可信性测度下基于均值–方差–VaR–偏度–正弦熵的模糊投资组合分析

Fuzzy Portfolio Analysis Based on Mean-Variance-VaR-Skewness-Sine Entropy under Credibility Measure

摘要: 本文在可信性理论的基础上，将资产收益率视为模糊变量，建立了均值–方差–VaR–偏度–正弦熵的多目标模糊投资组合模型，利用遗传算法求解最优投资策略。研究表明：模糊VaR的引入及新模型的构建，有助于更好地刻画资产收益率的风险特征，从而发现更优的投资组合策略。

Abstract: In this paper, a new fuzzy multi-objective mean-variance-VaR-skewness-sine entropy portfolio model is proposed by assuming the rate of return on the risky asset is a fuzzy variable, based on the credibility theory. In order to solve the proposed model, we design a genetic algorithm. Then, nu-merical examples show that the extension of the model and the introduction of fuzzy VaR are help-ful to characterize the risk characteristics of asset returns and make a contribution to the invest-ment portfolio strategies.

1. 引言

现代投资组合理论的研究核心问题是投资者如何在不确定的环境下将资产进行合理有效的配置。自1952年Markowitz [1] 提出均值–方差投资组合模型以来，投资组合理论作为一种有效的资产配置工具得到广泛关注。投资者所面临的市场是复杂多变的，不仅具有随机不确定性，还具有模糊不确定性。传统的投资组合研究大多数是建立在随机不确定环境上，近年来随着对金融市场的不确定性深入研究，模糊不确定性得到越来越多的关注。

Zadeh (1965) [2] 首先提出了模糊集合理论，Tanaka (2000) [3] 提出上下可能性分布，在此基础上提出可能性均值、可能性方差和可能性协方差(Carlsson和Fuller (2001) [4]，Zhang和Nie (2003) [5]，Zhang和Nie (2004) [6] )，并基于模糊可能性理论研究构建投资组合问题(Wang和Zhu (2002) [7]，Zhang和Wang等(2007) [8]，Tsaur (2013) [9]，Zhang (2013) [10] )。

可能性测度可以刻画模糊不确定环境下投资组合的收益和风险，但是它不满足自对偶性。为了改善这个缺陷，Liu (2002) [11] 在模糊事件的可能性测度和必要性测度基础上，定义了满足自对偶性的可信性测度，并给出了基于可信性测度的模糊变量的均值和方差等相关定义。Huang (2008) [12] 在可信性测度的基础上提出了均值–半方差模糊投资组合模型和带模糊参数的均值–方差–偏度投资组合模型。Huang (2008) [13] 在可信性测度的基础上定义了熵，以熵代替方差作为风险度量，建立了均值–熵模糊投资组合模型。王灿杰和邓雪(2019) [14] 在可信性理论基础上建立了带融资约束条件的均值–熵–偏度三目标模糊投资组合模型，通过对约束条件处理方法，外部档案维护方法等关键算子的改良，提出了一种新的约束多目标粒子群算法，并利用该算法求解模糊投资组合模型。蔡小龙等(2017) [15] 引入可信性理论和偏度约束，建立了模糊情况下的均值–方差–偏度–正弦熵多目标投资组合优化模型，以及含有收益及风险系数的单目标投资组合优化模型，利用遗传算法优化投资策略。这里方差衡量资产实际收益率与期望收益率的偏离程度，偏度衡量资产之间尾部风险特征，正弦熵衡量变量之间不确定性程度，但是没有刻画投资者可能遭受的最大损失的风险度量。而Wang等(2009) [16] 提出的模糊VaR，可以计算投资者给定置信水平下的最大损失，从而有助于对投资风险进行更好地评估。Wang等(2011) [17] 构建了均值–VaR模糊投资组合模型，利用改进粒子群算法进行优化；Wang等(2013) [18] 研究了均值–方差–VaR的多目标模糊投资组合。

本文从可信性角度出发，基于Wang等(2009 [16], 2011 [17] )和蔡小龙等(2017) [15] 的研究，以均值来刻画收益，用方差、VaR、偏度和正弦熵等来度量风险，构建新的多目标模糊投资组合模型并进行实证分析，并进行多角度对比分析。

2. 模糊风险测度

2.1. 模糊集及模糊变量

(1) 模糊集(Zadeh (1956) [2] )：通过隶属度函数的方式提出了模糊集的概念。

设 $\tilde{A}$ 是论域X到 $\left[0,1\right]$ 的一个映射，则称 $\tilde{A}$ 是X上的模糊集， $\tilde{A}$ 的隶属度函数 ${\mu }_{\tilde{A}}\left(x\right)$ 定义为

$\tilde{A}:X\mapsto \left[0,1\right],x\mapsto {\mu }_{\tilde{A}}(\; x\; )$

(2) 模糊变量(Liu (2002) [11] )：模糊变量是一个从可信性空间 $\left(\Theta ,\mathcal{P},Cr\right)$ 到实数集 $\mathcal{R}$ 的函数。

在某些特殊情况下，模糊变量有三角模糊数、梯形模糊数、高斯模糊数等。为了计算方便，本文选取三角模糊数。

三角模糊数：设模糊集 $\tilde{A}:X\mapsto ℝ$，若其隶属度函数 ${\mu }_{\tilde{A}}\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\frac{t-a}{b-a},a\le t\le b\\ \frac{t-c}{b-c},b\le t\le c\\ 0,其他\end{array}$，则称 $\tilde{A}$ 为三角模糊

数，用记号 $\tilde{A}=\left(a,b,c\right)$ 来表示，a为收益率中值，b和c分别为相对于收益率中值的左右宽度，三角模糊数的中值与最小值的距离为左宽度，最大值与中值的距离为右宽度。

2.2. 模糊变量的数字特征

设 $\xi$ 为一个模糊变量， $\mu$ 作为其隶属函数，而u是一个实数，则 $\left\{\xi \le u\right\}$ 的可能性、必要性和可信性的测度可以定义如下(Liu (2002) [11] )：

$Pos\left\{\xi \le u\right\}={\sup }_{x\le u}\mu \left(x\right)$，

$Nec\left\{\xi \le u\right\}=1-{\sup }_{x>u}\mu \left(x\right)$，

$Cr\left\{\xi \le u\right\}=\frac{1}{2}\left(pos\left\{\xi \le u\right\}+Nec\left\{\xi \le u\right\}\right)$。

在以上的三个公式中， $Pos\left\{\xi \le u\right\}$ 和 $Nec\left\{\xi \le u\right\}$ 为一对对偶模糊测度， $Cr\left\{\xi \le u\right\}$ 为自对偶，即

$Cr\left\{\xi \le u\right\}+Cr\left\{\xi >u\right\}=1$。

设 $\xi$ 为一个模糊变量，并存在有限期望，根据Liu (2004)，其期望、方差、偏度、正弦熵可分别定义为：

$E\left[\xi \right]={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }Cr\left\{\xi \ge r\right\}\text{d}r}-{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{0}Cr\left\{\xi \le r\right\}\text{d}r}$，

期望存在的条件是两个积分中至少有一个是有限的。

$V\left[\xi \right]=E\left[{\left(\xi -E\left[\xi \right]\right)}^2\right]={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }Cr\left\{{\left(\xi -E\left[\xi \right]\right)}^2\ge r\right\}\text{d}r}$，

$S\left[\xi \right]=E\left[{\left(\xi -E\left[\xi \right]\right)}^3\right]={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }Cr\left\{{\left(\xi -E\left[\xi \right]\right)}^3\ge r\right\}\text{d}r}$，

$SE\left[\xi \right]={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\sin \left(\pi \varphi \left(x\right)\right)\text{d}x}$，

其中 $\varphi \left(x\right)=Cr\left\{\xi \le r\right\}$。

在模糊环境下，将某项投资的模糊损失变量设为 $\mathcal{L}$ ( $\mathcal{L}={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{w}_i}$ )，置信水平为( $1-\beta$ )的模糊VaR (Wang等(2011) [17] )可以表示为： $Va{R}_{1-\beta }=\sup \left\{\lambda |Cr\left\{\mathcal{L}\ge \lambda \right\}\ge \beta \right\}$，其中 $\beta \in \left(0,1\right)$。

特别地，当资产收益率视为三角模糊数，用 ${\xi }_i=\left(a_i,b_i,c_i\right),\left(i=1,2,3,\cdots ,n\right)$ 表示第i种证券的收益率， $w_i$ 表示投资第i种证券的权重。证券投资组合收益率 ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{w}_i}$ 的期望收益、方差、偏度、正弦熵、VaR的表达式分别为：

$E\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{w}_i}\right)={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\frac{a_i+2b_i+c_i}{4}{w}_i}$，

$V\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{w}_i}\right)={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{w}_i^2\left(\frac{33{\alpha }_i^3+21{\alpha }_i^2{\gamma }_i+11{\gamma }_i^2{\alpha }_i-{\gamma }_i^3}{384{\alpha }_i}\right)}$，

$S\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{w}_i}\right)=\frac{1}{32}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{w}_i^3}\left[{\left(c_i-a_i\right)}^2\left(c_i-2b_i+a_i\right)\right]$，

$SE\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{w}_i}\right)=\frac{2}{\pi }{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\left[w_i\left(c_i-a_i\right)\right]}$ 和

$Va{R}_{1-\beta }=\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{w}_i\left[\left(1-2\beta \right)a_i+2\beta b_i\right]},0<\beta \le 0.5\\ {\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{w}_i}\left[\left(2-2\beta \right)b_i+\left(2\beta -1\right)c_i\right],0.5<\beta \le 1\end{array}$，

其中 ${\alpha }_i=\max \left\{b_i-a_i,c_i-b_i\right\}$， ${\gamma }_i=\min \left\{b_i-a_i,c_i-b_i\right\}$。

3. 投资组合优化模型

3.1. 模型构建

本文建立基于均值–方差–VaR–偏度–正弦熵投资组合模型，如下：

$\min Va{R}_{1-\beta }$，

$\max E\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{w}_i}\right)$，

$\min V\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{w}_i}\right)$，

$\max S\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{w}_i}\right)$，

$\max SE\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{w}_i}\right)$，

$\text{s}\text{.t}\text{.}\{\begin{array}{l}0\le {\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{w}_i}\le 1\\ 0\le w_i\le 1,i=0,\cdots ,n\end{array}$。

利用线性加权方法，引入偏好参数 ${\lambda }_i$，将多目标投资组合模型转化为如下单目标优化模型：

$\min \left\{{\lambda }_{1}Va{R}_{1-\beta }+{\lambda }_2\left(-E\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{w}_i}\right)\right)+{\lambda }_{3}V\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{w}_i}\right)+{\lambda }_4\left(-S\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{w}_i}\right)\right)+{\lambda }_5\left(-SE\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{w}_i}\right)\right)\right\}$，

$\text{s}\text{.t}\text{.}\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i}=1\\ 0\le {\lambda }_i\le 1,i=1,\cdots ,n\\ 0\le {\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{w}_i}\le 1\\ 0\le w_i\le 1,i=0,\cdots ,n\end{array}$。

3.2. 模型评价

夏普比率(SR)是一种用来衡量投资组合的风险调整回报的指数。Kar等人(2019) [19] 定义了模糊夏普比率(FSR)，其表达式为

$\text{FSR}=\frac{E\left[{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{w}_i}\right]-R_0}{V\left[{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{w}_i}\right]}$，

其中 $R_0$ 是基准投资组合的收益率， $E\left[{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{w}_i}\right]$ 表示模糊收益率， $V\left[{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\xi }_i{w}_i}\right]$ 表示模糊方差。本文设 $R_0=0$。对于决策者所承担的风险，SR的较高价值提供了更好的投资组合回报。因此FSR越高，则说明投资组合效果越好。

4. 实证分析

4.1. 数据来源

选择上证50指数成分股中的10只股票作为研究样本，分别是洛阳钼业(603993)、中国平安(601318)、中国人寿(601628)、康美药业(600518)、中信证券(600030)、大秦铁路(601006)、北方稀土(600111)、南方航空(600029)、上汽集团(600104)、中国交建(601800)。数据选取的时间区间为2017-01-01至2018-06-30，

总计77周的收益数据。采用对数收益率，即证券i在第j周的周收益率 $r_{i,j}=\ln \left(\frac{p_{i,j}}{p_{i,j-1}}\right)$，其中 $p_{i,j}$ 和 $p_{i,j-1}$

分别是证券i在第j周和第 $j-1$ 周的周收盘价。数据来自于国泰安CSMAR数据库。

根据数据求得模糊收益率 ${\xi }_i=\left(a_i,b_i,c_i\right),\left(i=1,2,3,\cdots ,n\right)$ (金秀等(2017) [20] )，见表1。

Table 1. Triangular fuzzy rate of return

表1. 三角模糊收益率

4.2. 最优投资组合策略

本部分我们基于表1的数据和均值–方差–VaR–偏度–正弦熵投资组合模型，运用python中的geapty库中的遗传算法工具计算，设置不同偏好参数，求解最优投资组合，并对模型进行评价分析。为了对比模糊VaR的引入对优化策略的影响，我们主要对如下三种情况进行分析：

模型I：均值–方差–VaR–偏度–正弦熵模糊投资组合模型：以均值来刻画收益，用方差、VaR、偏度和正弦熵等来度量风险。

模型II：均值–方差–VaR–正弦熵模糊投资组合模型：以均值来刻画收益,用方差、VaR和正弦熵等来度量风险。

模型III：均值–方差–偏度–正弦熵模糊投资组合模型：以均值来刻画收益，用方差、偏度和正弦熵等来度量风险。

具体情形见表2所示：

Table 2. Model construction

表2. 模型构建

说明：对比模型I和模型II，可以发现偏度的引入对于投资组合的影响；对比模型I和模型III，可以发现模糊VaR的引入对于投资组合的影响；对比模型II和模型III，可以发现偏度和模糊VaR的引入对于投资组合的不同影响。

为了对比模糊VaR中置信水平的影响，本文分别考虑 $\beta =0.2$，0.1和0.05三种不同情况下。

Table 3. Model E-V-VaR-S-SE ( β = 0.2 ) portfolio result

表3. 模型E-V-VaR-S-SE ( $\beta =0.2$ )投资组合的结果

Table 4. Model E-V-VaR-S-SE ( β = 0.1 ) portfolio result

表4. 模型E-V-VaR-S-SE ( $\beta =0.1$ )投资组合的结果

Table 5. Model E-V-VaR-S-SE ( β = 0.05 ) portfolio result

表5. 模型E-V-VaR-S-SE ( $\beta =0.05$ )投资组合的结果

分析表3~5，我们可以得到如下结论：

在给定置信水平下以及偏好参数下，模糊偏度的引入，能够更好地对尾部风险进行控制，同时模糊夏普比率也较高(比较模型I和模型II)；模糊VaR的引入可以获得模糊夏普比率最高的投资组合，均值–方差–VaR–偏度–正弦熵的模糊投资组合模型效果较好(比较模型I和模型III)；相较于模糊偏度，包含模糊VaR的投资组合模型效果更好(比较模型II和模型III)。在相同的偏好参数下， $\beta$ 越大，夏普比率越高，从而最优投资策略更优。

5. 结论

本文考虑证券市场的模糊不确定性，将资产收益率视为模糊变量，引入模糊VaR，构建均值–方差–偏度–正弦熵的模糊投资组合模型。考虑不同偏好参数、不同置信水平下的模糊VaR，基于上证50指数成分股中10只股票，利用遗传算法进行实证分析。与已有文献相比，本文提出的模型具有更优的夏普比率表现。模糊VaR可以更好地衡量投资组合的未来风险，并且可以通过改变置信水平，从而得到投资组合的最大损失；同时使用模糊VaR与模糊偏度进行策略选择，可以更好对资产收益率的尾部风险进行控制，从而使得投资组合模型更优。