1. 引言
在本文中,我们研究如下时空分数阶扩散方程中只与空间变量有关的反源问题:
(1.1)
其中
是
阶左侧Caputo分数阶导数:
是
阶空间分数阶拉普拉斯算子,其定义如下:
假定
在
中具有其次Dirichlet边界条件的特征值和特征向量为
,也就是说满足
令
。
故若
,现定义算子
为:
。
将算子
映射到
,且具有如下等式:
当源项
已知时,可以利用有限元或有限差分法等方法求解问题(1.1)的数值解。本文主要考虑空间源项
的反演,希望通过终点时刻T的观测数据
来反演空间源项
。一般情况下,观察数据带有误差,记为
,满足
, (1.2)
其中
为观测数据噪声水平。
对于方程(1.1)这类时间–空间分数阶扩散方程,其通常被应用于流变学、高分子材料学、生物物理学等领域 [1] [2],由此引起了很多学者的关注,并且对其做了大量研究,故而该方程也有重要的研究意义。对其反源问题的相关研究主要有,Wei和Li [3] 给出了该方程的正问题的解,与此同时,他们采取将边界元方法与广义Tikhonov正则化方法相结合,对随时间变化的源项进行识别。Tatar [4] [5] [6] 等人考虑了方程中时间–空间分数阶导数的阶数的识别。在本文中,我们关注空间源项
在该方程中的数值重构。采用Tikhonov正则化方法确定空间源项
。
2. 预备知识
为方便起见,我们给出如下引理:
引理1 对于任意的
,当满足
时,存在一个的正常数
,其依赖于
,使得下式成立
引理2 对于常数
,有
其中
独立于s。
3. 反问题的不适定性
记
和
为拉布拉斯算子
具有齐次Dirichlet边界条件的特征值和对应的特征向量。根据重数计算,有
,
,且
是
中的一组标准正交基。
引理3.1 [3] 假设
,(其中AC表示绝对连续)那么问题(1.1)存在唯一弱解
使得
,且有如下的表达式:
(3.1)
其中
,
为单参的Mittag-Leffler函数,定义为:
现假定公式(3.1)中,
有
(3.2)
令
和
。
现给出如下假定
,那么将(3.2)整理后可得
(3.3)
为了得到空间源项
,那么只需解决下述第一类Fredholm积分方程:
(3.4)
其中内核为
。
接下来说明反问题的不适定性。
我们首先证明积分方程(3.3)中的算子K是紧算子,观察上述内核的定义,可得
,故可知K为自适定算子,现定义算子
如下
(3.5)
根据引理1,有以下结论
(3.6)
结合(3.4)~(3.6)式有
则说明
因此,当
时,在空间
中,
也就是说,K是一个紧算子。那么线性自适定紧算子K的奇异值为
,其相关特征函数为
,
为
一组标准基。
综上所述,根据参考文献 [7],可知该方程的反项问题为不适定问题,即积分方程(3.3)式是不适定的。但是当
满足一定条件时,
是稳定的,现给出源项
的条件稳定性。
定理3.1 假定
,且满足
,与此同时
满足下述先验条件:
(3.7)
那么有下式成立
(3.8)
其中
是一个取决于
的常数。
证明 根据(3.3)式和Hölder不等式,有
(3.9)
对于
进行放缩有
(3.10)
应用引理1和(3.9)式,可得
(3.11)
结合(3.9)~(3.11)式,可得
(3.12)
证明完成。
4. 基于Tikhonov正则化方法的正则解及其收敛估计
现我们用Tikhonov正则化方法(可参见文献 [7] )去解决积分方程(3.4)式为如下形式:
(4.1)
其中
是一个正则化参数。根据上一节可知紧线性算子K,有奇异系统
,故有
(4.2)
此外,
。
因此可得正则化解为:
(4.3)
现我们采取后验正则化参数选择规则(即Morozov偏差原则),对(4.3)式中的正则化参数进行选择。基于定理3.1中的条件稳定(3.7)式,可得正则解的收敛估计。
首先,我们给出一个正交算子
。根据噪声估计(1.2)式,有
(4.4)
通过Morozov偏差原则找到
使得
(4.5)
其中
是一个常数。
根据下述引理,可知当
成立时,公式(4.5)中的
唯一存在。
引理4.1 假定
,那么下列结论成立:
1)
是一个连续函数;
2)
;
3)
;
4) 在
上,
为严格单调递增函数。
定理4.1 假定
,
,
。且先验条件(3.7)式和噪声估计(1.2)式成立,则存在一个
使得
。此外,正则化参数
通过Morozov偏差原则(4.5)式选取。那么
1) 若
,有
(4.6)
2) 若
,有
(4.7)
其中
,
是正数。
证明 通过三角不等式,有
(4.8)
首先,对上式右端的第二项进行估计
(4.9)
结合(4.4)式和(4.5)式,有
(4.10)
此外,通过应用先验条件(3.7),可得
(4.11)
通过定理3.1,有
(4.12)
现给出(4.8)式右端第一项的估计,有
(4.13)
根据(4.5)式,可得
(4.14)
应用先验边界条件(3.7),有
(4.15)
结合引理1和(3.6)式有
(4.16)
其中
,通过引理2,可得
(4.17)
将(4.15)式和(4.17)式代入(4.14)式中,得到
(4.18)
将(4.18)式代入(4.13)式中,有
(4.19)
证明完成。
5. 结论
本文研究了时空分数阶扩散方程只与空间变量有关的源项反问题,说明了该反源问题的不适定性,利用Tikhonov正则化方法求解该不适定性问题,并给出正则解及其收敛估计。