海森堡型群上的 Q_r1,r2函数空间

The Q_r1,r2 Spaces on the H-Type Groups

摘要: 函数空间理论在调和分析中有着十分重要的作用。本文研究海森堡型群N上的双指标Q型函数空间Q_r1,r2(N)。在Siegel型上半空间N×R⁺上利用Carleson测度给出Q_r1,r2(N)的等价刻画，并且给出了Q_r1,r2(N)与BMO^β(N)的嵌入关系。

Abstract: Function spaces play an important role in harmonic analysis. In this paper, we study the Q-type space Q_r1,r2(N) on the H-type group N. We show the characterization of Q_r1,r2(N) by the Carleson measure on the Siegel type domain N×R⁺. Furthermore, the embedding result between Q_r1,r2(N) and BMO^β(N) is founded.

1. 引言

本函数空间理论是分析学中的一个经典问题，经典的 $Q_p\left(D\right)$ ( $0<p<1$ )空间可以看成 $BMOA\left(D\right)$ 空间的一种扩展。早在1995年时，由Aulaskari、肖和赵等人建立了初始的 $Q_p$ 空间 [1] [2]。其最初是用来研究复平面 $C$ 的单位圆盘 $D$ 上全纯函数类的共性不变性质。

对任意的 $p>-1$，我们定义 $Q_p\left(D\right)$ 是由全纯函数构成的函数空间，这些全纯函数需满足

${\Vert f\Vert }_{Q_P}={\left(\underset{w\in D}{\sup }{\displaystyle {\int }_D{\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|}^2{g}^p\left(z,w\right)\text{d}A\left(z\right)}\right)}^{\frac{1}{2}}<+\infty$，

其中 $g\left(z,w\right)=\log \left|\left(1-\bar{w}z\right)/\left(z-w\right)\right|$ 是 $D$ 上的格林函数， $\text{d}A\left(z\right)$ 为 $D$ 上的Lebesgue测度。

文献 [2] [3] [4] [5] 证明了在复平面上，p > 1时， $Q_p$ 是Bloch空间B。 $-1<p<0$ 时， $Q_p$ 仅包含常数函数。特别地， $Q_0$ 为Dirichlet空间D； $Q_{\text{1}}=BMOA$。随后，Essen、彭与肖等人研究了 $R^n$ 上的 $Q_{\alpha }$ 空间 [6]。肖根据Q空间理论考虑了Navier-Stokes方程解的适定性问题 [7]。在文献 [8] [9] [10] 中有更多关于 $Q_{\alpha }\left(R^n\right)$ 的实际应用问题。Q型函数空间的结构与BMO的结构极其相似。对于非欧几里得空间，刘、彭和王将 $Q_p\left(D\right)$ 空间推广到海森堡群 $H^n$ 上 [11]。此外，Q型空间也被广泛地应用到偏微分方程中。在 [9] 中，李和翟研究了有初值的quasi-geostrophic方程的适定性与正则性问题。在研究某些极大算子的性质时，Carleson测度和帐篷空间是有效的工具。Carleson和Luecking利用Carleson测度分别刻画了Hardy空间及Bergman空间 [12] [13]。在 [14] 中，董利用Carleson测度证明了 $Q_p\left(N\right)$ 的等价刻画。

本文主要研究海森堡型群 $N$ 上的双指标Q型空间 $Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$。关于海森堡型群，1980年在文献 [15] 中Kaplan首次引入海森堡型群，并研究了海森堡型群上次Laplace算子基本解的表达式及其性质。本文结构如下，第一节介绍了海森堡型群及Poisson核的相关知识。第二节中给出 $BM{O}^{\beta }\left(N\right)$ 和 $Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$ 的定义，并给出了 $BM{O}^{\beta }\left(N\right)$ 和 $Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$ 的嵌入关系。最后，在第三节中利用Carleson测度及Poisson积分证明了 $Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$ 的等价刻画。

下面是本文的主要结果

定理1. i) 若 $r_1+r_2={r^{\prime }}_1+{r^{\prime }}_2$，且 $r_1<{r^{\prime }}_1$，则 $Q_{{r^{\prime }}_1,{r^{\prime }}_2}\left(N\right)\subset Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$ ；

ii) 若有 $r_2<0$ 或 $r_1>\frac{d+2}{d}$，则 $Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$ 仅包含常数函数；

iii) 若任意的 $\beta >0$，有 $r_1<1$ 且 $\beta +1=r_1+r_2$，那么 $Q_{r_1,r_2}\left(N\right)=BM{O}^{\beta }\left(N\right)$。

定理2. 假设 $f\in L_{loc}^2\left(N\right)$ 满足 ${\displaystyle {\int }_N\frac{f\left(n\right)}{1+{\left|n\right|}^{2d}}\text{d}n}<\infty$。则对任意的 $r_1$ 、 $r_{\text{2}}$ 满足 $1<r_1\le \frac{d+\text{2}}{d}$ 及 $r_1+r_2\in \left(1,\frac{d+2}{d}\right)$，我们说 $f\in Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$ 当且仅当存在一常数C使得

${\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}{\left|\nabla F\left(z\right)\right|}^2{a}^{d\left(1-r_1\right)+1}\text{d}z}\le C{\left|I\right|}^{r_2}$

对所有的方体 $I\subset N$，也就是， ${\left|\nabla F\left(z\right)\right|}^2{a}^{d\left(1-r_1\right)+1}\text{d}z$ 是 $r_2$ -Carleson测度。

2. 预备知识

2.1. 海森堡型群 $N$

令 $G$ 为二阶幂零李代数，其上有内积 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$，中心表示为 $z$。我们称 $G$ 为海森堡型李代数，若 $\left[z^{\perp },z^{\perp }\right]=z$ 且对任意的 $t\in z$，映射 $J_t:z^{\perp }\to z^{\perp }$ 表示为

$\langle {\text{J}}_{\text{t}}\text{u},\text{w}\rangle :=\langle t,\left[u,w\right]\rangle$， $u,w\in z$，

且 $\left|t\right|=1$ 时，J_t为正交映射。海森堡型群为单连通的二阶幂零李群，其李代数是海森堡型李代数。

给定 $\rho \ne \text{0}$，且属于 $z$ 的对偶，在 $z^{\perp }$ 上定义一斜对称矩阵 $A\left(\rho \right)$ 为 $\langle A\left(\rho \right)u,w\rangle =\rho \left(\left[u,w\right]\right)$， $u,w\in z$。 $z$ 中的元素 $Z_{\rho }$ 定义为

$\langle A\left(\rho \right)u,w\rangle =\rho \left(\left[u,w\right]\right)=\langle J_{Z_{\rho }}u,w\rangle$。

选择 $z^{\perp }$ 的一组标准正交基 $\left\{E_1\left(\rho \right),\cdot \cdot \cdot ,E_n\left(\rho \right),{\bar{E}}_1\left(\rho \right)\cdot \cdot \cdot ,{\bar{E}}_n\left(\rho \right)\right\}$ 使得

$A\left(\rho \right)E_i\left(\rho \right)=\left|Z_{\rho }\right|J_{\frac{Z_{\rho }}{\left|Z_{\rho }\right|}}{E}_i\left(\rho \right)=\left|\rho \right|{\bar{E}}_i\left(\rho \right),A\left(\rho \right){\bar{E}}_i\left(\rho \right)=-\left|\rho \right|E_i\left(\rho \right)$。

若 $\dim z=m$， $\left\{{\epsilon }_1,\cdot \cdot \cdot ,{\epsilon }_m\right\}$ 为 $z$ 的一组标准正交基，满足 $\rho \left({\epsilon }_1\right)=\left|\rho \right|$， $\rho \left({\epsilon }_j\right)=0\left(1\le j\le m\right)$，则

$\left(z,t\right)=\left(x,y,t\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(x_i{E}_i+y_i{\bar{E}}_i\right)}+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{t}_j{\epsilon }_j}$。

这样的坐标称为海森堡坐标。一般海森堡型群的运算为

$\left(z,t\right)\left(z^{\prime },t^{\prime }\right)=\left(z+z^{\prime },t+t^{\prime }+\frac{1}{2}\left[z,z^{\prime }\right]\right)$，

其中 ${\left[z,z^{\prime }\right]}_j=\langle z,U^j{z}^{\prime }\rangle$， $U^j\left(j=1,\cdots ,m\right)$ 为合适的斜对称矩阵。特别地， $\langle z,U^1{z}^{\prime }\rangle ={\displaystyle {\sum }_{j=1}^n\left({x^{\prime }}_j{y}_j-{y^{\prime }}_j{x}_j\right)}$ [16]。

本文中的海森堡型群 $N$ 由集合 $R^P\times R^q=\left\{\left(x^{\prime },u^{\prime }\right):x^{\prime }\in R^P,u^{\prime }\in R^q\right\}$ 构成，其中 $x^{\prime }=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_p\right)\in R^p$， $u^{\prime }=\left(u_1,u_2,\cdots ,u_q\right)\in R^q$，且元素满足运算 $\left(x^{\prime },u^{\prime }\right)\cdot \left(y^{\prime },v^{\prime }\right)=\left(x^{\prime }+y^{\prime },u^{\prime }+v^{\prime }+\frac{1}{2}\left[x^{\prime },y^{\prime }\right]\right)$，其中 ${\left[x^{\prime },y^{\prime }\right]}_j=\langle x^{\prime },U^{{}_j}{y}^{\prime }\rangle$， $U^j\left(j=1,\cdots ,q\right)$ 为合适的斜对称矩阵。显然这里的p为偶数。对 $a\in R^{+}$，定义Siegel型上半空间 $N\times R^{+}$ 为 $S=\left\{\left(w,a\right):w\in N,a\in R^{+}\right\}$，其中 $w=\left(x^{\prime },u^{\prime }\right)\in N$， $S$ 中的元素也可记为 $\left(x^{\prime },u^{\prime },a\right)$。且定义 $N$ 为 $S$ 的边界，a则称为点 $\left(w,a\right)$ 到 $S$ 边界的高度。 $N$ 在 $S$ 上有保高度的作用。贯穿下面的文章，对 $z=\left(x^{\prime },u^{\prime },a\right)$ 、 $s=\left(y^{\prime },v^{\prime },a_0\right)\in S$，我们写作 $z=\left(w,a\right)$ 、 $s=\left(n,a_0\right)$，其中 $a,a_0\in R^{+}$，、 $w=\left(x^{\prime },u^{\prime }\right)$ 、 $n=\left(y^{\prime },v^{\prime }\right)\in N$。海森堡型群上的伸缩 ${\delta }_t\left(w\right)$ 定义为 $t\cdot w=\left(t{x}^{\prime },t^2{u}^{\prime }\right)$。

$N$ 上可以定义一组等价的范数

$\left|w\right|={\left(\frac{1}{16}{\left|x^{\prime }\right|}^4+{\left|u^{\prime }\right|}^2\right)}^{\frac{1}{4}}$

和

${\left|w\right|}_{\infty }=\max \left\{\frac{1}{2}\left|x_1\right|,\cdots ,\frac{1}{2}\left|x_p\right|,\sqrt{\left|u_1\right|},\cdots ,\sqrt{\left|u_q\right|}\right\}$。

我们在 $N$ 和 $S$ 上分别使用Lebesgue测度 $\text{d}w=\text{d}{x}^{\prime }\text{d}{u}^{\prime }$ 和 $\text{d}z=\text{d}w\text{d}a$，在极坐标下 $\text{d}w=\text{d}{x}^{\prime }\text{d}{u}^{\prime }=r^{d-1}\text{d}r\text{d}{\sigma }_w$， $\text{d}{\sigma }_w$ 为单位球面的面积元。在 $N$ 中以 $n=\left(y^{\prime },v^{\prime }\right)$ 为心半径为r的球体我们定义为 $\left\{w=\left(x^{\prime },u^{\prime }\right):\left|n^{-1}w\right|<r\right\}$。而 $N$ 中以 $n=\left(y^{\prime },v^{\prime }\right)$ 为心l(I)为边长的方体I则定义为

$I=\left\{w:{\left|n^{-1}w\right|}_{\infty }\le \frac{l\left(I\right)}{2}\right\}$。

这里I的体积我们用 $\left|I\right|$ 表示，易知 $\left|I\right|=2^{p-q}{\left[l\left(I\right)\right]}^d$，其中 $d=p+2q$。以 $2^{k}l\left(I\right)$ 为边长且与I同心的方体我们用 $I_k\left(k\in N\right)$ 表示。 $tI\left(t>0\right)$ 是与I同心边长为 $tl\left(I\right)$ 的方体。

2.2. Carleson测度与Poisson积分

对任意以 $n=\left(y^{\prime },v^{\prime }\right)$ 为心的方体 $I\subset N$，定义Carleson盒子 $S\left(I\right)\subset S$ 为

$S\left(I\right)=\left\{z=\left(x^{\prime },u^{\prime },a\right)=\left(w,a\right)\in S:{\left|n^{-1}w\right|}_{\infty }\le \frac{l\left(I\right)}{2},a\le l\left(I\right)\right\}$。

$S$ 上的一正Borel测度 $\mu$ 称为p-Carleson测度，如果对p > 0，存在常数M > 0，使得

$\mu \left(S\left(I\right)\right)\le M{\left|I\right|}^p$

这里 $I\subset N$。

容易得到

$\begin{array}{l}{X}_j=\frac{\partial }{\partial x_j}+\frac{1}{2}{x}_j{C}_{ji}^l\frac{\partial }{\partial u_l},1\le j,i\le p,1\le l\le q;\\ T_k=\frac{\partial }{\partial u_k},1\le k\le q\end{array}$

为原点处 $\frac{\partial }{\partial x_j}$ 的左不变向量场， $T_k$ 为 $N$ 的中心，其中 $C_{ji}^l$ 为结构常数 [17]。另外它们满足交换关系 $\left[x_j,y_j\right]=-\frac{1}{2}\left(x_i+x_j\right)C_{ji}^l{T}_l$，除此之外的交换子是0。 $N$ 的李代数等同于 $R^{p+q}$。

对 $N$ 上任意的光滑函数f，f的梯度定义为

$\nabla f\left(w\right)=\left(X_{1}f\left(w\right),\cdot \cdot \cdot ,X_{p}f\left(w\right),T_{1}f\left(w\right),\cdot \cdot \cdot ,T_{q}f\left(w\right)\right)$，

根据 [18]，估计 ${\left|\nabla f\left(w\right)\right|}^2$ 时，我们仅考虑

$\nabla f\left(w\right)=\left(X_{1}f\left(w\right),\cdot \cdot \cdot ,X_{p}f\left(w\right)\right)$。

令 $R=\frac{\partial }{\partial a}$，类似地，对 $z\in S$， $S$ 上函数的梯度及它的度量定义为

$\tilde{\nabla }F\left(z\right)=\left(X_{1}F\left(z\right),\cdot \cdot \cdot ,X_{p}F\left(z\right),T_{1}F\left(z\right),\cdot \cdot \cdot ,T_{q}F\left(z\right),RF\left(z\right)\right)$。

在估计 ${\left|\tilde{\nabla }F\left(z\right)\right|}^2$ 时，仅考虑

${\left|\tilde{\nabla }F\left(z\right)\right|}^2={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p}{\sum }}{\left|X_{k}F\left(z\right)\right|}^2}+{\left|RF\left(z\right)\right|}^2$。

方便起见，下文中 $N$ 和 $S$ 中的梯度都用 $\nabla$ 表示。

$S$ 上的Poisson核 [19]，由 $P_a(\cdot )$ 表示，定义为

$P\left(z\right)=P\left(w,a\right)=P_a\left(w\right)=\frac{c{a}^d}{{\left[{\left(a^2+\frac{1}{4}{\left|x^{\prime }\right|}^2\right)}^2+{\left|u^{\prime }\right|}^2\right]}^{\frac{d}{2}}}$，

其中 $z=\left(w,a\right)\in S$，c为常数。

假设f为 $N$ 上的可测函数，且满足 ${\displaystyle {\int }_N\frac{\left|f\left(w\right)\right|}{1+{\left|w\right|}^{2d}}\text{d}w<+\infty }$，那么 $S$ 上f的Poisson积分定义为

$F\left(z\right)=f\ast P\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{N}f\left(n\right)P_a\left(n^{-1}w\right)\text{d}n}$。

关于Poisson核。我们有下面的引理

引理1. i) ${\displaystyle {\int }_N{P}_a\left(w\right)\text{d}w}=1$ ；

ii) 记Z为 $X_j\left(j=1,\cdot \cdot \cdot ,p\right)$ 中的任意一个，则

$\left|Z{P}_a\left(w\right)\right|\le \{\begin{array}{l}C{a}^{-d-1},a\ge \left|w\right|\\ C{\left|w\right|}^{-d-1},a<\left|w\right|\end{array},\left|RP\left(z\right)\right|\le \{\begin{array}{l}C{a}^{-d-1},a\ge \left|w\right|\\ C{\left|w\right|}^{-d-1},a<\left|w\right|\end{array}$。

3. $Q_{r_1,r_2}$ 空间结构

本节中，我们先给出 $BM{O}^{\beta }\left(N\right)$ 的空间结构，然后，给出 $Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$ 的定义。

定义3.1. 对任意的 $f\in L_{loc}\left(N\right)$，我们称 $f\in BM{O}^{\beta }\left(N\right)$ 若f满足

${\Vert f\left(w\right)\Vert }_{BM{O}^{\beta }}^2=\underset{I}{\sup }\frac{1}{{\left|I\right|}^{\beta }}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(w\right)-f\left(I\right)\right|}^2\text{d}w<+\infty }$，

这里 $f\left(I\right)=\frac{1}{\left|I\right|}{\displaystyle {\int }_{I}f\left(w\right)\text{d}w}$，sup取遍 $N$ 上所有方体。

注意到由 $BM{O}^{\beta }\left(N\right)$ 的定义，容易得出 $BM{O}^{\beta }$ 在 $N$ 上是一个Banach空间。

引理2. 对任意方体I和J，若 $I\subset J\subset N$ 则有

i) $\frac{1}{{\left|I\right|}^{\beta }}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(w\right)-c\right|}^2\text{d}w}=\frac{1}{{\left|I\right|}^{\beta }}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(w\right)-f\left(I\right)\right|}^2\text{d}w}+{\left|f\left(I\right)-c\right|}^2\cdot {\left|I\right|}^{1-\beta },c\in C$ ；

ii) ${\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(w\right)-f\left(I\right)\right|}^2\text{d}w}=\underset{c}{\inf }{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(w\right)-c\right|}^2\text{d}w}$ ；

iii) $\frac{1}{{\left|I\right|}^{1+\beta }}{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(w\right)-f\left(n\right)\right|}^2\text{d}w\text{d}n}}=\frac{2}{{\left|I\right|}^{\beta }}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(w\right)-f\left(I\right)\right|}^2\text{d}w}$ ；

iv) ${\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(w\right)-f\left(I\right)\right|}^2\text{d}w}\le {\displaystyle {\int }_J{\left|f\left(w\right)-f\left(J\right)\right|}^2\text{d}w}$。

证明 论证主要根据下面两个结果

$\begin{array}{c}{\left|f\left(w\right)-c\right|}^2={\left|f\left(w\right)-f\left(I\right)\right|}^2+\left[f\left(w\right)-f\left(I\right)\right]\overline{\left[f\left(I\right)-c\right]}\\ +\overline{\left[f\left(w\right)-f\left(I\right)\right]}\left[f\left(I\right)-c\right]+{\left|f\left(I\right)-c\right|}^2\end{array}$ (3.1)

和

${\displaystyle {\int }_I\left[f\left(w\right)-f\left(I\right)\right]\text{d}w}={\displaystyle {\int }_I\overline{f\left(w\right)-f\left(I\right)}\text{d}w}=0$ (3.2)

由(3.2)，对(3.1)的等式两边同时在方体I上积分即得到(i)。(ii)是(i)的直接结论。(iii)是根据

$\frac{\text{1}}{{\left|I\right|}^{1+\beta }}{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(w\right)-f\left(n\right)\right|}^2\text{d}w\text{d}n}}=\frac{\text{1}}{{\left|I\right|}^{\beta }}{\displaystyle {\int }_I\text{d}n\left(\frac{\text{1}}{\left|I\right|}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(w\right)-f\left(n\right)\right|}^2\text{d}w}\right)}=\frac{\text{2}}{{\left|I\right|}^{\beta }}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(w\right)-f\left(I\right)\right|}^2\text{d}w}$

最后，(iv)是利用(ii)，从而，

${\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(w\right)-f\left(I\right)\right|}^2\text{d}w}\le {\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(w\right)-f\left(J\right)\right|}^2\text{d}w}\le {\displaystyle {\int }_J{\left|f\left(w\right)-f\left(J\right)\right|}^2\text{d}w}$。

定义3.1. 任意的 $r_1,r_2\in R$，我们定义 $Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$ 为满足

${\Vert f\Vert }_{Q_{r_1,r_2}}^2=\underset{I}{\sup }\frac{1}{{\left|I\right|}^{r_2}}{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(w\right)-f\left(n\right)\right|}^2}{{\left|n^{-1}w\right|}^{d{r}_1}}\text{d}w\text{d}n}}<+\infty$，

的可测函数构成的函数空间，其中sup取遍 $N$ 中所有方体。

注1. i) $Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$ 为一线性空间；

ii) $Q_{\text{0},\text{2}}\left(N\right)=BM{O}^1\left(N\right)$ ；

iii) $Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$ 在 $N$ 伸缩、平移、旋转下不变。

命题 3.1. 一可测函数f属于 $Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$ 等价于

$\underset{I}{\sup }\frac{1}{{\left|I\right|}^{r_2}}{\displaystyle {\int }_{{\left|n\right|}_{\infty }<l\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(wn\right)-f\left(w\right)\right|}^2}\text{d}w}\frac{\text{d}n}{{\left|n\right|}^{d{r}_1}}<+\infty$。

定理1的证明. i) 若 $r_1+r_2={r^{\prime }}_1+{r^{\prime }}_2$， $r_1<{r^{\prime }}_1$。令 $f\in Q_{{r^{\prime }}_1,{r^{\prime }}_2}\left(N\right)$，则对方体 $I\subset N$，有

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(w\right)-f\left(n\right)\right|}^2}{{\left|n^{-1}w\right|}^{d{r}_1}}\text{d}w\text{d}n}}={\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(w\right)-f\left(n\right)\right|}^2}{{\left|n^{-1}w\right|}^{d{r^{\prime }}_1}}}}\cdot {\left|n^{-1}w\right|}^{d\left({r^{\prime }}_1-r_1\right)}\text{d}w\text{d}n\\ \le C{\left|I\right|}^{r_1}{\Vert f\Vert }_{Q_{{r^{\prime }}_1+{r^{\prime }}_2}}^2\end{array}$

所以 $Q_{{r^{\prime }}_1,{r^{\prime }}_2}\left(N\right)\subset Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$。

ii) 考虑 $f\in Q_{r_{\text{1}},r_2}$，显然当 $r_2<0$ 时有 $f\equiv C$。对于 $r_1>\frac{d+2}{d}$，我们利用反证法。假设 $f\in Q_{r_{\text{1}},r_2}\left(N\right)\cap C^1\left(N\right)$ 是实值函数且不恒为常数。那么，存在一个包含 $X_{\text{0}}$ 的锥体 $V\subset g$，使得 $\left|n^{-1}w\right|<\epsilon$ 时，任意的单位向量 $X\in V$， $Xf\left(w\right)\ge \delta >0$。记 $D=\left\{\eta =\exp X:\left|\eta \right|<\epsilon ,X\in V\right\}$。若 $w,n\in I$，且 $n^{-1}w\in D$，则有 $f\left(w\right)-f\left(n\right)\ge \delta \left|n^{-1}w\right|$，以及有

${\displaystyle {\int }_{{\left|n\right|}_{\infty }<l\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(wn\right)-f\left(w\right)\right|}^2}\text{d}w}\frac{\text{d}n}{{\left|n\right|}^{d{r}_1}}\ge {\delta }^2\left|I\right|{\displaystyle {\int }_{n\in D}\frac{\text{d}n}{{\left|n\right|}^{d{r}_1-2}}}=+\infty$

矛盾。由恒同逼近，即得证。

iii) 由于 $\beta >0$ 且 $\beta +1=r_1+r_2$，根据(i)，若 $0\le r_1<1$，从而 $Q_{r_1,r_2}\left(N\right)\subset Q_{\text{0},\beta +1}\left(N\right)=BM{O}^{\beta }\left(N\right)$。反过来，若 $f\in BM{O}^{\beta }\left(N\right)$，对任意的方体 $I\subset N$， $n\in N$ 且有 ${\left|n\right|}_{\infty }<l\left(I\right)$，我们可以得到

$\frac{1}{{\left|I\right|}^{r_2}}{\displaystyle {\int }_{{\left|n\right|}_{\infty }<l\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(wn\right)-f\left(w\right)\right|}^2}\text{d}w}\frac{\text{d}n}{{\left|n\right|}^{d{r}_1}}\le C{\left|I\right|}^{\beta -r_2}{\Vert f\Vert }_{BM{O}^{\beta }}^2{\displaystyle {\int }_0^{l\left(I\right)}{r}^{d\left(1-r_1\right)-1}\text{d}r}\le C{\Vert f\Vert }_{BM{O}^{\beta }}^2$

当 $r_1<\text{0}$ 时，同样地由(i)，得到 $BM{O}^{\beta }\left(N\right)=Q_{\text{0},\beta +1}\left(N\right)\subset Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$。那么，反过来，若 $f\in Q_{r_{\text{1}},r_2}\left(N\right)$，对任意方体 $I\subset N$，令 $E=\left\{\xi \in I|\min \left\{\left|{\xi }^{-1}w\right|,\left|{\xi }^{-1}n\right|\right\}>\frac{1}{8}l\left(I\right)\right\}$ 以及 $K\left(w,n,\xi \right)=\min {\left\{\left|{\xi }^{-1}w\right|,\left|{\xi }^{-1}n\right|\right\}}^{-d{r}_1}$，此时我们得到

$\begin{array}{c}{\left|I\right|}^{-\beta }{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(w\right)-f\left(I\right)\right|}^2}\text{d}w\le C{\left|I\right|}^{-1-\beta }{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(w\right)-f\left(n\right)\right|}^2\text{d}w\text{d}n}}\\ \le C{\left|I\right|}^{-2-\beta +r_1}{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_{I}K\left(w,n,\xi \right)}{\left|f\left(w\right)-f\left(n\right)\right|}^2\text{d}w\text{d}n\text{d}\xi }}\\ \le C{\left|I\right|}^{-r_2}{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(w\right)-f\left(\xi \right)\right|}^2}{{\left|{\xi }^{-1}w\right|}^{d{r}_1}}\text{d}w\text{d}\xi }}\\ \le C{\Vert f\Vert }_{Q_{r_1,r_2}}^2\end{array}$

从而证明了 $f\in BM{O}^{\beta }\left(N\right)$。

定理3. $Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$ 是一个Banach空间。

证明. 显然 $Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$ 是一个赋范空间。就完备性而言，我们令 $\left\{f_k\right\}$ 为 $Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$ 中一Cauchy序列。由定理1，可以知道 $Q_{r_1,r_2}\left(N\right)\subset BM{O}^{\beta }\left(N\right)$，那么 $\left\{f_k\right\}$ 也是 $BM{O}^{\beta }\left(N\right)$ 中的一Cauchy序列。若 $f_k\to f\in BM{O}^{\beta }\left(N\right)$，根据Fatou引理，对 $k\ge 1$，

${\Vert f_k\to f\Vert }_{Q_{r_1,r_2}}\le \underset{j\to +\infty }{\lim }\sup {\Vert f_j\to f_k\Vert }_{Q_{r_1,r_2}}$，

故 $f_k\to f\in Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$。

4. $Q_{r_1,r_2}\left(N\right)$ 的刻画

在这一节中，我们将证明文章中的重要结果。基于这一目标，我们引入下面的引理( [6] [11] [17] 及 [20] )。

引理3. I，J是 $N$ 中以w₀为心的方体，且方体J的边长 $l\left(I\right)\ge 3l\left(I\right)$。令 $f\in L_{loc}\left(N\right)$，对 $1<r_1\le \frac{d+2}{d}$，存在一独立的常数C使得

${\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}{\left|\nabla F\left(z\right)\right|}^2{a}^{d\left(1-r_1\right)+1}}\text{d}z\le C{\displaystyle {\int }_J{\displaystyle {\int }_J\frac{\left|f\left(w\right)-f\left(n\right)\right|}{{\left|n^{-1}w\right|}^{d{r}_1}}\text{d}w\text{d}n}}+C{\left[l\left(I\right)\right]}^{2\left(d+1\right)-d{r}_1}{\left({\displaystyle {\int }_{N\backslash \frac{2}{3}J}\frac{\left|f\left(w\right)-f\left(J\right)\right|}{{\left|w_0^{-1}w\right|}^{d+1}}\text{d}w}\right)}^2$

根据引理，我们利用Carleson测度具体的刻画海森堡型群上的双指标Q空间，即定理2。

定理2的证明. 必要性，给定 $f\in Q_{r_{\text{1}},r_2}\left(N\right)$，由定理1，有 $Q_{r_1,r_2}\left(N\right)\subset BM{O}^{\beta }\left(N\right)$，从而 $f\in BM{O}^{\beta }\left(N\right)$ 且 ${\Vert f\Vert }_{BM{O}^{\beta }}\le {\Vert f\Vert }_{Q_{r_1,r_2}}$，这里 $r_1+r_2=\beta +1\left(\beta >0\right)$。令I为 $N$ 中以原点为心的方体。易知若J = 3I，有 $l\left(J\right)=3l\left(I\right)$，则

${\displaystyle {\int }_{N\backslash \frac{2}{3}J}\frac{f\left(w\right)-f\left(J\right)}{{\left|w\right|}^{d+1}}\text{d}w}\le {\displaystyle \underset{k=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle {\int }_{3^{k}J\backslash 3^{k-1}J}\frac{f\left(w\right)-f\left(3^{k}J\right)}{{\left|w\right|}^{d+1}}\text{d}w}}+{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle {\int }_{3^{k}J\backslash 3^{k-1}J}\frac{f\left(3^{k}J\right)-f\left(J\right)}{{\left|w\right|}^{d+1}}\text{d}w}}\le C{\left[l\left(I\right)\right]}^{-1+\frac{\beta -1}{2}d}{\Vert f\Vert }_{BM{O}^{\beta }}$

根据引理3得到

${\displaystyle {\int }_{S\left(I\right)}{\left|\nabla F\left(z\right)\right|}^2{a}^{d\left(1-r_1\right)+1}}\text{d}z\le C{\Vert f\Vert }_{Q_{r_1,r_2}}^2{\left|J\right|}^{r_2}+C{\left[l\left(I\right)\right]}^{d+\beta d-d{r}_1}{\Vert f\Vert }_{BM{O}^{\beta }}^2\le C{\Vert f\Vert }_{Q_{r_1,r_2}}^2{\left|I\right|}^{r_2}\le C{\left|I\right|}^{r_2}$

即可知 ${\left|\nabla F\left(z\right)\right|}^2{a}^{d\left(1-r_1\right)+1}\text{d}z$ 是一 $r_2$ -Carleson测度。

现在我们转向证明它的必要性。要证明

${\displaystyle {\int }_{{\left|n\right|}_{\infty }<l\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(wn\right)-f\left(w\right)\right|}^2}\text{d}w}\frac{\text{d}n}{{\left|n\right|}^{d{r}_1}}\le C{\left|I\right|}^{r_2}$。

对于被积函数，我们有下面这样的估计：

$\begin{array}{c}\left|f\left(wn\right)-f\left(w\right)\right|\le \left|f\left(wn\right)-F\left(wn,\left|n\right|\right)\right|+\left|F\left(wn,\left|n\right|\right)-F\left(w,\left|n\right|\right)\right|+\left|F\left(w,\left|n\right|\right)-f\left(w\right)\right|\\ =A_1+A_2+A_3\end{array}$

由于

$F\left(w,\left|n\right|\right)-f\left(w\right)={\displaystyle {\int }_0^{\left|n\right|}\frac{\partial f\left(w,a\right)}{\partial a}\text{d}a}={\displaystyle {\int }_0^{\left|n\right|}\left(RF\right)\text{d}a}$，

对于A₃，由闵可夫斯基不等式及Hardy不等式 [17]，得

${\displaystyle {\int }_{{\left|n\right|}_{\infty }<l\left(I\right)}\frac{1}{{\left|n\right|}^{d{r}_1}}\left({\displaystyle {\int }_I{\left|A_3\right|}^2\text{d}w}\right)\text{d}n}\le C{\displaystyle {\int }_0^{l\left(I\right)}\left[{\displaystyle {\int }_I{\left|\nabla F\left(w,a\right)\right|}^2\text{d}w}\right]a^{d\left(1-r_1\right)+1}}\text{d}a\le C{\left|I\right|}^{r_2}$。

任意得n满足 ${\left|n\right|}_{\infty }<l\left(I\right)$，由于

${\displaystyle {\int }_I{\left|A_1\right|}^2\text{d}w}={\displaystyle {\int }_{nI}{\left|A_3\right|}^2\text{d}w}\le {\displaystyle {\int }_{3I}{\left|A_3\right|}^2\text{d}w}$，

所以

${\displaystyle {\int }_{{\left|n\right|}_{\infty }<l\left(I\right)}\frac{1}{{\left|n\right|}^{d{r}_1}}\left({\displaystyle {\int }_I{\left|A_1\right|}^2\text{d}w}\right)\text{d}n}\le C{\left|I\right|}^{r_2}$。

对于A₂，我们有下面的估计

$A_2\le C{\displaystyle {\int }_0^{\left|n\right|}\left|\nabla F\left(wr{\sigma }_n,\left|n\right|\right)\right|\text{d}r},{\sigma }_n\in B$。

这里B为 $N$ 上的单位球体。则根据闵可夫斯基不等式

$\begin{array}{c}{\left({\displaystyle {\int }_I{\left|A_2\right|}^2\text{d}w}\right)}^{\frac{1}{2}}\le C{\displaystyle {\int }_0^{\left|n\right|}{\left[{\displaystyle {\int }_I{\left|\nabla F\left(wr{\sigma }_n,\left|n\right|\right)\right|}^2\text{d}w}\right]}^{\frac{1}{2}}\text{d}r}\\ \le C\left|n\right|{\left[{\displaystyle {\int }_{3I}{\left|\nabla F\left(w,\left|n\right|\right)\right|}^2\text{d}w}\right]}^{\frac{1}{2}}\end{array}$

从而

${\displaystyle {\int }_{{\left|n\right|}_{\infty }<l\left(I\right)}\frac{1}{{\left|n\right|}^{d{r}_1}}\left({\displaystyle {\int }_I{\left|A_2\right|}^2\text{d}w}\right)\text{d}n}\le C{\left|I\right|}^{r_2}$，

结合A₁，A₂和A₃的估计，所以证得 $f\in Q_{r_{\text{1}},r_2}\left(N\right)$。