线性规划在债券组合投资中的应用

Application of Linear Programming in Bond Portfolio Investment

摘要: 线性规划是运筹学中的一个重要的分支，线性规划模型应用广泛，在经济管理、交通运输、军事指挥、工农业生产等活动中起着重要作用；求解方法比较成熟，专门用于求解规划问题的软件LINGO功能强大，能够求解线性和非线性问题，且模型语言表述简单、直观方便，能够快速、方便、有效的构建和求解线性，非线性最优化模型。运用线性规划模型求解问题可以在一定条件限制下，合理科学地制定决策，使达到最优决策。本文主要以用线性规划方法求解一个实际问题，来展示线性规划方法在债券投资组合方面的应用。

Abstract: Linear programming is an important branch of operations research. Linear programming model is widely used and plays an important role in economic management, transportation, military command, industrial and agricultural production. The solution method is relatively mature. Lingo, a software specially used for solving planning problems, has powerful functions and can solve linear and nonlinear problems. The model language is simple, intuitive and convenient. It can quickly, conveniently and effectively construct and solve linear and nonlinear optimization models. Using the linear programming model to solve the problem can make the decision reasonably and scientifically under certain conditions, so as to achieve the optimal decision. This paper mainly uses linear programming method to solve a practical problem, to show the application of linear programming method in bond portfolio.

1. 引言

线性规划 [1] 是运筹学中的一个重要分支，常结合数学模型 [2] 进行实践应用，可以在节省人力、物力等各种资源的情况下制定出最优方案，因此广泛应用于工程技术 [3]、经济管理 [4]、军事作战 [5] 等方面。在经济管理方面，债券投资 [6] 组合是一个重要的问题，许多研究人员采用不同的理论和方法对投资组合进行分析，下面将通过一个实际问题来研究线性规划在债券组合投资中的应用。

现计划在2050年前(含2050年)捐助一笔经费，并希望通过将现有的8000万美元资金进行债券投资来增加捐助金额，投资要求为：① 医药健康债券购买金额不得少于债券购买总金额的20%，其余每个行业的债券购买总金额不得少于债券购买总金额的10%；② 所购债券的平均风险等级不得低于2.5，等级数字越大，风险越低；③ 要求所购买的债券的平均到期年限不超过10年；④ 要求捐助活动结束后FFE继续保留8000万美元资金。要求在可以进行重复投资的条件下，拟定一个2021~2049年的债券投资方案，使2050年末的一次性捐款金额达到最大。已知在2021~2049年每年初发行债券，并于每年末兑现，兑现有效截止时间为2050年，债券其他相关信息如下表(见表1)：

Table 1. Various bonds and their attributes

表1. 各类债券及其属性

2. 模型的建立与求解

通过将现实生活中我们关心，研究的实际问题进行信息提炼、简化假设，再运用数学工具构造出的原型替代物叫做数学模型。规划问题的数学模型包含决策变量、目标函数、约束条件三个组成要素。如果在规划问题中，决策变量为连续变量，目标函数和约束条件都是线性的，那么这个问题就是线性规划问题。线性规划问题的标准形式为

$\begin{array}{l}\max z={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_j{x}_j}\\ s.t.\{\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_j{x}_j}=b_i,i=1,\cdots ,m\hfill \\ x_j\ge 0,j=1,\cdots ,n\hfill \end{array}\end{array}$

在标准形式的线性规划模型中，目标函数为求极大值，约束条件全是等式， $b_i$ 为非负值， $x_j$ 取值也为非负。在求解线性规划问题时，要先将问题化为标准形式的线性规划问题，再进行求解。

由题目我们知道在2021~2049年间可以进行重复投资，但是要保证在2050年末将所有的投资项目的本金与利息都收回，且所有投资应满足FFE的投资标准。要使得2050年末的一次性捐款金额达到最大，这是一个单目标规划问题。

基本假设与符号说明：

基本假设：

1) 假设单张债券金额无限小；

2) 假设地方政府税率，债券收益率，风险等级 [7] 未来30年内保持不变；

3) 假设2020~2050年之间FFE进行的每笔债券投资都不中途转让或终止，都将持有至债券到期；

4) 假设投资时五种债券之间不存在相互影响，且可以重复投资的前提下，任何一种债券到期后获得的收益都可用于以后的投资。

符号说明：

将题目中表1给出的15种债券类型从上至下按顺序记为债券1到债券15。

$i=1,2,\cdots ,30;j=1,2,\cdots ,15$

Table 2. 符号说明

表2. Symbol description

其他符号说明见表2。

模型的建立

目标函数： $\max y$

约束条件：

因为医药健康债券购买金额不得少于债券购买总金额的20%，其余每个行业债券购买金额不得少于总金额的10%，故

$\{\begin{array}{l}m\left(1\right)+m\left(2\right)+m\left(3\right)\ge 0.2n\hfill \\ m\left(4\right)+m\left(5\right)+m\left(6\right)\ge 0.1n\hfill \\ m\left(7\right)+m\left(8\right)+m\left(9\right)\ge 0.1n\hfill \\ m\left(10\right)+m\left(11\right)+m\left(12\right)\ge 0.1n\hfill \\ m\left(13\right)+m\left(14\right)+m\left(15\right)\ge 0.1n\hfill \end{array}$

因为所购债券的平均风险等级不得低于2.5，故 ${\displaystyle {\sum }_{j=1}^{15}m\left(j\right)*\text{risk}\left(j\right)}\ge 2.5n$ ；因为要求所购买的债券的平均到期年限不超过10年，故 ${\displaystyle {\sum }_{j=1}^{15}m\left(j\right)*\text{nian}\left(j\right)}\ge 10n$ ；因为要求捐助活动结束后FFE继续保留8000万美元资金，故 $\text{start}\left(30\right)+{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{15}p\left(d,j\right)-y}\ge 8000$ ；综上所述，得问题的单目标线性规划模型如下：

$\begin{array}{l}\max y\\ s.t.\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}m\left(1\right)+m\left(2\right)+m\left(3\right)\ge 0.2n\\ m\left(4\right)+m\left(5\right)+m\left(6\right)\ge 0.1n\\ m\left(7\right)+m\left(8\right)+m\left(9\right)\ge 0.1n\\ m\left(10\right)+m\left(11\right)+m\left(12\right)\ge 0.1n\\ m\left(13\right)+m\left(14\right)+m\left(15\right)\ge 0.1n\end{array}\hfill \\ {\displaystyle {\sum }_{j=1}^{15}m\left(j\right)*\text{risk}\left(j\right)}\ge 2.5n\hfill \\ {\displaystyle {\sum }_{j=1}^{15}m\left(j\right)*\text{nian}\left(j\right)}\le 10n\hfill \\ \text{start}\left(30\right)+{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{15}p\left(d,j\right)}-y\ge 8000\hfill \end{array}\end{array}$

求解结果：

Table 3. Investment project, investment fund and year

表3. 投资项目、投资资金及年份

运用lingo [8] 求模型的最优解，得到投资方案如表3。

由上表投资方案知：2050年末的一次性捐款金额最大为49,251.51万美元。30年内的总投资金额为52,949.5万美元，具体投资方案为：在第一年年初投资到期年限为15年的科技研发债券8000万美元；第16年年初投资到期年限为15年的科技研发债券18,474.75万美元到期年限为4年的装备制造债券3932.45万美元；第20年年初投资到期年限为4年的装备制造债券1362.5万美元，到期年限为3年的交通运输债券95.56955万美元，到期年限为2年的医药健康债券2918.551万美元；第22年年初投资到期年限为2年的医药健康债券3010.494万美元，到期年限为3年的交通运输债券37.93306万美元；第23年投资到期年限为3年的交通运输债券101.686万美元；第24年投资到期年限为2年的医药健康债券4660.855万美元；第25年投资到期年限为3年的交通运输债券40.36077万美元；第26年投资到期年限为3年的交通运输债券4976.457万美元；第28年投资到期年限为3年的交通运输债券42.94386万美元；第29年投资到期年限为2年的国民福利债券5294.95万美元。之后不再进行投资，到2050年末能够收回全部本金和利息。

上述投资方案中，在医药健康领域的总投资额为10,589.9万美元，约占总投资额的20%；在交通运输领域的投资金额为5294.95024万美元，约占总投资额的10%；在科技研发领域的投资金额为26,474.75万美元，约占总投资额的50%；在装备制造领域的投资金额为5294.95万美元，约占总投资额的10%；在国民领域的投资金额为5294.95万美元，约占总投资额的10%。且在该投资方案下的平均风险等级为3.6，平均到期年限约为8.8年，少于10年，该方案符合所有投资要求。只从各种领域债券的属性表格来看，科技研发领域和医药健康领域的到期后税率为0，且风险指数大，到期后收益率相对较高，故多购买这两种债券能够取得较多收益，与结果相符。

3. 结论

经济的繁荣和快速发展，使得规划问题在经济领域的应用十分广泛，不只是在债券的组合投资问题中需要运用规划模型对资金、风险、税率等进行统筹安排和控制，在许多其他问题中，如：企业的营销策划 [9]、产品的生产计划、采购与库存管理、物流管理、人事管理 [10]、城市规划、股市投资 [11] 等诸多问题中，线性规划及其他规划模型都发挥着重要的作用，为决策提供科学的依据。

本文所讨论的债券组合问题，首先运用线性规划方法设置目标函数和约束条件，可以建立合理的数学模型，且能够方便地求解问题，并比较精确地得到满足约束条件的最优解。但是也有一些问题是线性规划模型所不能求解的，此时我们可以尝试采用运筹学中的其他方法，如动态规划、多目标规划等。其次运用LINGO对线性规划问题进行求解，代码简单，操作方便，是非常有效的求解工具。