1. 引言
令f和g为两个Möbius变换,
为其生成的离散非初等群,则它满足Jørgensen不等式 [1]
Jørgensen不等式一个重要的作用是可以判断一个二元生成群是否为离散群。历年来,很多学者对其进行研究,并且得到了一系列Jørgensen不等式的推广。这些推广主要分为两类。一类是当限定
的取值范围时,探讨
的取值范围,参见 [2] 和 [3]。另一类是固定不等式中
的形式,变换
中的常数项,来得到两项之和的取值范围,参见 [2] 和 [4]。
本文将在已有结果的基础上,通过固定
的形式,变换
中a的取值,来得到几个不等式的推广。
本文的安排如下:在第2节中,我们将给出本文将用到的主要定义、记号及在证明本文主要结果中用到的经典定理。在第3节中,我们将给出本文的主要结果及证明。
2. 预备知识
令M表示扩充复平面
上的所有的Möbius变换构成的群。设Möbius变换
对应的矩阵为
并且令
,其中
表示矩阵A的迹。
设f和g为Möbius变换,令
我们称
为二元生成群
的参数,并记为
。这些参数并不依赖于
中f和g的矩阵表示的选择。当
时,由 [5] 可知
可以在共轭等价的意义下唯一确定
。
M中的元素除去单位变换外可以分为三类:
1) f是椭圆元素当且仅当
;
2) f是斜驶元素当且仅当
;
3) f是抛物元素当且仅当
。
Cao. C在 [2] 中给出了关于二元生成离散群的如下必要条件。我们将利用如下定理及迹的相关知识,得到我们的主要结果。
定理2.1 [2]:假设
是M的一个离散子群,并且
,
。若f不是二阶的椭圆元素,则
并且上述每一个不等式都是最优的。
3. 主要结果
本节我们将通过选取合适的子群,利用定理2.1及不等式求最值的方法,来得到Jørgensen不等式的推广。为了书写方便,我们记
。
定理3.1若
为M的离散子群且
,则
。
证明:因为
为离散群,所以其子群
也为离散群。根据定理2.1,我们知道若
,
且
不为二阶椭圆元素,又由
得到当
时,
从而我们得到
而当
时,上式显然成立。定理得证。
定理3.2若
为M的离散子群且
,则
。
证明:我们考虑
的子群
。由
及定理2.1,我们可得当
时,
从而我们得到
而当
时,上式显然成立。定理得证。
定理3.3若
为M的离散子群且
,则
。
证明:类似定理3.1的证明,我们考虑
的子群
,若
,
且
不为二阶椭圆元素,得到当
时,
从而我们得到
而当
时,上式显然成立。定理得证。
注:事实上,在证明上述不等式的过程中,我们对于子群和约束条件的选取是有充分考量的。为了得到理想的全局下界做了多番尝试。虽然上述不等式不一定是最优的,但是也依然提供给我们一种得到Jørgensen不等式推广的方法。
基金项目
感谢河南省高等学校重点科研项目计划(项目编号:18A110015)的支持。