{array}$ (3.15)

结合式子(3.15)，选择 $\delta \in \left({\delta }_1,{\delta }_2\right)$ 从而对于任给的 $t\in \left(0,\delta \right)$ 有

$\langle u-u_1^{*},j_q\left(x_n-u_1^{*}\right)\rangle \le \langle z_t-u,j_q\left(z_t-x_n\right)\rangle +\frac{\epsilon }{2}$

从上面这个式子可得

$\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\langle u-u_1^{*},j_q\left(x_n-u_1^{*}\right)\rangle \le \underset{n\to \infty }{\lim \sup }\langle z_t-u,j_q\left(z_t-x_n\right)\rangle +\frac{\epsilon }{2}$

最后结合(3.14)，可知

$\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\langle u-u_1^{*},j_q\left(x_n-u_1^{*}\right)\rangle \le 0$ (3.16)

第五步，最后一步我们需要证明 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=u_1^{*}$，实际上从式子(2.1)，式子(3.3)和引理(2.12)可得：

$\begin{array}{c}{\Vert x_{n+1}-u_1^{*}\Vert }^q=\langle x_{n+1}-u_1^{*},j_q\left(x_{n+1}-u_1^{*}\right)\rangle \\ =\langle {\alpha }_{n}u+{\beta }_n{x}_n+\left(1-{\alpha }_n-{\beta }_n\right)z_n-u_1^{*},j_q\left(x_{n+1}-u_1^{*}\right)\rangle \\ ={\alpha }_n\langle u-u_1^{*},j_q\left(x_{n+1}-u_1^{*}\right)\rangle +{\beta }_n\langle x_n-u_1^{*},j_q\left(x_{n+1}-u_1^{*}\right)\rangle \\ +\left(1-{\alpha }_n-{\beta }_n\right)\langle z_n-u_1^{*},j_q\left(x_{n+1}-u_1^{*}\right)\rangle \end{array}$

$\begin{array}{l}\le {\alpha }_n\langle u-u_1^{*},j_q\left(x_{n+1}-u_1^{*}\right)\rangle +{\beta }_n\Vert x_n-u_1^{*}\Vert \Vert j_q\left(x_{n+1}-u_1^{*}\right)\Vert \\ +\left(1-{\alpha }_n-{\beta }_n\right)\Vert z_n-u_1^{*}\Vert \Vert j_q\left(x_{n+1}-u_1^{*}\right)\Vert \\ \le {\alpha }_n\langle u-u_1^{*},j_q\left(x_{n+1}-u_1^{*}\right)\rangle +{\beta }_n\Vert x_n-u_1^{*}\Vert {\Vert x_{n+1}-u_1^{*}\Vert }^{q-1}\\ +\left(1-{\alpha }_n-{\beta }_n\right)\Vert z_n-u_1^{*}\Vert {\Vert x_{n+1}-u_1^{*}\Vert }^{q-1}\end{array}$

$\begin{array}{l}={\alpha }_n\langle u-u_1^{*},j_q\left(x_{n+1}-u_1^{*}\right)\rangle +\left(1-{\alpha }_n\right)\Vert x_n-u_1^{*}\Vert {\Vert x_{n+1}-u_1^{*}\Vert }^{q-1}\\ \le {\alpha }_n\langle u-u_1^{*},j_q\left(x_{n+1}-u_1^{*}\right)\rangle +\left(1-{\alpha }_n\right)\left(\frac{1}{q}{\Vert x_n-u_1^{*}\Vert }^q+\frac{q-1}{q}{\left({\Vert x_{n+1}-u_1^{*}\Vert }^{q-1}\right)}^{\frac{q}{q-1}}\right)\\ ={\alpha }_n\langle u-u_1^{*},j_q\left(x_{n+1}-u_1^{*}\right)\rangle +\left(1-{\alpha }_n\right)\left(\frac{1}{q}{\Vert x_n-u_1^{*}\Vert }^q+\frac{q-1}{q}{\Vert x_{n+1}-u_1^{*}\Vert }^q\right)\\ \le {\alpha }_n\langle u-u_1^{*},j_q\left(x_{n+1}-u_1^{*}\right)\rangle +\left(1-{\alpha }_n\right)\frac{1}{q}{\Vert x_n-u_1^{*}\Vert }^q+\frac{q-1}{q}{\Vert x_{n+1}-u_1^{*}\Vert }^q\end{array}$

由上述式子可知

$\Vert x_{n+1}-u_1^{*}\Vert \le \left(1-{\alpha }_n\right)\Vert x_n-u_1^{*}\Vert +q{\alpha }_n\langle u-u_1^{*},j_q\left(x_{n+1}-u_1^{*}\right)\rangle$

因此，结合条件(1)，式子(3.16)和引理2.11，可以得出

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=u_1^{*}$

这里 $F_{\varphi }$ 是 $E\to F_{\varphi }$ 的阳光非扩张映射，并且 $\left(u_1^{*},u_2^{*},\cdots ,u_l^{*}\right)\in E^l$，其中

$\{\begin{array}{l}{u}_1^{*}=T_{{\rho }_1}^{\left(A_1,M_1\right)}{u}_2^{*},\\ u_2^{*}=T_{{\rho }_2}^{\left(A_2,M_2\right)}{u}_3^{*},\\ ⋮\\ u_{l-1}^{*}=T_{{\rho }_{l-1}}^{\left(A_{l-1},M_{l-1}\right)}{u}_{l-1}^{*},\\ u_l^{*}=T_{{\rho }_l}^{\left(A_l,M_l\right)}{u}_1^{*}\end{array}$

是问题(1.4)的解。综上所述，定理3.1得以完全证明。

致谢

作者对审稿人提出的宝贵意见表示衷心的感谢。