1. 引言
近年来,量子纠错码的研究进展迅速。量子误差校正是实现量子计算和量子通信的重要保证。设q为一个素数的m次幂,
为含有q个元素的有限域。一个长度为n,维数为K的量子码是
维希尔伯特空间的一个K维子空间。同时我们把一个长度为n,维数为K,极小距离为d的q元量子码记为
。一个长度为n,维数为
,极小距离为d的量子码的q元量子码则记为
。
近年来,针对量子MDS码的构造进行了大量的研究工作,并构建了很多类新的量子MDS码(参考 [1] - [7] )。在本文中,假设
是对
的一个素数分解,我们通过GRS码构造了4类新的量子MDS码。与 [7] [8] 相比,上述量子MDS编码的长度更灵活,同时通过L1-forms和L2-forms我们也可以找到一个较大的极小距离。
在第二节中,我们简要回顾了厄米特自正交性和GRS码的定义及基本结论。在第三节中,我们从GRS码出发,利用有限域等工具,构造了一些新的量子MDS码。在最后一部分,我们对本文的结论进行了总结。
2. 预备知识
在本节中,我们将介绍一些关于线性码和GRS (Generalized Reed-Solomon)码的一些符号和结论。
2.1. 基本符号
假设
,其中p是一个素数,m是一个正整数,Fq为含有q个元素的有限域,
。
对于任意两个向量
,
,它们的欧几里得内积和厄米特内积被分别定义为:
,
假设C是
中一个长度为n的线性码,则C的厄米特对偶码定义为:
如果C满足
,则C被称为厄米特自正交码。若C的参数为
,则当
时,我们称C为MDS码(maximum distance separable code)。
假设
是
中n个不同的元素,
是
中n个非零元素,则关于向量
和
的GRS码定义为
。
我们知道
是一个参数为
的MDS码。
2.2. 基本引理和推论
引理2.2.1 [9]. 假设
,
,这里
是
中n个不同的元素,则
当且仅当
对于任意的
。
我们定义
为元素全为0的一维行向量,对于元素在
中的矩阵
,定义
为矩阵
,
我们记为1。
引理2.2.2 [3] [10].假设
,A为元素在
中的
阶矩阵并且满足以下两个条件:
(1) A的任意r列线性无关。
(2)
与A行等价。
则方程组
存在一个解
。
推论2.2.3. 假设
,
和
。A为元素在
中的
阶矩阵并且满足以下两个条件:
(1) A的任意r列线性无关。
(2)
与A行等价。
则方程组
存在一个解
证明:我们对a应用数学归纳法。
(1) 当
时,由引理2.2.2,结论成立。
(2) 假设结论在
时成立,其中
是一个正整数。
(3) 当
时,假设
(
)为由矩阵A删除第一列(最后一列)获得的
阶矩阵。根据(2)的假设,
和
对于结论成立,因此方程组
,
分别存在一个非零解
和
。由于
,我们可以选出一个元素
取
,则
,我们有
故结论成立。
引理2.2.4 [1]. 如果存在一个元素在
上的
线性码C且
,则存在一个参数为
的量子码。
引理2.2.5 [8]. 如果存在一个厄米特自正交的
MDS码,则存在一个参数为
的量子码。
假设
,
,定义他们的张量积:
。
可以看出
。
假设
,其中
为
的一个本原元。设
是对
的一个素数分解,再者,我们可以假设
,
,
,
和
,
,
,
,
对于
。很容易可以看出
,
假设
对于
,则
,我们可以得出
对任意的
因此
是
个子群的直积。
设
,则
,设
以及
。
则有
对任意的
。
3. 主要结果
记
,在这一节,我们利用厄米特自正交的GRS码来构造新的长度
为
的量子MDS码。在此之前,我们先给出以下几个引理。
引理3.1 [3]. 设
和
,则存在
使得
根据引理3.1,我们有如下推论。
推论3.2. 设
和
,
,则存在
使得
证明:我们分两种情况来证明此推论。
(1)
。任取
及
则有
。
(2)
。由引理3.1,则存在
使得
,取
,我们有
故结论成立。
3.1. 当
时
对于一个向量
和
,我们定义
。
当
的时候,
,
,对于
令
.
引理3.1.1. 假设
。则存在
使得
对所有
。
证明:我们分两步来证明这个引理。
第一步:我们先证明
对所有
。
对于
,通过对
和
的选择,向量a里面的元素各不相同,同时令
,
以及
,
这里
。
由于
,我们有
我们考虑一下两种情况:
(1) 存在
使得
,或者存在
使得
,或者存在
使得
。我们有
。因此
。
(2) 当对于任意的
,
,对于任意的
,
,对于任意的
,
时,由于
对于
和
,我们可以得到
,
,
。考虑
时的情况,有
所以存在整数
和
使得
。考虑一下两种情况。
(2.1)
为奇数时。
由于
为奇数,故
,则存在
使得
,故有
和
。
同时,我们可以得到
。即要去找出
使得
记
,则
,由于
,我们有
。
令
,
.
考虑
次线性方程组
(1)
由于
,则意味着
。由引理2.2知,方程组
存在一个解
和
,取
使得
对于
,令
,
则有
,即
。
(2.1)
为偶数时。
由于
为偶数,故
,我们可以得到
。记
,则
,由于
,我们有
。
令
。
由推论2.3,我们同样可以得出方程组
(2)
存在一个解
和
,与(2.1)类似,我们也可以得到向量
使得
,即
。
故由上述讨论可得
对所有
。
第二步:令
。
对所有
,当
时,有
。
当
时,有
。
对于
的情况,由第一步知,存在
,
使得
,则有
。
由推论3.2,存在
使得
。
则存在
,
使得
,
。令
,对于
,取
则有
。最后,令
。
有
对所有
。
基于引理2.4,我们可以得出如下定理。
定理3.1.2.设
,则存在参数为
的量子MDS码,其中
,
,
。
由于
,但通过下列例子可以得出极小可以再次扩大,以至于大于
。
例3.1.3.当
时,
,令
,则
其中
,
和
。取
,则
。考虑方程
,注意到此时
,
而当
时,由于,
,方程与
时同解,然而只有当
且
时,
才会出现在方程中,通过计算,方程中
第一次出现数依次为:0,32,2,34,4,36,6,38,8,40,10,42,12,13,…,29,30。这里面最大为42,故当
时,
。因此极小距离d可以达到42,大于17。
通过上述例子,我们可以找出有定理3.1.2给出的量子MDS码使其极小距离
。由于
,当
及
时,
。所以只需要去检查方程
对于
或者
,
,
,
,然后利用中国剩余定理去计算
第一次出现在方程中的数。我们称数
为L1-forms。
引理3.1.4. 假设
。则存在
使得
对所有
。
证明:我们仍然分两步来证明这个引理。
第一步:我们先证明
对所有
。
对于
,通过对
和
的选择,向量a里面的元素各不相同,同时令
,
以及
,
这里
。
由于
,我们有
我们考虑一下两种情况:
(1) 存在
使得
,或者存在
使得
,或者存在
使得
。我们有
。因此
。
(2) 当对于任意的
,
,对于任意的
,
,对于任意的
,
时,由于
对于
和
,我们可以得到
,
,
。考虑
时的情况,有
所以存在整数
和
使得
。
由于
为偶数,故
,我们可以得到
。故
。
记
,则
,由于
,我们有
。令
,故
。即要去找出
使得
对每个
。令
,
考虑方程组
(3)
对矩阵B中的任意一个元素
,对于
,我们有
已知
也是矩阵B中的一个元素,故
与B行等价。由推论2.3,方程组(3)存在一个解
和
,与引理3.1.1中的(2.1)类似,我们也可以得到向量
使得
,即
。
故由上述讨论可得
对所有
。
第二步:与引理3.1.1中第二步类似,令
,我们可以找到
,
和
。
使得
对所有
。
定理3.1.5.设
,则存在参数为
的量子MDS码,其中
,
,
。
同样的,我们可以找出有定理3.1.5给出的量子MDS码使其极小距离
。由于
,
,当
时,
。所以只需要去检查方程
对于
或者
,
,
,
,然后利用中国剩余定理去计算
第一次出现在方程中的数。我们称数
为L2-forms。
例3.1.6.当
时,
,令
,则
其中
,
和
。取
,则
。注意到此时的L2-forms为
,当
时,
或者
,则d可以达到11,大于8。
3.2.
为一个奇数时
引理3.2.1. 设
为一个奇数,我们有
(1) 若
。则存在
使得
对任意的
。
(2) 若
,
,则存在
使得
对任意的
。
证明:(1)第一种情况的证明与引理3.1.1的证明类似。
(3) 对于
,我们有
同样的,我们考虑如下两种情况。
(2.1)存在
使得
,或者存在
使得
,或者存在
使得
。我们有
。因此
。
(2.2)当对于任意的
,
,对于任意的
,
,对于任意的
,
时,由于
,则
,
,我们可以得到
,
,
。由于
,
,假设
,则
,由于
,则
,
,有
。
即要去找出
使得
对每个
,这个方程组共包含
个等式。余下的证明跟引理3.1.1类似。
定理3.2.2. 设
为一个奇数,若有
(1) 若
,
。或者
(2) 若
,
,
。
则存在参数为
的量子MDS码。
由例子3.1.3下面的讨论,我们同样可以根据l1-forms去找出那些极小距离大于
的量子MDS码。
与引理3.2.1类似,我们可以得到如下引理。
引理3.2.3. 设
为一个奇数,我们有
(1) 若
。则存在
使得
对任意的
。
(2) 若
,
,则存在
使得
对任意的
定理3.2.4.设
为一个奇数,若有
(1) 若
,
。或者
(2) 若
,
,
。
则存在参数为
的量子MDS码。
同样的,我们可以根据l2-forms去找出那些极小距离大于
的量子MDS码。
4. 总结
在文章中,我们利用厄米特自正交的GRS码,并通过有限域等工具构造了四类新的量子MDS码,它们的码长都可以表示为
的形式,在表1中,我们对第三部分构造的量子码作了一个总结。表中
,
,
,
,
,
,
,
。